Interferenz am Doppelspalt

soa · Anmeldungsdatum: 25.09.2005 Beiträge: 73

Hallo zusammen.

wenngleich es schon diverse Themen zum Doppelspalt gibt,poste ich doch meine nachstehende Aufgabe . Ich komme leider nicht auf das korrekte
Ergebnis.

Aufgabe:

Grünes Licht der Wellenlänge lamda = 546 nm trifft auf einen Doppelspalt. Auf einem 2 m entfernten Schirm
wird für den gegenseitigen Abstand der Minima 4. Ordnung ein Wert 2d4 = 2, 0 cm gemessen.

a) Wie groß ist der Abstand g der Spaltmitten?

Das Ergebnis lautet: g = 4, 91 · 10−4 m

Mein Ansatz:

x = Abstand zum Beobachtungspunkt
d = Abstand Gitter zum Schirm

Sei Alpha der Winkel zwischen dem Abstand des Gitters zum Schirm und
dem Beobachtungspunkt, dann ist

tan Alpha = x / d = 0,02 m / 2 m = 0,57 Grad

g = ( 4 * Lamda ) / arc sin Alpha
= (4* 5,46 * 10^-4) / 34,96 Grad
= 6,24 * 10 ^-5

Das kann ja wohl nicht stimmen. Wo mache ich denn einen Fehler ?

Vielen Dank.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

* Warum nimmst du den Arcussinus?

* Warum nimmst du die 2 cm als den Abstand zwischen Mitte und einem Maximum vierter Ordnung, anstatt als Abstand zwischen den beiden Minima vierter Ordnung?

// edit: Ich habe das Wort "Maxima" durch das Wort "Minima" ersetzt, siehe unten

soa · Anmeldungsdatum: 25.09.2005 Beiträge: 73

Hallo ,

es muss natürlich der sin sein , nicht der arc sin .

Mein Problem ist wohl, dass ich mit Minima 4. Ordnung nichts anfangen kann, daher habe ich einfach die 2 cm eingesetzt.

Wenn Du mir beim Verständnis bezüglich der Minima und Maxima behilflich sein könntest, wäre ich Dir sehr dankbar.

VG

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Einverstanden, sin.

In meinem Beitrag eben habe ich versehentlich statt Minima Maxima geschrieben, da in der Aufgabenstellung Minima steht, muss das bei mir also auch Minima heißen. // edit: Ich habe das oben nun korrigiert.

Wo die Minima verschiedener Ordnung liegen, das siehst du am allerleichtesten, wenn du dir mal eine Skizze machst. Von links kommt das Licht, trifft auf den Doppelspalt, und trifft dann rechts auf den Schirm.

Kennst du diese Skizze schon von der Herleitung deiner Formeln?

Magst du mal die Stellen auf den Schirm mit dicken Punkten kennzeichnen, an denen ein Maximum entsteht (angefangen in der Mitte des Schirmes, und dann sowohl nach unten als auch nach oben weiter) ? Dann kannst du prima abzählen, welches das Maximum bzw. Minimum der wievielten Ordnung ist.

soa · Anmeldungsdatum: 25.09.2005 Beiträge: 73

Ich kenne diese Applet hier:
http://www.walter-fendt.de/ph14d/doppelspalt.htm

und diese Skizze:
http://www.pi1.physik.uni-stuttgart.de/teaching/Vorlesungsversuche/V86.html

Abstand der Minima 4. Ordnung ein Wert 2d4 = 2, 0 cm

Was 2d4 ist weiss ich leider deswegen noch nicht, aber wenn es ein
Minima 4. Ordnung ist, dann sind die es 4 Spalten, die zusammen 8 cm
betragen.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ja, so ähnlich könnte deine Skizze aussehen.

Aber nimm auf keinen Fall irgendwelche fertigen Skizzen aus dem Netz (die legen ihren Schwerpunkt auf andere Dinge, als du sie jetzt brauchst), sondern mach dir deine eigene Skizze, und zeichne darin ein, was du konkret selbst brauchst, um die Herleitung der Position der Maxima und Minima verschiedener Ordnungen beim Doppelspalt zu verstehen.

Und um die Formeln zu finden (und/oder dich wieder daran zu erinnern), mit denen du die Position dieser Maxima und Minima ausrechnen kannst.

