Tipps zu Theo. Physik Klausuren, Lagrange-Mechanik

Ultima · Anmeldungsdatum: 15.04.2005 Beiträge: 151

guten Abend,

ich schreibe nächste Woche meine erste Theo. Physik Klausur und ich habe ehrlich gesagt bis jetzt noch nicht so viel Ahnung davon. Die Theorie habe ich zwar einerseits verstanden, doch hapert es nach wie vor daran, so eine Lagrange-Funktion aufzustellen und ein System in Abhängigkeit seine Koordinanten richtig zu beschreiben. Deshalb wollte ich einfach mal in die Runde fragen, wie man da richtig vorgeht. Der Professor vergibt in seinen Klausuren 100 Punkte auf 4 große Aufgabenblöcke, wo es nahezu in allen 4 Fällen darum geht als erstes erst einmal eine LagrangeFunktion aufzustellen. Anschließend muss man so Sachen machen wie Eigenfrequenzen bestimmen, Bewegungsgleichungen ableiten usw. Das ist nicht so schwer, wenn man nur diese LagrangeFunktion bestimmen könnte. Gibt es da Patentrezepte?

Als Beispiel einer Klausuraufgabe möchte ich mal folgendes Bild anfügen, und hoffe einfach mal das der ein oder andere mir da weiterhelfen könnte. Leider gibt es zu den alten Klausuren keine Musterlösungen. Die Massen und Federkonstanten sind auf dem Bild alle gleich. Das System steht nicht unter dem Einfluss der Schwerkraft. Die drei Kreise sollen Massen symbolisieren, zwei davon sind an Federn angebunden, mit der Federkonstante k, die dritte ist dazwischen ohne Feder. Alle Massen sind gleich sowie die Federkonstanten k gleich sind. Wie gehe ich da nun am besten vor.
Bin ich richtig der annahme, dass sich alle drei massen unterschiedlich bewegen können und sich natürlich gegenseitig beeinflussen, also meine Idee sieht so aus:

Was haltet ihr davon?

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Hallo Ultima.

Ich habe ein paar Nachfragen zum Verständnis. Wie sind die drei Massen untereinander verbunden? Sind die Massen auf die Bewegung in x-Richung festgelegt? Wie kommst Du zu dem Term

?

Ultima · Anmeldungsdatum: 15.04.2005 Beiträge: 151

Hallo,
die Massen sind durch einen masselosen Stab verbunden und es wird nur die Bewegung in x-Richtung betrachtet. Die Länge des Stabes spielt dabei keine Rolle. Es gibt keine Reibung und keine Schwerkraft.

Auf den Term komme ich, weil sich ja die Auslenkung von x_1 durch die Stabverbindung irgendwie auf x_2 auswirkt, oder würdest du sagen das ist alles unabhängig voneinander? Am Anfang hatte ich sogar nur ein x, aber das wäre ja zu primitiv oder?

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Die gekoppelten Massen üben einen Einfluß auf die Auslenkung untereinander aus. Sie tun dies aber nur in Form von Kräften, so daß es zu einem Energieaustausch kommen kann. Die potentielle Energie der Federn ist aber nur von ihrer eigenen Auslenkung abhängig.

Dieses legt auch nahe, für die Massen an den Federn unabhängige Koordinaten anzusetzen. Da die drei Massen durch einen starren Stab verbunden sind, hat die mittlere eine eindeutige Abhängigkeit zu den ersten beiden.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich verstehs irgendwie noch nicht so ganz. Kann es sein, dass es eigentlich eine einzige Stange ist, an der alle Massen befestigt sind, so dass die mittlere Masse immer genau in der Mitte der beiden äußeren Massen ist, also

? Oder wie ist das gemeint?

Gruß
Marco

Ultima · Anmeldungsdatum: 15.04.2005 Beiträge: 151

Wenn ich deine Argumentation richtig interpretiere, darf also in den pot. Energie nur x_1 und x_2 vorkommen. wäre das dann so richtig?

Zu der anderen Fragen, die Masse dritte masse befindet sich genau in der mitte des stabes. mehr steht leider auch nicht da. Mir geht es ja gerade darum das ganze richtig zu interpretieren und zu verstehen.

