Interferenz am Doppelspalt

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

..eigentlich sind Näherungen gar nicht so schlecht...

damit greife ich eigentlich schon meinem Thema vor, weil das eigentlich die Essenz meiner Erkenntnis ist, die ich in einiger Arbeit gewonnen habe.
Aber stellen wir es doch erst vor

jeder (zumindest jeder, der die Oberstufe besucht hat) kennt das Doppelspaltexperiment
Wenn dieses mit Licht durchgeführt wird (es geht auch mit anderen Wellen), dann ergibt sich diese herleitung. Dabei nähert man jedoch, was sich z.B bei diesem applet zeigt, weil der Ort aller Maxima eben keine Gerade, sondern eine Hyperbel ist. Soweit so gut, jetzt wollte ich aber wissen wie gut unsere Näherung ist. Die Physiklehrerin gefragt, bekam ich als Antwort "weil die Wellenlänge so klein ist, und im Vergleich dazu der Abstand der Spalte so groß, macht es nicht soviel aus) Ich Esel wollte aber in Folge meiner Sturheit die Lösung ohne Näherung herausfinden, was ich später noch bereuen sollte -.-

soweit die Präambel, jetzt gehts ans Eingemachte, die Physik

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Zuerst überlege man sich, wie viele dieser Hyperbeln überhaupt in einer gegebenen Versuchsanordnung existieren. Durch probieren mit dem Java Applet, und etwas überlegen findet man die Beziehung, dass es genau

dieser Hyperbeln gibt, was uns auch im Übrigen auch den maximalen Gangunterschied

der zwei Wellen angibt.

Das ist zwar eine wichtige Erkenntnis, jedoch bringt sie mich zunächst noch nicht arg weiter. In der Zeichnung benenne ich ein beliebiges Maximum mit P und sage, dass dieses erster Ordnung ist, so dass der Gangunterschied gerade eins ergibt. Dann gilt:

Jetzt versuche ich

und

mithilfe von Pythagoras in Abhängigkeit von x und y anzugeben, und will mich außerdem nicht auf die erste Ordnung beschränken, sondern ein Gesetz für beliebige k-te Ordnungen angeben, wobei k von 0 bis zu dem schon erwähnten

geht.

Etwas Einsetzen liefert mir dann folgenden Term:

sieht ja sehr klar aus, und würde auch wunderbar tun, wenn man nur den Term nach

auflösen könnte. Dann nämlich würde sich eine Funktionenschar ergeben, die mir zu jedem beliebigen x-wert und einer bestimmten Ordnung k den zugehörigen Abstand

vom Hauptmaximum anzeigt, das hier die x-Achse wäre. Und genau das ist nämlich the tricky part. Ganz bescheiden ( LOL Hammer

) möchte ich mich selbst für dieses geniale Stück Arbeit loben (weil es sonst eh keiner macht Zunge raus

), die ich in nur zwei Schulstunden gebracht habe, und die volle zwei DinA4 Seiten umfasst, ohne mich zu verrechnen Thumbs up!

am Schluss habe ich nämlich folgenden Ausdruck raus:

tja, wenn man das so sieht, dann versteht man auf Anhieb warum die Näherung soviel besser ist Hammer

Jetzt wollte ich aber auch einen Praxistest machen, und setzte probeweise Werte für unseren Doppelspaltexperiment ein (danke @Tim an dieser Stelle, der mir schnell ein Programm für meinen TI-83 schrieb, und mir eine Menge Arbeit erspart hat, you are ze man, alta^^) Tja, und auch bei Entfernungen von 1000km (!!) vom Doppelspalt bekam ich auf die letzte Stelle selbe Ergebnisse wie bei der Näherung heraus Klo

Tja, jetzt haste soviel Gehirnakrobatik betrieben, und das ganze für gar nix-.-
Aber halt! Denn dieser Term funktioniert bei beliebigen Wellen, denn die einzige Näherung, die hier gemacht wurde ist die, dass die Spaltbreiten stets so klein sind, dass immer nur eine Elementarwelle entsteht) Denn schon bei Wasserwellen bekomme ich deutliche Abweichungen von der linearen Näherung wegen den viel größeren Wellenlängen

tja, und warum erzähle ich das Ganze nun?
Tja, erstens, weil es evtl jemanden wie mich gibt, der schon immer wissen wollte, wie das jetzt denn nun genau ist (wenn irgendwer bei laserlicht irgendwann abweichungen findet, dann soll er mich benachrichtigen^^)
zweitens, weil evtl mal irgendwer diesen Term braucht, weil er wie schon gesagt für alle Wellenlängen und Spaltabstände klappt, und immer die richtige Lösung liefert
und drittens um allen zu zeigen (und am meisten mir selbst), dass wenn der Lehrer dir sagt die Näherung ist gut genug, dann glaubs ihm lieber, es könnte dich eine Menge Aufwand kosten das auch zu beweisen Big Laugh

ich hoffe ihr hattet etwas Spaß beim Lesen, und verabschiede mich bis zum nächsten Mal, wenn bishop die Schwerkraft beweist Rock

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Einverstanden smile

Und eine ergänzende Bemerkung:

Die Näherung, dass man die interferierenden Strahlen als parallel annimmt, liefert gute Resultate, wenn die Entfernung des Beobachtungsschirms vom Spalt viel größer ist als der Abstand zwischen den Spalten. (Für besonders große Abstände des Beobachtungsschirms vom Doppelspalt funktioniert die Näherung also besonders gut.)

Abweichungen deiner genauen Rechnung von dieser Näherungsrechnung sind also vor allem dann zu erwarten, wenn der Abstand des Beobachtungsschirmes zur Spaltebene nicht deutlich größer ist als der Abstand zwischen den Spalten.

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Die Näherung, dass man den Sinus des Beugungswinkels gleich dem Tangens des Beugungswinkels setzt, ist eine weitere Näherung. Diese Näherung funktioniert gut für kleine Beugungswinkel. Abweichungen dieser Näherungsrechnung von einer exakten Rechnung (und damit auch vom Experiment) treten für große Beugungswinkel auf, also für hohe Beugungsordnungen oder wenn die Wellenlänge nicht klein gegenüber dem Spaltabstand ist.