Mathematik des Quintenzirkels

Michelsson · Gast

Meine Frage:
Hallo, ich beschäftige mich etwas mit Musiktheorie und mir ist aufgefallen, dass die Erhöhung oder Erniedrigung im Quintenzirkel überall als gegeben pauschaliert wird.
Mit jeder Quinte steigt bei den Tonarten die Anzahl der Vorzeichen..
Dass es so ist, kann man tatsächlich einfach an einer Klaviertastatur ablesen.

Meine Ideen:
Aber weshalb ist dies der Fall? Sind die Tastaturen der westlichen Musik einfach so konstruiert worden?
Alle 5 Tonschritte weiter wird ein neues Vorzeichen in den Kanon aufgenommen, da muss es doch mathematisch eine Grundlage geben?
Über Hinweise freue ich mich.

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7246

Die chromatische Tonleiter hat ja 12 Töne. Und eine Durtonleiter nimmt davon sieben, nämlich die Nummer 1, 3, 5, 6, 8, 10 und 12. Wenn man mit c beginnt, sind diese eigentlich willkürlich herausgenommenen Töne genau die weißen Tasten.

Wenn man nun mit der Quinte von c beginnt, also mit g (die Nummer 8 oben), und sich an dieselben Ganzton- und Halbtonschritte der Durtonleiter hält, passt fast alles, nur landet man im letzten Ton auf einer schwarzen Taste, nämlich fis.

Eine Quinte höher, also beim d beginnend, kommt auf der letzten Stufe wieder eine schwarze Taste dazu, das cis. Und so weiter.

Für unsere westlich geprägten Ohren ist die Durtonleiter das Normale, die meisten Lieder im Radio benutzen sie. Daher hat man sich geeinigt, sie als Grundlage auf der Klaviatur zu verwenden, deswegen gibt es weiße und schwarze Tasten. Man hätte die Tastatur ja auch einheitlich chromatisch gestalten können, wahrscheinlich auf Kosten der Spielbarkeit.

Viele Grüße
Steffen

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18088

Noch eine Anmerkung:

Aus irgend einem Grund empfinden Menschen bestimmte Intervalle harmonischer als andere. Bei Ersteren entspricht das Frequenzverhältnis Brüchen mit möglichst kleinem, ganzzahligem Zähler und Nenner.

Das beginnt mit dem Frequenzverhältnis der Oktave von 2/1, das nächste Intervall ist die reine Quinte mit einem Frequenzverhältnis von 3/2, darauf folgt die reine Quarte als Komplementärintervall zur reinen Quinte mit einem Frequenzverhältnis von 4/3.

Komplementärintervalle ergänzen sich zur Oktave, d.h. in diesem Fall 3/2 * 4/3 = 2/1.

Früher waren Instrumente tatsächlich möglichst rein gestimmt. Das funktioniert jedoch nur innerhalb einer bestimmten Tonart, weswegen später temperierte Stimmungen eingeführt wurden. Das ist aber erst mal nur ein Ausblick.

ML · Anmeldungsdatum: 17.04.2013 Beiträge: 3403

Hallo,

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18088

Das Problem hat ja nichts mit den Musikern oder dem Dirigenten zu tun. Bei vielen Instrumenten ohne feste Stimmung kann man das Problem

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Komma

teilweise ausgleichen.

Am einfachsten erkennt man das wie folgt: Gegeben sei in der reinen Stimmung ein festes Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis

mit natürlichen Zahlen m > n. N dieser Intervalle ergeben auf der Tonleiter K Oktaven. D.h. gesucht sind Lösungen

mit natürlichen Zahlen N, K.

Aber das ist i.A. nicht lösbar.

ML · Anmeldungsdatum: 17.04.2013 Beiträge: 3403

Hallo,

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18088

Du missverstehst mich.

Dass es in deinem Fall funktioniert, hängt natürlich vom Orchester ab. Dass es bereits bei einem Klavier prinzipiell nicht funktioniert, liegt nicht am Pianisten sondern am Klavier.

