Hausübung "beschleunigte Bewegung eines Skifahrers"

Gasthörer ExP · Anmeldungsdatum: 20.10.2007 Beiträge: 2

Hallo zusammen,

bin ein neuer ^^. Sitze hier schon länger und knobel an meiner 1. Hausübung für dieses Semester. Bisschen peinlich, bin aber nur Gasthörer und nutze den Kurs um mich auf MaWi vorzubereiten.

Also es geht ganz klar um Differenzial Rechnung. Eine beschleunigte Bewegung eines Skifahrers wird durch x(t)= 1/2 a * t² wiedergegeben.
Die erste Frage ist ganz easy "erläutere den Differenzquotienten". Da müsste man doch nur über das Steigungsdreieck und der "momentanen Durchschnittsgeschwindigkeit" reden oder?

Der Differenzquotient ist gegeben (die Standard Formel):
v = x2 - x1 / t2 - t1

Die 2. Aufgabe lautet: Wie erhält man daraus eine genaue Geschwindigkeit am Ort x = x1 = 100m?
Da würde ich schreiben, dass wie in der Formel zu sehen 2 Ortspunkte erforderlich sind, aber um eine genaue Geschwindigkeit bestimmen zu können, muss man t2 Richtung 0 tendieren lassen, sprich differenzieren.

Die Ableitung wäre ja dann x´(t) = a * t³.
Die Aufgabenstellung geht nun weiter mit: "Wie weit dürfen die beiden Messstellen maximal auseinander liegen, damit bei einer Beschleunigung von a = 10 m/s² der Fehler kleiner 1% bleibt?
Daraus bekomme ich die Graphen von:
x(t) = 5 t² (nur das a ersetzt)
und
x´(t) = 10 t³

So nun meine Fragen:
Das hört sich ja so an, dass man anhand des Differenzquotienten doch die exakte Geschwindigkeit bestimmen kann, nur wie? Dieses unbekannte a stört mich da. Erst im weiteren Verlauf wird der Variable ja ein Wert zugewiesen. Oder meint Ihr, dass meine Erklärung (im vorrigem Verlauf) ausreicht?

Mein nächstes Problem wäre:
Ich habe mir ausgerechnet das bei "Wurzel von 20" x1 = 100 m ist. Also hab ich mal mit meinem Graphischen Taschenrechner die Steigung an dem Punkt gecheckt => 44,68 m / s.
Dann habe ich den Wert von meiner t Stellen, an dem x1 = 100 ist, in den Graph von meiner Ableitung eingegeben (wieder Taschenrechner, obwohl man das ja auch einfach ausrechnen kann => statt t in 10 *t³, t = Wurzel 20 schreiben) und komme damit auf einen Wert von 894,43 m/s, was für einen Skifahrer total irrealistisch ist und mit dem 44,68 m/s nicht im Weitesten übereinstimmt.
Wo ist da der Fehler?

Und zu guter Letzt, wie wird das mit der Abweichung von 1% gerechnet? Man bräuchte doch den genauen Wert von der Ableitung und müsste dan durch ausprobieren eine Abweichung von 1% rausfinden.

Würde mich über Eure Anregungen sehr freuen, denn aller Anfang ist schwer Augenzwinkern

Danke

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Gasthörer ExP · Anmeldungsdatum: 20.10.2007 Beiträge: 2

sodele,

vielen Dank für die Antwort erstmal. Jap nachdem ich den Pc gestern Nacht ausgemacht habe, ist mir beim Zähneputzen der Fehler bei der Differentiation aufgefallen. Manchmal sieht man halt vor lauter Bäume den Wald nicht mehr Augenzwinkern

Gut, dann macht das ganze auch mehr Sinn; das hat mich ziemlich verunsichert. Dann würde ich am Ort x1 = 100m, welcher nach 4,47 s erreicht ist, eine Geschwindigkeit von 161 km/h bekommen.

Bei der Fehlerabweichung ist mir dann auch was eingefallen. Habe von der Geschwindigkeit am Ort x1, welche 161 km/h = 44,72 m/s ist, 101% ausgerechnet und damit die Maximal Steigung rausbekommen, um die 1% nicht zu überschreiten. Anhand der Ableitung (v (t) = a * t) kann man ja dann den Zeitpunkt bestimmen, wenn die Maximal Steigung erreicht ist. Anschließend würde ich dann die Differenz der beiden Punkte berechnen => 4,52 - 4,47 = 0,05 s

Wäre das soweit richtig?

Nun bleibt noch eine Frage offen:
Ist es ausreichend, wenn man zum Teil b "Wie erhält man daraus eine genaue Geschwindigkeit am Ort x = x1 = 100m" die Theorie erläutert ohne ein Ergebniss zu nennen.? Ist es überhaupt möglich, (frage wegen der unbekannten "a")?

Also danke nochmal (war leider auf ein blöden Rechenfehler zurückzuführern),
Gruß Lars

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden