Fehler der Schwingungsdauer Physikalisches Pendel

Xeal · Anmeldungsdatum: 29.05.2007 Beiträge: 243

Hallo !
Ich soll zunächst die Schwingsungsdauer eines physikalischen Pendels herleiten.
Das hat soweit geklappt.

J: Trägheitsmoment
m: masse
d: abstand schwerpunkt - drehachse
Jetzt soll ich den Fehler in T abschätzen, der sich bei endlicher Schwingungsamplitude ergibt.

Kann mir damit jemand weiterhelfen ?
Ich verstehe nicht so recht was ich dabei machen soll.
Zum einen wurde bei der Herleitung die Näherung für kleine Auslenkungswinkel genutzt, andererseits könnte ich mir vorstellen dass vllt der Gauß'sche Fehlerfortpflanzungssatz erwünscht ist.

Was bedeutet der zusatz "bei endlicher Schwingungsamplitude" ?

Patrick · Anmeldungsdatum: 05.07.2006 Beiträge: 417 Wohnort: Nieder-Wöllstadt

Du musst für die Herleitung die Gleichheit von Drehmomenten nehmen:

Das "potentielle Drehmoment" ergibt sich aus der Gleichung:

Die Kraft in y-Richtung ist hierbei die Gewichtskraft mg (Masse *Erdbeschleunigung) und die Auslenkung in x-Richtung ist die
Hypotenuse l multipliziert mit dem Sinus des Winkels (damit ist
dann die Gegenkathete gemeint; geometrisch veranschaulichen!)
Für kleine Winkel (sie sind hier immer klein) gilt die Näherung:

Das "kinetische Drehmoment" ist das Produkt aus Trägheitsmoment
und der Winkelbeschleunigung (2.Ableitung nach der Zeit!):

Du erhälst nun durch Gleichsetzen eine Differentialgleichung, die
durch den Ansatz

gelöst werden kann. Dabei hebt sich das U (Amplitude) und ein
Sinusterm weg und es bleibt dann noch das Omega übrig. Für die
Schwingungsdauer gilt nun:

weil es für einmal hin- und her schwingen im Normalfall die Länge eines
Einheitskreises (

) braucht und das Omega ein
Schnelligkeitsfaktor ist (je schneller, desto kürzer die Periodendauer).
Dann hast du es hergeleitet!

Xeal · Anmeldungsdatum: 29.05.2007 Beiträge: 243

Danke für deine mühe, aber das war ja gar nicht meine Frage.
Ich konnte das schon herleiten, steht auch oben.
Es geht mir um die Fehlerabschätzung !

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Welche Fehlerrechnung willst Du da machen? ME kann es nur darum gehen, dass man eben die Kleine-Winkel-Näherung verwenden muss, um auf eine recht einfach lösbare DGL zu kommen und dabei aber eine "sehr kleine" Auslenkung annimmt. Wenn die Rede von einer "endlichen Auslenkung" ist, ist damit sicher gemeint, dass man eben nicht von der Näherung ausgehen soll.

Es gibt doch auch so eine Formel, bei der noch ein paar mehr Glieder drin sind. Vielleicht kannst Du die verwenden, um eine Abschätzung zu machen. Ich meine, wir hatten da schon mal einen Thread dazu (weiß allerdings nicht, ob es um das mathematische oder das physikalische Pendel ging, ist ja aber auch nicht so unterschiedlich.) Ich muss mal suchen, ob ich den noch finde.

Gruß
Marco

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Hallo Xeal.

Wie viel Mathematik darf es denn sein zur Fehlerabschätzung? Das Gauß'sche Fehlerfortpflanzungsgesetz nimmt sich da noch recht einfach aus. Wenn Du von kleinen Winkeln zu großen gehen sollst, wird die Herleitung der Schwingungsdauer schon recht unangenehm. Über einen Ansatz der Energieerhaltung erhält man ein elliptisches Integral, das aber nicht analytisch zu lösen ist.

In Formelsammlungen findet man aber die erste Korrektur für größere Auslenkwinkel

:

Eine Herleitung habe ich hier gefunden:
http://studium.lorenzt.de/AP/AP-Reversionspendel.pdf