Sind Logik und Mathematik identisch?

Mister_X · Gast

Meine Frage:
Hallo, ich habe gelesen, dass anscheinend Mathematik und Logik komplett identisch sein sollen (de.quora.com/Ist-Logik-mehr-eine-mathematische-oder-philosophische-Disziplin). Dies hätte angeblich Kurt Gödel gezeigt. Weiß dazu jemand näheres?

Meine Ideen:
Ich dachte immer, Logik sei lediglich eine mathematisch Teildisziplien. Das es mit der Mathematik komplett identisch sein soll, ist mir neu. Aber vielleicht ist diese Aussage auch falsch?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Mister_X · Gast

Ok danke,

dann lag ich ja richtig. Habe nämlich auch zu angeblichen dem Beweis durch Gödel, dass Mathematik und Logik identisch sind, nichts weiter gefunden. Das machte mich stutzig.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Gödel betrachtet die Ableitbarkeit von Aussagen in formalen Systemen wie der Arithmetik, also insbs. den natürlichen Zahlen; seine Ergebnisse lassen sich auf andere Systeme übertragen, aber dadurch werden diese nicht identisch mit der Arithmetik.

Topologie, Funktionentheorie, Analysis … enthalten mehr und andere Aussagen als die Arithmetik und lassen sich nicht auf diese reduzieren.

Mister_X · Gast

Hallo, ich würde mal gerne eine Frage von mir an dieses Thema anhängen, da es die klassische Logik betrifft.
Und zwar geht es um die Paradoxien der Implikation. Inwieweit kann man sagen, dass diese ein ernsthaftes Problem für die Logik darstellen?
Ich habe dazu eine interessante Ausarbeitung gefunden. In dieser wird allerdings behauptet, es gebe in der klassischen Logik nur inkonsisstente Theorien, auf Grund des "ex falsch quodlibet".
Was ist davon zu halten? Hier meine Quelle: unilu.ch/fileadmin/fakultaeten/ksf/institute/philsem/PDFs/Paradoxien_der_Implikation_Logik_HSA_Julia_Oegema.pdf&ved=2ahUKEwjy4PbB_aWFAxWlbPEDHatECDQQFnoECBwQAQ&usg=AOvVaw33aLiQxkhUNwy1pAzakXa-

Siehe dort auf Seite 8.
Wenn die klassische formale Logik inkonsisstent wäre, hätte das doch eigentlich dramatische Auswirkungen auf alle wissenschaftliche Bereiche...

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Mister_X · Gast

Hast du mal das verlinkte Paper von der Uni Luzern gelesen? Das heißt es ab Seite 8 nämlich schon ganz klar, diese sei inkonsistent......was mir echt Kopfschmerzen bereitet.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Zu

https://www.unilu.ch/fileadmin/fakultaeten/ksf/institute/philsem/PDFs/Paradoxien_der_Implikation_Logik_HSA_Julia_Oegema.pdf
Paradoxien der Implikation

Mister_X · Gast

Vielen vielen Dank für diese kritische Auseinandersetzung mit der Ausarbeitung!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Mister_X · Gast

Ja, alles klar, deshalb frage ich ja, da es öfters verschiedene Bedeutungen in unterschiedlichen Kontexten gibt. Wie würdest du ihn dann für die Diskussion auffassen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Das ist auch i.A. nicht möglich.

Es gibt jedoch Philosophen, die diese Diskussionen bzgl. wissenschaftlicher Theorien vorangebracht haben, Popper und Kuhn zum Beispiel. Die lohnt es sich schon, zu lesen.

Mister_X · Gast

Mit Popper habe ich mich auch schon mal befasst, er liefert ja quasi mit seinem Programm die Abgrenzung von empirischen Wissenschaften zu anderen Gebieten, wie zb Philosophie.

Aber nochmal kurz zur Theorie ( und weil in dem Paper stand, es könne keine konsistenten Theorien geben): wie würdest du den Theoriebegriff fassen, damit dieser hier zufriedenstellend ist?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Das Problem wird in dem Paper ja sehr klar.

