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olli89
Anmeldungsdatum: 07.03.2007
Beiträge: 3
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 olli89 Verfasst am: 07. März 2007 20:54 Titel: Sinus-Schwingungen mit Hilfe von komplexen Zahlen darstellen |
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Hi,
ich hoffe mir kann hier jemand helfen. Ich schreibe mom meine Facharbeit und bin eig so gut wie durch..
Aber ich muss als Beispiel bringen wieso komplexe Zahlen bei Sinusschwingungen vorteilhafter sind. Kla, ist weniger Rechenaufwand..weil Winkel und Lange in einer Zahl enthalten ist, aber da ich nicht viel Ahnung von Physik habe, verstehe ich nicht, wie man die Sinus-Schwingungen mit komplexen Zahlen darstellt. Das mit der Polarform hab ich verstanden und wie man dadrauf kommt. Hoffe hier kann mir jemand helfen, vll auch über ICQ -> 282081067, würde mich sehr freuen, wenn jemand mir da weiterhelfen könnte |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 08. März 2007 19:14 Titel: |
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Der Realteil von  ist gleich ) .
Für den Sinus ist das ganze dementsprechend phasenverschoben.
| Zitat: |
Aber ich muss als Beispiel bringen wieso komplexe Zahlen bei Sinusschwingungen vorteilhafter sind.
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Ich würde vermuten, dann steht dir noch ein Stück Arbeit bevor: Denn ich glaube, dazu musst du so gut verstehen und lernen, wie man mit komplexen Zahlen rechnet, dass du ein Beispiel sowohl in komplexer Darstellung als auch in Sinus/Cosinus-Darstellung rechnen und diese Rechnungen vergleichen kannst. |
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olli89
Anmeldungsdatum: 07.03.2007
Beiträge: 3
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| olli89 Verfasst am: 08. März 2007 22:14 Titel: |
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ja muss ich die Formeln einfach hinnehmen oder kann man die irgendwie herleiten? |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 08. März 2007 23:02 Titel: |
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welche formeln meinst du denn konkret ?
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 09. März 2007 00:02 Titel: |
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Dass die beiden Formelausdrücke, die ich dir angegeben habe, beide eine Cosinusschwingung bedeuten, siehst du wahrscheinlich am besten, wenn du dir den Sinus und den Cosinus am Einheitskreis aufmalst, und dann zum Vergleich das  in der komplexen Zahlenebene aufmalst (wie du das vielleicht schon von der zeichnerischen Darstellung der Polarform kennst).
Ich glaube, dann kannst du schnell verstehen, dass diese beiden Dinge genau dasselbe sind.  |
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olli89
Anmeldungsdatum: 07.03.2007
Beiträge: 3
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| olli89 Verfasst am: 09. März 2007 16:26 Titel: |
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Danke ! Schonma |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 09. März 2007 18:56 Titel: |
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Die Identität
lässt sich auch sehr gut plausibel machen, indem man die Reihenentwicklungen von cos(x) und sin(x) hinschreibt ! Die Reihen lassen sich in das Komplexe fortsetzen (warum das ist leider nicht in 2 Sätzen darstellbar) und definieren dann in Summe genau die e-Funktion mit imaginärem Argument. Probiers mal aus - ist eine gute Übung.
Der ur-eigentliche Grund, warum man sich in dieser Darstellung "leichter tut", liegt darin, dass lineare Systeme (wie zB Systeme aus R, L, C) durch Differentialgleichungen im Zeitbereich beschrieben werden, und durch den Übergang in den Frequenzbereich
 \rightarrow Y(\omega))
aus diesen Differentialgleichungen algebraische Gleichungen werden:
Differenzieren:
Integrieren:
 Y)
Dadurch wird aus der bekannten DG eines Serienschwingkreises
 R + L \frac{di}{dt} + 1/C \int i dt = u(t))
die viel einfachere Gleichung in den komplexen Variablen I und U:
) = U)
Das ist nun einfach
))
woraus unmittelbar Betrag und Phase abgelesen werden kann, ohne irgendeine Differentialgleichung zu lösen.
Auf diese Weise ist es möglich, den Frequenzgang (d.h. die eingeschwungene Antwort auf eine sinusförmige Erregung) für jedes lineare System mit konstanten Koeffizienten als rationale Funktion anzugeben. Stichwort: Übertragungsfunktion
Jedoch vorsicht, nicht jedes System hat überhaupt einen eingeschwungenen Zustand, wie man sich anhand eines Integrators
 = \int x(t) dt = \int \sin \omega t dt = 1/\omega(1-\cos \omega t))
überzeugt.
Die Weiterführung dieser Vorgangsweise ist die Laplacetransformation, die die Betrachtung auf Systeme mit allgemeiner komplexer Frequenz (incl. Dämpung) erweitert und ein sehr mächtiges Hilfsmittel für die Lösung von Anfangswertproblemen darstellt.
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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