Mit welcher Herleitung hast du denn, in der Schule und/oder aus deinen Büchern, ... die Beugung am Doppelspalt gelernt, als du sie zum ersten Mal kennengelernt hast?

soa · Anmeldungsdatum: 25.09.2005 Beiträge: 73

Hallo Markus,

danke für die Mühe.

Leider habe ich in meinen Unterlagen keine entsprechende Formel.
Im Unterricht haben wir immer mit einem gegebenen Wert für x
gerechnet, so dass die Ordnungszahl nur mit lamda zu multiplizieren war.

Aus dem Netz habe ich jedoch diese Formel:

x min = ( 2n - 1) * lamda/2 * d/g // mit n = 4;
= 7lamda/2 * d/g

g ist aber gesucht.

Ist die Formel richtig?

VG

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Aber ihr werdet doch sicher irgendeine Skizze gemacht haben, um euch zu überlegen, bei welchem Gangunterschied am Doppelspalt Maxima bzw. Minima entstehen? Mindestens bei eurer allerersten Herleitung eurer ersten Formel für die Beugung am Doppelspalt für ein Maximum erster Ordnung?

Die Formel aus dem Netz ist natürlich eine richtige Formel, die die Lage von Minima beim Doppelspalt beschreibt, aber um sie richtig für diese Aufgabe zu verwenden, musst du die Skizze zur Herleitung dieser Formel und/oder das Beugungsbild, das da auf dem Schirm entsteht, vor Augen haben. (Sonst verwendest du sie falsch und bekommst ein falsches Ergebnis!) Am besten, in dem du es dir aufzeichnest.

Denn natürlich ist es nicht die Absicht des Aufgabenstellers, dass du irgendeine fertige Formel hernimmst und einsetzt, ohne ihre Herleitung verstanden zu haben, sondern der Aufgabensteller will natürlich, dass du das anwendest und übst, was du über die Beugung am Doppelspalt schon wirklich selbst verstanden hast.

soa · Anmeldungsdatum: 25.09.2005 Beiträge: 73

Zitat:
Aber ihr werdet doch sicher irgendeine Skizze gemacht haben, um euch zu überlegen, bei welchem Gangunterschied am Doppelspalt Maxima bzw. Minima entstehen? Mindestens bei eurer allerersten Herleitung eurer ersten Formel für die Beugung am Doppelspalt für ein Maximum erster Ordnung?

-- Nein, dass haben wir nicht. Die Aufgabe habe ich mir im Netz zum Üben besorgt.

Und die Skizze habe ich gemacht, aber wenn Du meinst , dass ich mir selbst aus der Skizze die richtige Formel herleiten kann , dann muss ich Dich leider enttäuschen. Das kann ich nicht.

Es ist doch so, dass die 0. Ordnung gerade durchläuft . x wäre hier wohl 0.
Jede weitere Ordnung erhöht den Winkel und somit den Abstand x.
Ein Minima entsteht dann, wenn sich ein Wellenberg und ein Wellental überlagern.

Es wäre echt klasse, wenn Du mir mit dem passenden Lösungsansatz
weiterhelfen könntest.

Ich habe niemanden, den ich sonst fragen könnte .

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Woher lernst du denn das, was du übst? Findest du dazu wirklich nichts in deinem Heftaufschrieb oder in deinen Büchern?

Hier im Physikerboard findest du schon ganze Referate zum Doppelspalt, wenn du mal im Optikbereich danach suchst.

Oder du schaust einfach die Wikipedia-Seite dazu an, die ist mittlerweile ziemlich aussagekräftig:

http://de.wikipedia.org/wiki/Doppelspaltexperiment#Mathematische_Beschreibung

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c1/Doppelspalt_schematisch.png

samt den Formeln darunter mit Erklärung.

Schaffst du es damit, das, was in deinen Formeln steht, in den Skizzen wiederzuerkennen?

Und eine Skizze zu machen, in der du die zwei Zentimeter aus der Aufgabenstellung so einzeichnen kannst, wie sie gemeint sind? Magst du diese Skizze mal hier reinstellen?

soa · Anmeldungsdatum: 25.09.2005 Beiträge: 73

Moin,

ja die Skizze kenne ich. Ohne diese hätte ich auch kaum meinen o.g. Ansatz vorgebracht. Ich habe jetzt noch einmal zur Ordnung eine Skizze
gemacht, wie ich mir das vorstelle:

Ich habe dazu mal die Ordnung von 0 - 2 eingetragen. Noch einmal zur Erinnerung : Ich würde gerne wissen, wie ich x berechne, wenn

Abstand der Minima 4. Ordnung ein Wert 2d4 = 2, 0 cm gegeben ist.