Wenn das Klavier in C-Dur rein gestimmt wäre, klingt der entsprechende Akkord rein, die Akkorde zu G, D usw. (sowie Sept-Akkorde usw.) dagegen zunehmend unrein. Und am Klavier kannst du dagegen eben nichts machen, außer dass du es gleichstufig temperiert stimmst, was jedoch keine reine Stimmung auf Basis kleiner ganzer Zahlen sondern einen Kompromiss darstellt, bei dem jeder Ton minimal unrein ist.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18088

Man kann die o.g. Gleichung noch verallgemeinern.

Nehmen wir an, die Oktave sei in I Intervalle unterteilt; üblicherweise sind dies I = 7 Ganztöne. Dann seien

zwei Intervalle mit den Frequenzverhältnissen

mit kleinen natürlichen Zahlen

Für diese Intervalle gilt auf der Tonleiter

Die über den natürlichen Zahlen problematische d.h. nicht erfüllbare Forderung lautet nun

Das interessante ist nun, wie man möglichst harmonische Tonsysteme (I, q_i) konstruiert, und wie man ggf. die rationalen Intervalle durch gleichstufig temperierte Intervalle annähert.

Mich würde interessieren, ob es Hörbeispiele für ungewöhnliche Tonsysteme gibt, in denen L von der üblichen Vorgaben der bekannten Ganz- oder Halbtöne abweicht.

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7246

Noch ein Nachtrag:

Die Tatsache, dass bei Dur- und Molltonleitern bei der Quinte immer ein Vorzeichen dazukommt, könnte sich vielleicht über Symmetriegruppen mathematisch beweisen lassen, das sprengt aber dieses Forum. Zufall ist es meines Erachtens jedenfalls nicht.

Interessanterweise trifft dies übrigens nicht nur bei Dur und Moll zu, die ja auf der ionischen bzw. äolischen Kirchentonart beruhen! Auch die dorische Skala (die weißen Tasten von D bis d) und die lydische (von F bis f) haben diese Eigenschaft. Besorgt saß ich gerade am Klavier, weil ich befürchtete, es träfe auf alle Skalen zu. Aber zumindest die hypophrygische (von H bis h) ist ein Gegenbeispiel: da sind die ersten vier Schritte h-c-d-e-f, also halb-ganz-ganz-halb. Fängt man mit f an, ist das f-fis-gis-ais-h, das sind schon mal drei schwarze Tasten.

Somit kann man höchstens von Zufall reden, dass die westliche Musik sich ausgerechnet die ionische Skala als Liebling auserkoren hat. Die hat eben die besagte Eigenschaft, dass die jeweilige Quintenskala ein Vorzeichen mehr hat. Hätten wir die (recht schräge) hypophrygische Tonleiter genommen, wäre diese Frage nie gestellt worden.

Viele Grüße
Steffen

PS: Was die letze Anmerkung von Tom betrifft: interessant ist hier die Pentatonik, deren Melodien für europäische Ohren eher gewöhnungsbedürftig sind. Lässt sich leicht ausprobieren, indem man mal ausschließlich mit den schwarzen Tasten vor sich hin spielt.

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7246

Ja, letzteres meinte ich. Eine Quinte, also das Verhältnis 3:2, ist es ja eh nicht, wie bereits ausgeführt.

Die mathematische Hypothese wäre hier ungefähr: gegeben sind 12 ordinalskalierte Ausprägungen, nennen wir sie Töne. Sieben davon werden besonders gekennzeichnet. Fängt man nun mit dem fünften gekennzeichneten Ton an und verwendet dieselben Sprünge auf der Ordinalskala, kommt eine, und nur eine nicht gekennzeichnete Ausprägung dazu.