Der Wahrheitsbegriff der Aussagenlogik – wenn man so möchte – ist trivial: eine Aussage ist wahr, wenn sie ausgehend von wahren Aussagen logisch korrekt abgeleitet wurde; logische Tautologien also. Die eigentliche Bewertung von Wahrheit, Paradoxa etc. findet außerhalb statt (das ist der blinde Fleck des Papers). Man benötigt Erweiterungen, so dass man überhaupt erst interessante Aussagen formulieren und bewerten kann.

1) ein wesentlicher Schritt ist die Prädikatenlogik erster und zweiter Stufe, die es insbs. erlaubt, Variablen zu verwenden

2) um nicht nur logische Tautologien diskutieren zu können, muss man eine formale Sprache einführen, z.B. Mathematik, eine Programmiersprache o.ä.; damit liegt der Wahrheitsbegriff dann außerhalb der Logik selbst (in der Mathematik startet man bei einem Axiomensystem, z.B. Mengenlehre, den natürlichen Zahlen …, aus denen dann die Variablen für die Prädikatenlogik stammen)

3) für eine empirische Wissenschaft wie die Physik muss man (2) auf die Realität beziehen, d.h. man muss einen Wahrheitsbegriff einführen, der logisch und mathematisch korrekte Aussagen mit empirisch zutreffenden Aussagen verknüpft; man benötigt eine empirische Praxis, also zielgerichtete Beobachtungen, sowie eine Art Methode, zu verstehen, was man denn eigentlich beobachten soll

Der eigtl. Witz dabei ist, dass man nicht nur über Dinge redet, die man ohnehin schon weiß. Es ist ein Unterschied, ob ich eine Aussage über eine Menge bekannter Fakten mache, oder ob ich Hypothesen zu noch unbekannten Fakten betrachte; während die Astronomen des Mittelalters lediglich die Bewegung bekannter Planeten katalogisierten, konnte man mittels der Newtonschen Mechanik erstmals Hypothesen über noch unbekannte Planeten aufstellen und überprüfen

4) ein essentielles Element ist also die Deduktion. Damit diese nicht reine Spekulation oder Mystik ist, benötigt man (2), d.h. einen formalen Rahmen, dessen Gültigkeit über den der bekannten Fakten hinausgeht.

Mister_X · Gast

Ok, aber irgendwie sehe ich da kein wirkliches Problem.

Am besten jetzt im Bezug auf empirische Wissenschaften, da wir hier ja falsifizieren können: die Findung eines Wahrheitswerts findet im Experiment statt. Entsprechend kann ich meine Schlüsse ziehen. Problematisch finde ich das nicht, oder verwechsel ich gerade etwas?

Und auf was bezieht sich dieses Paper, wenn dort steht, in der Aussagenlogik seien keine konsistenten Theorien möglich? Du hast doch selbst geschrieben, dass die Widerspruchsfreiheit für die Aussagenlogik gezeigt werden kann?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Mich würde mal ein pragmatischer Ansatz seitens der Logiker und Mathematiker interessieren.

Welche wichtigen mathematischen Theoreme wurden unter Verwendung von problematischen Schlüssen wie (p ∨ ¬p) → x abgeleitet?

Zum Vergleich: in der Mengenlehre kennen wir das von einigen als problematisch angesehene Auswahlaxiom, und wir kennen die nur damit ableitbaren wichtigen und gleichzeitig kritischen Sätze, z.B. die Verallgemeinerung von Vektorraumbasen zu: "jeder unendlich-dimensionale Vektorraum hat eine endliche Basis".

Gibt es irgendeinen wichtigen Satz, der nur mittels problematischer logischer Schlüsse bewiesen werden kann?

Aruna · Anmeldungsdatum: 28.07.2021 Beiträge: 795

Zombiephilosoph · Gast

Mister_X · Gast

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Aruna · Anmeldungsdatum: 28.07.2021 Beiträge: 795

Mister_X · Gast

Mister_X · Gast

Da ich mich gestern Abend nochmal mit Popper auseinander gesetzt habe, hier nur die Anmerkung, dass auch sein Falsifikationsprinzip anscheinend nicht vollständig von der klassischen Logik erfasst wird. Ich zitiere mal aus dem Artikel (wikipedia.org/wiki/Falsifikationismus):

Popper behauptet, dass die Unterscheidung zwischen Allsätzen und singulären Es-gibt-Sätzen nicht durch die Einteilung der klassischen Logik in generelle, partikuläre und singuläre Sätze erfassbar ist, da sich zum Beispiel generelle Sätze auf alle Elemente einer gewissen Klasse beziehen und nicht notwendigerweise einen räumlich-zeitlich universellen Charakter haben. Auch die generelle Implikation des Systems der Principia Mathematica sei dazu nicht geeignet, da zum Beispiel Basissätze auch als generelle Implikationen ausgedrückt werden können. Vom Standpunkt der klassischen Logik sind die Sätze „Alle Raben sind weiß“ und „Alle heute lebenden Raben sind weiß“ generelle Sätze. Die von Popper eingeführte Unterscheidung zwischen Allsätzen und singulären Es-gibt-Sätzen kann sie also nicht erfassen. In der Symbolik der Principia Mathematica lautet eine generelle Implikation: ( x ) f ( x ) → g ( x ) {\displaystyle (x)f(x)\rightarrow g(x)}. (Gelesen: Für jedes x {\displaystyle x} impliziert der Satz f ( x ) {\displaystyle f(x)} den Satz g ( x ) {\displaystyle g(x)}.) Der singuläre Satz „Sokrates war ein weiser Mann.“ kann also als generelle Implikation geschrieben werden, indem „ f ( x ) {\displaystyle f(x)}“ mit „ x {\displaystyle x} ist Sokrates“ und „ g ( x ) {\displaystyle g(x)}“ mit „ x {\displaystyle x} war ein weiser Mann“ identifiziert wird. (Für alle Dinge x {\displaystyle x}: wenn x {\displaystyle x} Sokrates ist, dann war x {\displaystyle x} weise.) Die generelle Implikation entspricht also nicht den Allsätzen, wie Popper sie auffasst.

Welches logische System wird also in der Forschung angewandt? Ich dachte eigentlich immer klassische Aussagenlogik...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Gute Frage.

Ohne jetzt in das Buch "Logik der Forschung" zu schauen, würde ich aus dem Bauch heraus sagen, dass Popper das nicht formal festlegt. Die Aussagenlogik reicht sicher nicht aus, er benötigt mindestens die Prädikatenlogik erster Stufe.

Das Problem, das Popper adressiert, entzieht sich jedoch gerade einem rein logisch-mathematischen System. Sein Haupteinwand gegen die Positivisten ist ja, dass es falsch ist, zu glauben, in der Forschung würde man sich mit empirisch wahren Aussagen und den daraus folgenden Konsequenzen befassen; man befasst sich mit Hypothesen, deren Wahrheitsgehalt zunächst unbekannt ist. Formale Logik, spielt bei Popper m.E. nur insofern eine Rolle, als er seine Schriften logisch aufbaut, nicht, indem er Forschung in eine formale Logik pressen will.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Ergänzung

Das sollte man auch bei diverser Kritik an Poppers Darstellung nicht vergessen: der Kontext seiner Arbeit war der logische Positivismus mit der Idee der Rechtfertigung durch Verifikation, sowie einer unkritischen Praxis, insbesondere in nicht-Naturwissenschaften. Auch ging es Popper weniger darum, den Falsifikationismus als historisch gerechtfertigtes Erfolgsmodell zu präsentieren, sondern als essenziellen Kern jeder kritischen Wissenschaft, als Leitlinie für die Zukunft.

Wenn ich mir die Märchenstunde so mancher Physiker ansehe – Stringtheorie, Multiversen … – so haben wir seinen kritischen Blick insbesondere auch innerhalb der Physik nötiger denn je.

