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PPS
Gast
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 PPS Verfasst am: 25. Feb 2026 14:24 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | PPS hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Telefonmann hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | In der Praxis der Quantenfeldtheorie geht es um Übergangsamplituden |
Das stimmt zwar, ist für das Thema hier aber möglicherweise unerheblich. |
Wo findest du denn ansonsten Pfadintegrale? |
Aus mathematischer Perspektive sind die relevant um überhaupt zu einer mathematischen rigorosen Definition einer QFT zu kommen. (Siehe bspw. Osterwalder-Schrader-Axiome oder das Buch "Mathematical Theory of Feynman Path Integrals" von Albeverio und Co.)
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Die Osterwalder-Schrader Axiome sind Aussagen über die Schwingerfunktionen der Feldtheorie. Sie sind aber unabhängig vom Pfadintegral-Formalimus. Wenn allerdings überhaupt eine Hoffnung für eine mathematisch annehmbare Definition für Pfadintegrale besteht, dann wohl nur in der euklidischen Feldtheorie. Es ist also eher so, dass euklidische Feldtheorie für eine rigorose Definition der Pfadintegrale relevant ist, nicht Pfadintegrale für eine rigirose Definition der QFT. Für die QFT braucht man nur Wightmann oder eben Osterwalder-Schrader-Axiome und Rekonstruktionstheorem, keine Pfadintegrale. |
Soweit ich weiß sind Euklidische Pfadintegrale der typische (einzige?) Zugang zur Konstruktion der Schwingerfunktionen. Ich kenne keine Konstruktion einer Euklidischen QFT ohne Pfadintegral.
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Das Problem war auch nicht eine euklidische QFT zu konstruieren, sondern mathematisch rigoros zu definieren, was eine QFT auf dem Minkowskiraum ist. Für Euklidische QFTs interessiert man sich (zumindest aus physikalischer Sicht) doch nur, weil sie leichter z.B. mittels Pfadintegralen zu behandeln sind und es dank OS-Theorem einen Zusammenhang zu Minkowski-QFTs gibt. Aber letztere sind bereits durch die Wightman-Axiome rigoros definiert. Die beziehen sich weder auf euklidische Feldtheorie noch auf Pfadintegrale.
Und den OS-Axiomen ist egal wo die Schwingerfunktionen herkommen, ob von einem euklidischen Pfadintegral oder aus wickrotierten Wightmanfunktionen. Sie sagen dir in jedem Fall ganz rigoros, ob es sich dabei um eine Minkowski-QFT handelt.
| Corbi hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: | | Wenn allerdings überhaupt eine Hoffnung für eine mathematisch annehmbare Definition für Pfadintegrale besteht, dann wohl nur in der euklidischen Feldtheorie. |
Dem kann ich nicht zustimmen. Siehe das Buch "Mathematical Theory of Feynman Path Integrals" von Albeverio und Co. Hier wurden bereits QFTs direkt im Minkowski-Raum konstruiert durch sogenannte unendlichdimensionale Fresnel-Integrale. Ebenso rigorose Pfadintegralkonstruktionen für die QM. |
Meine Aussage war zu allgemein formuliert. Ich bezog mich eigentlich nur auf wechselwirkende Feldtheorien im 4 dimensionalen Minkowskiraum, nicht auf QM. Ich vermute dazu steht in dem Buch auch nicht viel rigoroses?
| Corbi hat Folgendes geschrieben: | Das Problem hierbei ist bis jetzt aber interessante Wechselwirkungen zu behandeln - nicht das Pfadintegral an sich.
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Ja, natürlich ist das das Problem. Ohne interessante Wechselwirkungen brauche ich ja erst recht kein Pfadintegral. Und mit Wechselwirkungen ist es schwierig zu definieren. Im Gegensatz zu Wightman- oder Schwingerfunktionen, die leicht zu definieren sind (über die jeweiligen Axiome), nur eben schwer in physikalisch relevanten Fällen explizit zu kontruieren. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 498
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| Corbi Verfasst am: 25. Feb 2026 17:09 Titel: |
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| PPS hat Folgendes geschrieben: |
Meine Aussage war zu allgemein formuliert. Ich bezog mich eigentlich nur auf wechselwirkende Feldtheorien im 4 dimensionalen Minkowskiraum, nicht auf QM. Ich vermute dazu steht in dem Buch auch nicht viel rigoroses?
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doch es wird ein selbstwechselwirkendes Skalarfeld in 1+d dimensionen mit einem Wechselwirkungspotential aus der sogenannten Fresnel-Algebra (= Fourier-transformationen von beschränkten complexen Maßen) behandelt. Beispielsweise die Wechselwirkung der Sine-Gordon-Theorie fällt in diese Klasse.
Ich wollte darauf hinaus, dass eben nicht nur euklidische Pfadintegrale wohldefiniert sind, sondern es auch relativ gut verstandene, rigorose oszillatorische Pfadintegrale im Minkowski-Raum gibt.
