Bewegung eines starren Körpers im Raum

Simon4 · Anmeldungsdatum: 18.06.2006 Beiträge: 139

In unserem Skript für "Technische Mechanik" steht dazu folgendes:

Man hat die beiden Invarianten

und

Dabei gilt der Satz: Eine starre Bewegung im Raum ist momentan...

- eine Translation, falls

- eine Rotation, falls

und

- eine Schraubung, falls

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Nun habe ich einige Verständnisprobleme mit diesem Satz.

1) Die Translation ist mir ja noch klar. Falls der Körper keine Rotationsbewegung (omega) ausführt, heisst das, dass er sich alle Punkten des starren Körpers nur in eine Richtung bewegen, es sich also um eine Translation handelt.

2) Bei der Rotation steige ich jedoch aus. Klar ist, dass hier omega nicht gleich 0 sein kann, denn sonst wären wir bei der Translation. Nun muss jedoch das Skalarprodukt von omega und v(B) gerade Null sein. Das Skalarprodukt ist 0, falls einer der Vektoren 0 ist, da aber omega ungleich Null sein muss, kann theoretisch nur v(B) Null sein. Ansonsten wir das Skalaprodukt noch 0, wenn omega und v(B) senkrecht zueinander stehen. Wenn ein Punkt sich nun aber mit v(B) ungleich 0 (v(B) senkrecht zu omega) bewegt und dabei noch mit omega rotiert wären wir ja bei der Schraubung! Wo mache ich hier einen Überlegungsfehler?

3) Bei der Schraubung dürfen dann omega und v(B) beliebige Winkel miteinander einschliessen. Doch inwiefern unterscheidet sich das von der Rotation?

Könnte mir jemand vielleicht diesen Satz anschaulich erklären und meine Überlegungsfehler entlarven? Danke schon jetzt!

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Hallo Simon4.

Hm grübelnd

, diese Darstellung einer Invarianz ist mir nicht geläufig. Bist Du sicher, daß für

ein Skalarprodukt gebildet wird? Oder ist es eher ein Produkt zweier Skalare? Deine Schreibweise und die Aussagen legen letzteres nahe.

Eine Rotation kann man sich sehr vereinfacht vorstellen als eine Bewegung eines Massenpunktes auf einem Kreis. Gibt es dann noch einen Vortrieb zusätzlich (Translation), dann beschreibt der Massepunkt eine Schraube.

Reicht Dir das als Erklärung?

Simon4 · Anmeldungsdatum: 18.06.2006 Beiträge: 139

Hallo!

Es steht so im Skript und ich habs mit auch während der Vorlesung so notiert.

"Hergeleitet" wurde diese Invariante von der Formel für die Bewegung eines beliebigen Punktes P im Bezug auf einen Punkt B des gleichen starren Körpers:

Multipliziert man diese Gleichung auf beiden Seiten mit omega, so erhält man

Wenn ichs mir genauer überlege, ist mir gar nicht so recht klar, was die zweite Invariante eigentlich aussagen soll... Dass v(B) und v(P) mit omega den selben Winkel einschliessen (mit dem Vektor omega ist die Rotationsachse gemeint)?

Wie die Schraubung aussehen soll, ist mir klar. Nur bin ich der Meinung, dass nach den Bedingungen für die Rotation eigentlich auch eine Schraubung vorliegen würde, da v(B) ja nicht gleich Null ist und damit zusätzlich zur Rotation noch eine Translation dazukommt, was zu einer Schraubung führt.

edit: Ich sehe gerade, dass ich im ersten Beitrag überall die Vektorpfeile vergessen habe.

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

O.k., das sieht schon etwas vertrauter aus.

Simon4 · Anmeldungsdatum: 18.06.2006 Beiträge: 139

Wäre dann I(2) = 0, falls v(B) = 0? Das wäre logisch. Dann würde nämlich keine Translation und nur eine Rotation vorliegen. Doch das ganze ist ja auch gleich 0, falls der cos 0 (also Winkel = 90°) ist. Das wäre dann aber für mich eine Schraubung oder nicht?

Noch eine Frage: Bewegt sich bei der Schraubung der Körper immer entlang der Rotationsachse?

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Hallo.

Falls

muß auf jeden Fall

sein. Und ohne Translationskomponente kann höchstens eine Rotation vorliegen.

Laut Meyers Lexikon ist eine Schraubung mit einer Translation in Richtung der Rotationsachse verbunden. Wenn also

, nennt man das wohl keine Schraubung im eigentlichen Sinne. Es ist hier aber

. Also ist die Aussage des Satzes, den Du ganz oben angeführt hast, erfüllt.

Über zusätzliche Translationen senkrecht zur Rotationsachse sagt der Satz nichts aus.

Immer noch verwirrt?

Simon4 · Anmeldungsdatum: 18.06.2006 Beiträge: 139

Nein, ich glaube ich habe es verstanden. Ich war vermutlich einfach verwirrt, weil ich unter Rotation verstanden habe, dass der Körper selbst in Ruhe bleibt und sich nur dreht. Dass der Fall, wenn sich der Körper in der Rotationseben bewegt, ebenfalls als Rotation bezeichnet wird wusste ich nicht.

Nochmals zur Schraubung. Falls

, heisst das ja, dass

und

. Die Bewegung geht aber nur in Richtung der Rotationsachse, falls alpha = 0° (z.B. die Bewegung eines Propellers eines Flugzeuges, der sich ja dreht und gleichzeitig in Bewegungsrichtung bewegt. Dabei zeigen die Rotationsachse und die Geschwindigkeit in dieselbe Richtung.). Bezeichnet man trotzdem alle anderen Fälle auch als Schraubung, also auch wenn die Rotation "schräg" zur Bewegungsrichtung verläuft?

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Sobald eine Komponente der Translation in Richtung der Rotationsachse weist, spricht man wohl von einer Schraubung. Es kommt bei der Definition des Begriffes nur auf den Vortrieb der Rotation an. Eine Rotation mit Seitwärtsbewegung würde ich als eine Art Zykloide ansehen.

Simon4 · Anmeldungsdatum: 18.06.2006 Beiträge: 139

Ok, alles klar, danke dir vielmals.

Simon4 · Anmeldungsdatum: 18.06.2006 Beiträge: 139

Ähm, mir ist gerade noch eine Frage eingefallen... smile

Wenn v(B) in die entgegengesetzte Richtung von w zeigt (also sozusagen einen Winkel ]90, 180] Grad mit der Rotationsachse einschliesst, spricht man dann auch von einer Schraubung?

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Na, sicher. Die Art der Bewegung hängt doch nicht von der Wahl der Koordinatenachsen ab.