Mister_X · Gast

Vielen Dank!

Popper und seine Forschungslogik bleibt einfach ein sehr spannendes Thema.

Im Nachbarforum, dem Matheboard, hatte ich die letzten beiden Tage auch eine Diskussion bezüglich der Aussagenlogik (matheboard.de/thread.php?postid=2232112#post2232112).

Dabei fiel bei meinem Diskussionspartner folgender Satz:

"Wir werden nie alles wissen, aber wir werden nie wissen, was wir nicht wissen können."

Und genau das, so dachte ich, sei nicht so.
Durch Popper wissen wir doch eigentlich, dass wir etwas nicht wissen können. Nämlich das wir eine wahre Theorie gefunden haben. Sie könnte nämlich wieder falsifiziert werden.

Ebenfalls denke ich doch, dass wir alle Themen, die philosophischer Natur sind nie richtig wissen können. Hier gibt es einfach keine Möglichkeit der Falsifikation.

Im weiteren Diskussionsverlauf meinte er auch, es gebe mehrere Wahrheiten, wobei jede für sich existiert. Das sehe ich gar nicht so.

Natürlich gibt es verschiedene philosophische Ansichten, welche alle möglich sein können. Welche auf unsere Welt zutrifft wissen wir nicht, wir können es nicht testen. Aber trotzdem muss eine auf die Natur zutreffen und die anderen falsch sein (oder beide sind falsch).

Als Beispiel die hier oft diskutierten Interpretationen der Quantenmechanik:
Wenn es verschiedene realistische Interpretationen gibt, nehmen wir mal Bohm und die Everettsche, dann können nicht beide wahr sein. Entweder eine von beiden stimmt, oder womöglich sind beide falsch. Aber nicht beide wahr.
Anderes Beispiel aus dem Bereich: Instrumentalismus oder Realismus von physikalischen Theorien. Jeder Philosophie hat ihre Anhänger und auch ihre Berechtigung, aber nicht beide können wahr sein. Auch, wenn wir nie wissen werden, welche Sichtweise falsch bzw. wahr ist.

Oder liege ich hier mit meiner Ansicht falsch? Es geht mir nicht darum, meinen Diskussionspartner aus dem anderen Forum schlecht darstehen zu lassen; so etwas liegt mir fern. Aber ich hatte den Eindruck, dass meine Sicht als unkorrekt angesehen wurde, weshalb ich mir hier gerne nochmal eine "Zweitmeinung" holen wollte.

Vielen Dank!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Gerne.

Ich würde an deiner Stelle mal die Frage stellen, wie die Begriffe Wissen und Wahrheit denn definiert sind. Popper definiert seinen Wahrheitsbegriff, und dieser hat wenig mit der absoluten Wahrheit einer scholastischen Philosophie oder einem idealisierten Wahrheitsbegriff der Mathematik zu tun.

Für den Mathematiker ist eine Aussage wahr, wenn sie aus einem Axiomensystem ableitbar d.h. beweisbar ist. Die Wahrheit der Axiome wird nicht hinterfragt. Wenn die Axiome nicht widerspruchsfrei sind, kann die selbe Aussage auch falsch sein. Und dass die Axiome nicht widerspruchsfrei sind, ist in vielen – sogar einfach – Fällen nicht beweisbar. Die Mathematik verwendet also einen Wahrheitsbegriff, der zugleich sehr präzise und schlimmstenfalls nutzlos ist – es sei denn, man glaubt an die Konsistenz der Axiome.

Popper geht viel bescheidener an die Sache heran, hat jedoch auch ein viel größeres Problem zu knacken, denn seine Aussagen sind keine Aussagen über idealisierte mathematische Objekte sondern über empirische Tatsachen. Und da ist bereits die Frage, was Sätze wie "morgen früh wird die Sonne wieder aufgehen" oder "mein Badezimmer existiert auch dann, wenn ich nicht darin bin und es sehe" überhaupt bedeuten und wie man einen adäquaten Wahrheitsbegriff formulieren kann.