Physikalisch relevante Wechselwirkungen zu behandeln ist sowohl für das Euklidische Pfadintegral als auch für das Fresnelintegral ein offenes Problem.
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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PPS
Gast
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| PPS Verfasst am: 25. Feb 2026 17:44 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | PPS hat Folgendes geschrieben: |
Meine Aussage war zu allgemein formuliert. Ich bezog mich eigentlich nur auf wechselwirkende Feldtheorien im 4 dimensionalen Minkowskiraum, nicht auf QM. Ich vermute dazu steht in dem Buch auch nicht viel rigoroses?
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doch es wird ein selbstwechselwirkendes Skalarfeld in 1+d dimensionen mit einem Wechselwirkungspotential aus der sogenannten Fresnel-Algebra (= Fourier-transformationen von beschränkten complexen Maßen) behandelt. Beispielsweise die Wechselwirkung der Sine-Gordon-Theorie fällt in diese Klasse.
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Mit d=3 im Minkowskiraum? Und da soll am Ende was Nichttriviales rauskommen? Da bleibe ich skeptisch. Soweit ich weiß gibt es überhaupt keine rigorose Definition einer nichtperturbativen wechselwirkenden QFT in 4 Dimensionen, weil sie bis jetzt alle am Trivialitätsproblem scheitern. Hast du dafür eine offene Quelle?
| Corbi hat Folgendes geschrieben: |
Ich wollte darauf hinaus, dass eben nicht nur euklidische Pfadintegrale wohldefiniert sind, sondern es auch relativ gut verstandene, rigorose oszillatorische Pfadintegrale im Minkowski-Raum gibt.
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Wie gesagt sind meine Zweifel am Pfadintegral nicht so allgemein, wie ich es ursprünglich formuliert hatte. Ich wollte nur darauf hinaus, dass Pfadintegrale nicht relevant sind um QFTs rigoros zu behandeln. Es gibt rigorose Behandungen, die keine Pfadintegrale verwenden. Selbst die OS-Axiome erwähnen sie gar nicht. (Auch wenn man Schwingerfunktionen in einigen Modellen mit Pfadintegralen berechnen kann.) |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 498
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| Corbi Verfasst am: 25. Feb 2026 17:55 Titel: |
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| PPS hat Folgendes geschrieben: |
Mit d=3 im Minkowskiraum? Und da soll am Ende was Nichttriviales rauskommen? Da bleibe ich skeptisch. Soweit ich weiß gibt es überhaupt keine rigorose Definition einer nichtperturbativen wechselwirkenden QFT in 4 Dimensionen, weil sie bis jetzt alle am Trivialitätsproblem scheitern. Hast du dafür eine offene Quelle? |
ja für beliebige Dimensionen d im Minkowski-Raum. Es wird aber sowohl ein UV-Cutoff als auch ein IR-Cutoff eingeführt. Renormierung wird nicht diskutiert. Trivialitätsprobleme treten ja in der Regel erst bei der Renormierung auf. Eine andere Quelle als das Buch kenne ich dazu nicht.
| Zitat: |
Wie gesagt sind meine Zweifel am Pfadintegral nicht so allgemein, wie ich es ursprünglich formuliert hatte. Ich wollte nur darauf hinaus, dass Pfadintegrale nicht relevant sind um QFTs rigoros zu behandeln. Es gibt rigorose Behandungen, die keine Pfadintegrale verwenden. Selbst die OS-Axiome erwähnen sie gar nicht. (Auch wenn man Schwingerfunktionen in einigen Modellen mit Pfadintegralen berechnen kann.) |
Verstehe! Alles klar... In welchen Arbeiten werden die Schwingerfunktionen ohne Pfadintegral konstruiert? würde mich über eine Quelle freuen :-)
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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PPS
Gast
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| PPS Verfasst am: 25. Feb 2026 18:04 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | PPS hat Folgendes geschrieben: |
Mit d=3 im Minkowskiraum? Und da soll am Ende was Nichttriviales rauskommen? Da bleibe ich skeptisch. Soweit ich weiß gibt es überhaupt keine rigorose Definition einer nichtperturbativen wechselwirkenden QFT in 4 Dimensionen, weil sie bis jetzt alle am Trivialitätsproblem scheitern. Hast du dafür eine offene Quelle? |
ja für beliebige Dimensionen d im Minkowski-Raum. Es wird aber sowohl ein UV-Cutoff als auch ein IR-Cutoff eingeführt. |
Ja, und genau das ist der Haken.
| Corbi hat Folgendes geschrieben: |
Renormierung wird nicht diskutiert. Trivialitätsprobleme treten ja in der Regel erst bei der Renormierung auf.
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Was heißt erst? Die treten auf wenn du versuchst die Cutoffs loszuwerden. Das ist ja gerade das Problem. Vorher hast du keine lorentzinvariante Theorie. Also sind auch weder die Wightman- noch die OS-Axiome erfüllt. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 498
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| Corbi Verfasst am: 25. Feb 2026 18:11 Titel: |
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| PPS hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | PPS hat Folgendes geschrieben: |
Mit d=3 im Minkowskiraum? Und da soll am Ende was Nichttriviales rauskommen? Da bleibe ich skeptisch. Soweit ich weiß gibt es überhaupt keine rigorose Definition einer nichtperturbativen wechselwirkenden QFT in 4 Dimensionen, weil sie bis jetzt alle am Trivialitätsproblem scheitern. Hast du dafür eine offene Quelle? |
ja für beliebige Dimensionen d im Minkowski-Raum. Es wird aber sowohl ein UV-Cutoff als auch ein IR-Cutoff eingeführt. |
Ja, und genau das ist der Haken.
| Corbi hat Folgendes geschrieben: |
Renormierung wird nicht diskutiert. Trivialitätsprobleme treten ja in der Regel erst bei der Renormierung auf.
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Was heißt erst? Die treten auf wenn du versuchst die Cutoffs loszuwerden. Das ist ja gerade das Problem. Vorher hast du keine lorentzinvariante Theorie. Also sind auch weder die Wightman- noch die OS-Axiome erfüllt. |
 
ja kommt immer darauf aus welcher Perspektive du es betrachtest. Aus Sicht der mathematischen Physik ist auch das Studium niederenergetischer Modelle interessant bei der z.B. ein UV-Cutoff erhalten bleibt und man die Eigenschaften des Modells mit Cutoff rigoros studiert.
Wenn du natürlich die volle Lorentzinvariante, Wechselwirkende QFT ala Millenium-Problem willst - liefert dir die Theorie der Fresnelintegrale natürlich auch noch keine Lösung.
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PPS
Gast
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| PPS Verfasst am: 26. Feb 2026 19:14 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: |
In welchen Arbeiten werden die Schwingerfunktionen ohne Pfadintegral konstruiert? würde mich über eine Quelle freuen :-) |
Ich kenne leider keine. Ich sprach aber auch nicht von konstruktiver QFT, sondern allgemein von axiomatischer QFT. Dort beweist man komplett rigoros Aussagen über Quantenfeldtheorien aus z.B. den Wightman- oder Haag-Kastler Axiomen. Klassische Resultate wären natürlich das PCT-, das Spin-Statistic-Theorem oder die Haag-Ruelle-Streutheorie als rigorose Alternative zur heuristischen Variante im nichtexistenten Diracbild. (Alles ohne Pfadintegrale.) Auch perturbative QFT läßt sich rigoros konstruieren (Stichworte: kausale Störungstheorie und Deformationsquantisierung), ohne dass dabei Pfadintegrale eine besondere Rolle spielen würden.
Die explizite Konstruktion von Modellen für z.B. die OS-Axiome mittels euklidischer Pfadintegrale oder anderer Methoden ist für mich einfach ein anderes viel spezielleres Thema und hat keinen Alleinanspruch auf Rigorosität.
| Corbi hat Folgendes geschrieben: |
Wenn du natürlich die volle Lorentzinvariante, Wechselwirkende QFT ala Millenium-Problem willst - liefert dir die Theorie der Fresnelintegrale natürlich auch noch keine Lösung. |
Das macht ja nichts. Das ist gar nicht mein Anspruch. Ich wollte nur eine Vorstellung davon bekommen, was genau in dem Buch bewiesen wird, das Du zitiert hast. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 498
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| Corbi Verfasst am: 28. Feb 2026 10:15 Titel: |
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| PPS hat Folgendes geschrieben: |
Ich kenne leider keine. Ich sprach aber auch nicht von konstruktiver QFT, sondern allgemein von axiomatischer QFT. Dort beweist man komplett rigoros Aussagen über Quantenfeldtheorien aus z.B. den Wightman- oder Haag-Kastler Axiomen. Klassische Resultate wären natürlich das PCT-, das Spin-Statistic-Theorem oder die Haag-Ruelle-Streutheorie als rigorose Alternative zur heuristischen Variante im nichtexistenten Diracbild. (Alles ohne Pfadintegrale.) Auch perturbative QFT läßt sich rigoros konstruieren (Stichworte: kausale Störungstheorie und Deformationsquantisierung), ohne dass dabei Pfadintegrale eine besondere Rolle spielen würden.
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Verstehe. Aber das Problem bei diesem Ansatz ist ebenso, dass niemand zeigen kann, dass nichttriviale Operatoralgebren existieren, die die Axiome erfüllen - oder?
| PPS hat Folgendes geschrieben: |
Das macht ja nichts. Das ist gar nicht mein Anspruch. Ich wollte nur eine Vorstellung davon bekommen, was genau in dem Buch bewiesen wird, das Du zitiert hast. |
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