Vielen Dank.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Hoppla, achte darauf, dass sich die zwei Strahlen von den beiden Spalten, die auf dem Schirm miteinander interferieren, auch wirklich beide immer jeweils in ein- und demselben Punkt treffen.

Kannst du das in deiner Skizze korrigieren?

Und dann mal zum Beispiel in deiner Skizze mal den Abstand, ich nenne ihn mal

einzeichnen, den dann laut deiner korrigierten Skizze das Maximum 0. Ordnung vom oberen Maximum 2. Ordnung auf dem Schirm hat?

soa · Anmeldungsdatum: 25.09.2005 Beiträge: 73

Ach so,

x 2. Ordnung wäre dort wo die Pfeile zusammerlaufen.

Könnte man nicht dies Formel einsetzen ?

sin Alpha = ( 2n +1 ) / 2 * Lamda/ d

VG

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

soa · Anmeldungsdatum: 25.09.2005 Beiträge: 73

OK. Nach unten hin tritt natürlich das gleiche Phänomen auf.
Hier gibt es genauso Interfernzen.

Ich vermute mal , dass die grüne Linie dx markiert.

Skizze:

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Einverstanden smile

(Die Skizze ist zwar insbesondere bei der 0. Ordnung ein bisschen schief geraten, aber ich denke, du meinst sie schön symmetrisch Augenzwinkern

)

Wenn dir nun oben die Aufgabenstellung verraten hätte, wie lang diese grüne Linie ist, könntest du dann damit den Abstand der Spalte voneinander ausrechnen?

Kannst du auch eine ähnliche Skizze machen, in der du den Abstand des Minimums 4. Ordnung oben vom Minimum 4. Ordnung unten auf dem Schirm farbig einzeichnest? (Die Minima liegen ja bei der Beugung am Doppelspalt genau zwischen den jeweiligen Maxima)

soa · Anmeldungsdatum: 25.09.2005 Beiträge: 73

Zitat:
Wenn dir nun oben die Aufgabenstellung verraten hätte, wie lang diese grüne Linie ist, könntest du dann damit den Abstand der Spalte voneinander ausrechnen?

Hätte ich x so könnnte ich über

tan alpha = x / d den Winkel errechen und dann

g = 4* lamda / sin alpha die Maße von g errechnen. Wobei ich mit der
4 nicht mehr so sicher bin.

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Skizze: Man muss annehmen , dass die 2 eine 4 ist. Meine Skizze hat
ja nur 2 Ordnungen

soa · Anmeldungsdatum: 25.09.2005 Beiträge: 73

Nee, wenn die Minima genau die Hälfte der Maxima sind,
dann mußte der Minima Wert so aussehen für die 2. Ordnung:

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

soa · Anmeldungsdatum: 25.09.2005 Beiträge: 73

* Magst du mal sagen, was ein Gangunterschied ist?

Das ist die Wegdifferenz zweiter Welle gleicher Wellenlänge. Doppelspaltversuch also meistens mit Laser: Monochromatisches, Kohärentes Licht. Die Differenz entseht dadurch, dass der Eintritt
durch 2 verschieden Öffnungen / Spalten vollzogen wird.

Interferenz entsteht dann , wenn sich nun die Wellen überlagern. 2 oder auch mehr. Die Amplituden addieren sich entweder oder sie löschen sich gegenseitig aus. (konstruktiv / destruktiv).

Warum sind die Längen unterschiedlich. Der untere Weg ist länger, da durch den Abstand g des Doppelspalts ein längerer Weg vorliegt. Der Weg
ist um delta s länger und Δs ist n * lamda , wobei n die Ordnungszahl ist. Δs entspricht ja auch der Wegdifferenz der Wellen :-)

Das andere musste ich raussuchen:

Gangunterschied Δs der beiden Wellen ein ganzzahliges Vielfaches einer ganzen Wellenlänge λ ist. --> Maximum

Dann ist ein Minimum ein ungerades vielfaches der halben Wellenlänge.

Das weiss ich alles und jetzt mußt du mal verstehen, dass es himmelweite
Unterschiede zwischen Theorie und Praxis sind.

Ich schreibe bald eine Klausur und würde gern, wenn x nicht in der Aufgabe gegeben sein sollte, eine Lösung finden können.##

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

soa · Anmeldungsdatum: 25.09.2005 Beiträge: 73

Also:

*Wie groß ist der Gangunterschied der beiden Wellen, die sich an der Stelle des Schirmes treffen, an der das Miminum 4. Ordnung ist?