Das ist so ein bisschen wie der Unterschied zwischen der Boulderhalle und der Durchsteigung einer Nordwand in den Westalpen; bei letzterem muss man nicht diskutieren, ob man die blauen Griffe verwenden darf, oder nicht.

Die hast recht, "durch Popper wissen wir, dass wir nicht wissen können, ob wir eine absolut wahre Theorie gefunden haben". Aber das war auch nicht der Anspruch. Was wir jedoch durchaus wissen können ist, dass wir eine Theorie gefunden haben, die nach gegenwärtigem Wissensstand nicht falsifiziert ist.

Zu den "mehreren Wahrheiten" des Mathematikers würde mich seine Definition von Wahrheit interessieren. Im Kontext leicht unterschiedlicher Axiomensysteme kann der selbe Satz einmal wahr und einmal falsch sein; das ist aber nicht weiter überraschend. Der Satz "jede nach unten beschränkte Menge hat ein kleinstes Element" ist für Mengen über den ganzen Zahlen richtig, über den rationalen Zahlen falsch.

Beweis?

Der Punkt ist, dass die Mathematik immer um sich selbst kreist, während die Physik eben eine empirische Wissenschaft ist. Auf gewisse Fragen über die Realität hat die Empirie aber eindeutige Antworten, und wir können uns keine alternative Realität konstruieren – während der Mathematiker vormittags und nachmittags zwei miteinander unverträgliche Mengenlehren untersuchen kann.

Die Diskussion über die Interpretationen der Quantenmechanik ist sicher extrem spannend, jedoch gerade nicht mit dem Popperschen Werkzeugkasten zu führen, da verschiedene Interpretationen der Quantenmechanik sich über alle empirischen Befunde einig sind (na ja, evtl. nicht ganz).

Zombiephilosoph · Gast

Mister_X · Gast

Erstmal vielen Dank!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Meine erste Aussage tatsächlich extrem schlampig. Ich korrigiere das.

Mister_X · Gast

Welche meinst du? Warum?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Ich meinte den Zombiephilosophen.

Mister_X · Gast

Achso, okay. Was denkst du zu dem was ich noch geschrieben habe?

Zombiephilosoph · Gast

Re: Mathematische Wahrheit

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Ich denke, jetzt müssen wir zwischen verschiedenen Wahrheitsbegriffen differenzieren.

Mister_X · Gast

Mir geht es gar nicht mal unbedingt um die Wahrheit in der Mathematik. Die ist ja, wie schon dargestellt, ziemlich trivial.

Mir geht es eher um Wahrheit bei zb philosophischen Themen, wie zb einer Interpretation der Quantenmechanik. Hier finde ich es nämlich ziemlich merkwürdig zu sagen, die verschiedenen Theorien seien alle gleichermaßen wahr. Ich würde eher sagen, wir wissen nicht welche wahr ist, aber eine muss wahr sein. Wahr im Sinne von "stimmt mit der Realität überein.

Zombiephilosoph · Gast

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Noch mal zu deinen Einwänden bezüglich der mathematischen Wahrheit und Gödels Auffassung dazu.

Betrachten wir zunächst den naiven Wahrheitsbegriff, dass mathematischen Strukturen und Objekte eine von unserem Denken unabhängige Existenz zukommt, und dass mathematische Wahrheiten von Aussagen zu einer derartigen mathematischen Struktur feststehen – ob nun bekannt, bewiesen oder auch nicht. So würde ich Gödel Aussage oben lesen. Betrachten wir als Beispiel die natürlichen Zahlen,m einschließlich der bekannten Rechenregeln, damit auch die Primzahlen sowie Primzahlzwillinge. Nach dem oben genannten Wahrheitsbegriff, ist die Aussage "es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge" sicher entweder wahr oder falsch, das steht unabhängig von unserem Denken fest, es handelt sich sozusagen um eine den natürlichen Zahlen immanente Wahrheit oder Falschheit. Das würde wahrscheinlich fast jeder so unterschreiben.

