Frequenzabhängigkeit des Phasenwinkels und der Amplitude

Gimel · Anmeldungsdatum: 06.11.2007 Beiträge: 96 Wohnort: Wuppertal

Hallo Physiker!
Ich sitze hier vor einer Aufgabenblatt, das schon nahezu gelöst, allerdings bereitet mir hier eine Aufgabe Kopfzerbrechen. Es geht darum ( wie der Titel bereits angibt ) die Frequenzabhängigkeit des Phasenwinkels und der Amplitude anzugeben.

Es liegt eine erzwungene Schwingung ( leicht gedämpft ) vor. Die Bewegungsgleichung habe ich auch bereits gelöst - sieht nicht schön aus Augenzwinkern

.
Aber was wird nun von mir verlangt?

Soll ich einfach alle omega=2*pi*f in der Amplitude setzen und dann sagen "so das war's" , weil die Frequenz (f) dann drinne ist und man sieht wie sie die Amplitude beeinflusst?
Noch schlimmer ist es mit dem Phasenwinkel phi. Ich sehe in den Gleichungen keine Abhängigkeit des phis von omega.
Ist vllt einfach irgendeine Formel gemeint? Ich dachte das Phi entsteht aus den Anfangsbedingungen , also Startauslenkung und Startgeschwindigkeit des Teilchens / der Masse.

Achne, ich weiß nicht weiter grübelnd

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Die Funktionen

und

sind eben das, was beim Lösen der Differentialgleichung herauskommt. smile

Ich vermute, du hast einen Ansatz für die Differentialgleichung gemacht, in dem die Phase und die Amplitude einfach mal zunächst als Variablen drinstanden.

Gelöst ist die Differentialgleichung aber erst, wenn du herausgefunden hast, welche konkreten Werte (bzw. welche konkreten Ausdrücke in Abhängigkeit von anderen Variablen) die Phase und die Amplitude haben müssen, damit die Differentialgleichung mit diesem Ansatz stimmt.

Das kann durchaus einiges an Rechnerei bedeuten, und unterwegs etwas "unschön" anmuten, solange man das Gefühl hat, noch keinen Überblick in den langen Termen zu haben. Aber ich kann versprechen, am Ende kommen für die Phase und für die Amplitude übersichtiche Gleichungen heraus smile

Magst du mal zeigen, wie du das angesetzt hast, und bis wo du mit dem Umformen und Lösen der Differentialgleichung gekommen bist?

Gimel · Anmeldungsdatum: 06.11.2007 Beiträge: 96 Wohnort: Wuppertal

Also der Ansatz den wir nehmen sollten, der wurde uns gegeben mit:

Wobei gilt:

Die Äußere Kraft ist :

Mein Ergebnis ist:

Wobei die Wurzel das A bzw. die Amplitude ist.

PS: Der Ansatz für die homogene Gleichung war:

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich glaube, das sieht alles schon ganz prima aus smile

Der Term in der Lösung vor dem Pluszeichen sieht mir so aus wie der Einschwingvorgang,

die Funktion für die Amplitude in Abhängigkeit von der Frequenz hast du auch bereits schon gefunden.

Nur was die Phasenverschiebung phi ist, bleibt nun noch zu bestimmen. Dazu würde ich dir empfehlen, mal zu schauen, ob du zwischendurch in deiner Rechnung (ungefähr da, wo du angefangen hast, eine Information für das A herauszuziehen) aus deinen Gleichungen auf ähnliche Weise auch einen Ausdruck für phi gewinnen kannst.

Findest du eine solche Stelle in deiner Rechnung, und wie lauten deine Gleichungen in dieser Phase deines Rechenweges?

// edit:

Ich spekuliere mal ins blaue: Könnte es sein, dass dir dabei folgende Tipps helfen?

* Für die Bestimmung der Phasenverschiebung phi könnte es sich lohnen, das ganze für große Zeiten t zu betrachten, damit der Einschwingvorgang schon abgeklungen ist und die Gleichungen einfacher werden.

* Möglicherweise hilft beim Isolieren des phi ein Additionstheorem, das aus cos(a-b) etwas mit Sinus und Cosinus macht, so dass in den Klammern hinter dem Sinus und dem Cosinus keine Differenz mehr, sondern nur noch das a oder das b drinsteht.

Gimel · Anmeldungsdatum: 06.11.2007 Beiträge: 96 Wohnort: Wuppertal

Der Tip mit dem Additionstheorem hat geholfen. Hab es ja bereits benutzt um A rauszubekommen und dann später einfach nicht mehr dran gedacht Hammer

Danke!