Δs = ( 2 n - 1 ) λ / 2
= 3,5 λ

Die untere Strecke ist um 3,5 λ länger als die obere Strecke zum Beobachtungspunkt.

* Wie groß ist also der Abstand dieses Punktes von der Schirmmitte, und wie groß ist der Abstand dieses Punktes von dem anderen Punkt auf dem Schirm, an dem das andere Minimum 4. Ordnung ist? (als Formel ausgedrückt)

Ich brauche x: 0,02 m * ?? = ??
Das weiss ich leider nicht.

* Wie groß ist der zweite der eben erwähnten Abstände laut Aufgabenstellung?

sin Alpha' = Δs / g wenn g der eben erwähnte Abstand ist.
und sin Alpha' ist gleich sin Alpha
bezogen auf die von Dir eingestellte Skizze.

Anders ausgedrückt ist g = Δs / sin ( arctan x /d ).

VG

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Prima, da fehlt nun nicht mehr viel. smile

Wie groß x jeweils ist, das findest du heraus, indem du Skizzen mit grünen Linien zeichnest. Und die Aufgabenstellung genau liest, welche dieser grünen Linien 2 cm lang sein soll.

Schaffst du es damit, das Ganze vollends komplett zusammenzusetzen?

soa · Anmeldungsdatum: 25.09.2005 Beiträge: 73

Nur durch zeichnen komme ich leider auch nicht zur Erleuchtung.

Ich könnte mir nach reiflicher Überlegung vorstellen, dass sich die
2 cm von der 4. oberen Ordnung bis zur 4. unteren Ordnung auf
der anderen Seite des Schirms erstrecken.

Was 2d4 bedeutet weiss ich nicht.

Rein rechnerisch müßte x ungefähr 8 mm groß sein.

Ich weiss hier keinen Rat...

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

soa · Anmeldungsdatum: 25.09.2005 Beiträge: 73

So wie ich das sehe der Abstand eines Minimums dann 0,25 cm ,
so dass ich mit 1 cm rechnen würde.

Ein Maximum läge z.B. bei 0.5 cm.

Wenn ich aber mit einem 1cm rechne , komme ich nicht auf ein
richtiges Ergebnis.

Dieses bekomme ich nur, wenn ich mit ca. 0,8 cm rechne ??

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Welche Skizze mit welcher grünen Linie musst du dir denn machen, um an die grüne Linie die 2 cm aus der Aufgabenstellung dranschreiben zu können? Mach unbedingt mal genau diese Skizze und stell sie hier rein!

soa · Anmeldungsdatum: 25.09.2005 Beiträge: 73

Also vom Minima 4. Ordnung bis Minima 4. Ordnung = 2 cm ?

Liegt das Minimum 4. Ordnung denn zwischen dem Max 3. und
4 . Ordnung ?

VG

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ja

// edit: Kleine Korrektur: Üblicherweise zählt man die Minima so, dass sie bei Null beginnen. Damit liegt das Minimum vierter Ordnung also zwischen dem Maximum 4. Ordnung und dem Maximum 5. Ordnung.

soa · Anmeldungsdatum: 25.09.2005 Beiträge: 73

Hallo, dann

würde ich ganz normal die Strecke vom Minima 4. Ordnung bis zur 0. Ordnung nehmen:

entspricht 1 cm = 0,01 m

Wellenlänge : 5,46 * 10^-7

g = (3,5 * 5,46 * 10^-7) / ( sin ( arctan( 0,01 / 2))

g = 3,82 * 10^-4

Ich komme hier auf das falsche Ergebnis ?

Danke

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ah, dann entsprach die Zählung der Minima in der Formel, die du aus Wikipedia genommen hattest, zu dem Zeitpunkt, als wir in Wikipedia nachgeschaut hatten, noch nicht der allgemein üblichen. (Bücher sind da verlässlicher)

Wenn man das nullte Minimum mitzählt, dann liegt das nullte Minimum zwischen den Maxima nullter und erster Ordnung, und demnach das Minimum vierter Ordnung zwischen den Maxima 4. und 5. Ordnung. Und die Positionen der Minima sind

Damit ist der Gangunterschied, den du hier brauchst, also nicht 3,5 Lambda, sondern 4,5 Lambda.