Der Ansatz, dass diese Aussage nur dann wahr bzw. falsch sein kann, wenn sie auf Basis gewisser Axiome abgeleitet werden kann, erscheint dann entweder sekundär oder sogar fremdartig. Nun verhält es sich jedoch so, dass Gödel in exakt diesem Kontext die Existenz von Aussagen nachweist, die sich in diesem System zwar formulieren lassen, wobei weder deren Wahrheit noch Falschheit in diesem System abgeleitet werden kann – Konsistenz des Systems vorausgesetzt. Es existieren also sicher Aussagen, für die sowohl die Aussage als auch die Negation der Aussage sicher unbeweisbar sind. Letztetes ist der berühmte erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz, und der ist bewiesen.

Nehmen wir nun eine derartige Aussage und fragen uns, wie es um ihren Wahrheitsgehalt bestellt ist. Wir können sicher nicht die Beweisbarkeit oder Widerlegbarkeit heranziehen, das ist nach Gödel Satz ausgeschlossen. Wir müssen also an eine Art Wahrheit glauben, die dem System innewohnt, obwohl sie unter Zuhilfenahme des System selbst sicher unzugänglich ist. Das mag uns bei dem Problem der Primzahl Zwillinge irgendwie noch gelingen. In diesem Fall ist außerdem überhaupt nicht klar, ob es sich um eine derart unzugängliche Aussage handelt, ich verwende es lediglich als Beispiel.

Nun gibt es jedoch eine berühmte Vermutung – die so genannte Cantorsche Kontinuumshypothese – für die Gödel und Cohen (dessen Teil des Beweises Jahrzehnte später) zusammen bewiesen haben, dass sie in einem bestimmten Axiomensystem der Mengenlehre sicher in diesem Sinne weder beweisbar noch widerlegbar ist, d.h. sie ist von diesem Axiomensystem unabhängig. Wieder unter der Voraussetzung, dass das Axiomensystem an sich konsistent ist, dürfen wir also entweder in einem geeignet erweiterten Axiomensystem an die Wahrheit der Kontinuumshypothese glauben, oder in einem anderen erweiterten Axiomsystem an ihre Falschheit. Die Kontinuumshypothese selbst ist derart abstrakt, dass es unmöglich erscheint, einfach so irgendwie zum Beispiel an ihre Wahrheit zu glauben – also vergleichbar zum obigen Beispiel der Primzahlzwillinge.

Gödel Arbeit stellt also auch eine Herausforderung für den Wahrheits Begriff der Mathematik dar.

Glauben wir an Wahrheiten unabhängig von ihrer Beweisbarkeit bzw. Widerlegbarkeit, wie zum Beispiel für die Aussage zu den Primzahlzwillingen, so erscheint das irgendwie vernünftig, d.h. es existieren eben entweder endlich oder unendlich viele Primzahlzwillinge – wenn wir dies nicht beweisen oder widerlegen können, ist es sozusagen unser Problem.

Außer der Tatsache, dass wir die Aussage zu den Primzahlmzwillingen offensichtlich einfacher verstehen als die der Kontinuumshypothese, besteht jedoch kein formaler Unterschied. Daher ist der Glaube an eine dem System immanente und von Beweisen unabhängige Wahrheit fragwürdig! Zumindest glaubt heute wohl kein Mathematiker an die Wahrheit oder Falschheit der Kontinuumshypothese im Rahmen des zunächst zu Grunde gelegten Axiomensystems – Sie wird nicht als wahr oder falsch angesehen, sondern als unbeweisbar, in diesem Sinne kommt ihr kein Wahrheitsgehalt zu.

Es klingt natürlich absurd, aber außer Glaube und Hoffnung gibt es eigentlich kein Argument, dass ausschließt, dass es sich bei der Frage, der endlich oder unendlich vielen Primzahlzwillinge nicht genauso verhält.