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Hallo Ultima.

Das sieht soweit gut aus. Die Zwangsbedingung dieses Systems, die as_string formuliert hat, sehe ich genauso. Damit kannst Du aus Deinem Ansatz eine Koordinate eliminieren. Ich schlage vor, daß du die Koordinate x3 für die mittlere Masse behältst und z.B. x2 wegfallen läßt. Die Differentialgleichungen, die sich im Anschluß ergeben, lassen sich dann etwas einfacher entkoppeln.

Ultima · Anmeldungsdatum: 15.04.2005 Beiträge: 151

Das ist richtig oder?

Aber ganz verstanden habe ich das noch nicht, kann mir jemand bitte sagen wie man am schnellsten zum richtigen Weg kommt bei solchen Dingen?

Eine andere aufgabe war bspw. das 3 Massen auf einem Ring waren, die mit drei Federn verbunden sind, da waren die Abhängigkeiten wieder ganz andere. Also wie findet man diese am besten?
Fehlt es mir vielleicht am physikl. Verständnis, weil ich mich da so schwer tue?

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Ja, die Langrange-Funktion hat eine richtige Form und führt auf die korrekte Lösung.

Es ist nicht ganz so leicht (für mich zumindest) ein Rezept anzugeben, wie man sich eine Lagrangefunktion backt und immer gelingt, ganz so wie ein Kuchen von Dr.Oetker. Es ist stark eine Mischung aus Erfahrung und Übung. Die folgende Reihenfolge ist daher nur als Anhaltspunkt zu verstehen, wie man sich herantasten kann.

0. Man erstelle eine Zeichnung des Systems und stelle sich die möglichen Bewegungen vor.
1. Welche Massen bewegen sich?
2. Welches Koordinatensystem beschreibt am Besten die Bewegung der Massen?
3. Drücke die kinetische Energie in einer Formel aus.
4. Mit welchem Potential stehen die Massen in Verbindung?
5. Stelle die Formel für die potentielle Energie auf.
6. Gibt es unmittelbare Abhängigkeiten der Massen (Zwangsbedingungen)?
7. Jede Zwangsbedingung reduzuiert die Anzahl der Freiheitsgrade.
8. Stelle die Lagrange-Funktion auf und bestimme die Lagrange-Gleichungen.

Ultima · Anmeldungsdatum: 15.04.2005 Beiträge: 151

Vielen Dank, dass ist schon mal kein schlechter Leitfaden. Heute habe ich mir nochmals in Ruhe die Aufgabe angesehen und konnte es auch mittlerweile ganz gut nachvollziehen. Die restlichen Teilaufgaben, wie Eigenfrequenzen bestimmen und die Moden, das war wirklich kein Problem.

Mit den Zwangsbedingungen spricht du etwas an, was der Professor in seiner Vorlesung leider nie besprochen hat. Er hat dieses Wort nie benutzt, er hält sich sehr an den Landau, den ich auch lese und da kam so gut wie nie dieses Wort vor.
Das mit den Freiheitsgraden ist sicherlich auch eine Alternative oder? Denn das leuchtet mir ein, das das System durch die beiden Massen, welche an den Federn hängen eindeutig bestimmt sind.

Ein anderes Beispiel ist zwei Massen mit drei Federn. Da hat man dann diesen Mischterm in der pot. Energie und nicht mehr in der kin. Energie.

Das Keplerproblem und Zentralfelder sind ebenfalls Lieblingsthemen dieses Professors, wo es dann darum geht Bewegungsintegral aufzustellen usw. Wo man praktisch durch die Energieerhaltung bspw. den Radius eliminiert und dann eine Bewegungsgleichung in Abhängigkeit vom Radius usw. bekommt, so etwas sieht man in Lehrbüchern wie Kuypers ehr selten, aber vermehrt im Landau.

Das Zeug macht nämlich durchaus Spaß, wenn man es verstanden hat.

Vielleicht sagt noch jemand was zum Thema Zwangsbedingungen!?

Vielen Dank