ML · Anmeldungsdatum: 17.04.2013 Beiträge: 3403

Hallo,

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18088

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7246

Ich beziehe mich weder auf die temperierte noch die reine Stimmung, sondern auf das, was der Fragesteller (der sich leider nicht mehr äußert) wohl meint:

Die C-Dur-Tonleiter wird nur mit den weißen Tasten gespielt. Fängt man nun mit dem fünften Ton an (eben die Quinte, nur daher heißt sie ja so, unabhängig von irgendwelchen Frequenzverhältnissen) und spielt dort eine Durtonleiter, kommt als siebter Ton eine schwarze Taste hinzu. Treibt man das Spielchen weiter und fängt mit dem fünften Ton der neuen Tonleiter an, muss man eine zweite schwarze Taste spendieren, wieder als siebter Ton. Und so weiter, bis fis. Egal, wie die Tasten nun gestimmt sind, auch ohne jegliche klingenden Töne ist dieses Schema durchgehend.

Nun gibt es eben neben Dur (weiße Tasten von C bis c) und Moll (weiße Tasten von A bis a) fünf weitere Skalen (die auf den alten Kirchentonarten beruhen). Man kann das da natürlich genauso machen. Bei den weißen Tasten von D bis d (das ist Dorisch, Greensleeves wird z.B. so gespielt) merkt man sich die Halbton- und Ganztonsprünge und verschiebt das Ganze dann auf die fünfte Stufe. Und siehe da: auch in diesem Fall kommt nur eine schwarze Taste dazu, nämlich auf der sechsten Stufe. Und so geht es auch hier immer weiter.

Das gilt netterweise auch für die Skala E-e und noch weitere. Bis zumindest auf die weißen Tasten von H bis h (ja, ich klammere mich hier an das f als die fünfte Stufe).

Und da kann man bestimmt mit zyklischen Gruppen argumentieren, aber da fehlen mir leider die notwendigen Kenntnisse.

Viele Grüße
Steffen

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18088

Wenn du die Frequenzverhältnisse nicht berücksichtigst, kannst du m.E. nichts sagen. Ich denke, man sollte sich das zunächst für die temperierte Stimmung ansehen, denn da muss es mittels zyklischer Gruppen folgen.

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

In einer beliebigen diatonischen Skala habe ich 7 Notenwerte. Ich greife mir irgendeinen Wert heraus (nicht unbedingt den Grundton), sagen wir x. Die komplette Skala enthält dann die Werte

x, x+2, x+4, x+5, x+7, x+9 und x+11,

wobei die Angaben jeweils modulo 12 zu lesen sind. Die Zahlen geben also die Unterschiede (modulo 12) zu x in Halbtonschritten an. Obwohl ich die Werte so geordnet habe wie in der Dur-Skala mit x als Grundton, spielt die Ordnung keine Rolle. Deswegen gilt das folgende für alle diatonischen Skalen.

Eine Quinte liegt nun vor wenn die Differenz zweier (absoluter) Notenwerte "höherer Ton" - "tieferer Ton" = 7 ist. Ich addiere also auf jeden Notenwert die Zahl 7 modulo 12. Das ergibt

x+7, x+9, x+11, x, x+2, x+4, x+6.

Der einzige Wert, der vorher nicht vorkam, ist x+6, und der liegt einen Halbton über dem einzigen, der verschwunden ist, nämlich x+5. Also ist ein # hinzugekommen.

Das ganze hat also nichts mit der konkreten Stimmung zu tun, sehr wohl aber damit, daß eine Quinte 7 Halbtonschritte sind und nicht 6 wie zwischen h und f.

Jetzt kann man das ganze nochmal mit anderen Skalen versuchen, z.B. harmonisch Moll (und dessen Modi)

x, x+2, x+3, x+5, x+7, x+8, x+11

wird zu

x+7, x+9, x+10, x, x+2, x+3, x+6.

Hier geht es also ziemlich durcheinander und die Regel gilt nicht. Der Quintenzirkel drückt also eine Beziehung zwischen beliebigen diatonischen Skalen aus, läßt sich aber nicht einfach auf andere Skalen anwenden.

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18088

Schönes Argument.

Es werden also nur die Ganz- und Halbtöne in

x, x+2, x+4, x+5, x+7, x+9 und x+11

benötigt.

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259