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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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Wohnort: In einem chaotischen Universum
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 antaris Verfasst am: 10. Jan 2025 12:51 Titel: |
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In 1, 2, 3 oder alle 3?
Warum hast du
| Zitat: | | 1. Ein Minkowski-Diagramm einer flachen Raumzeit, darin ein ausgewähltes Beobachterfeld, dazu dessen Gleichzeitigkeit-Hyperflächen |
geschrieben, wenn
| Zitat: | | Ein Beobachterfeld ist ein Feld, das von unendlich vielen Beobachtern aufgespannt wird, die sich an allen Punkten eines raumartigen Schnitts befinden müssen, um diesen aufzuspannen. Sonst ist das kein Beobachterfeld. |
und somit je ein Beobachterfeld pro Gleichzeitigkeit-Hyperfläche/raumartigen Schnitt definiert ist?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 10. Jan 2025 13:12 Titel: |
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Weil ein Beobachterfeld auf einer Hyperfläche auch auf weitere Hyperflächen fortgesetzt werden kann. Die Beobachter lösen sich ja nicht in Luft auf.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 10. Jan 2025 13:15 Titel: |
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Ok.
Im Fall von 1. Minkowski ist der Vektor für jeden Beobachter gleich und somit das Beobachterfeld an jedem Ort auf allen Hyperfläche identisch?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 10. Jan 2025 13:44 Titel: |
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Nein, nicht notwendigerweise.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 10. Jan 2025 13:48 Titel: |
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...nicht wenn es Beobachter gibt, die relativ zueinander bewegt sind?
1. Minkowski
Ich habe n-Ereignisse (mit raumartigen Abstand dx zueinander) und in hellgrüner Fläche die Beobachterfelder u(E_i,Σ_t) aller hypothetischen Beobachter bei den n-Ereignissen auf den Hyperflächen Σ_t dargestellt.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 10. Jan 2025 14:18 Titel: |
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Für 2. Schwarzschild und 3. Schwarzschild + frei fallendes Beobachterfeld sehe ich nicht wie ich das unterschiedlich darstellen soll. Im 1. Fall sind die Ereignisse und die damit verbundenen hypothetischen Beobachter ortsfest und im 2. Fall ortsveränderlich. Das Beobachterfeld ist in beiden Fällen identisch?
Die räumlichen Abstände und Winkel zwischen den Ereignissen bzw. den dortigen hypothetischen Beobachter sind infintesimal.
Im screenshot von Geogebra ist die Fläche zwischen grüner und roter Kurve das Beobachterfeld?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 10. Jan 2025 14:21 Titel: |
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prima
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Für 2. Schwarzschild und 3. Schwarzschild + frei fallendes Beobachterfeld sehe ich nicht wie ich das unterschiedlich darstellen soll. Im 1. Fall sind die Ereignisse und die damit verbundenen hypothetischen Beobachter ortsfest und im 2. Fall ortsveränderlich. Das Beobachterfeld ist in beiden Fällen identisch? |
Nein.
In deinem zweiten Bild weisen die Weltlinien der Beobachter nach innen hin zu kleineren Radien r. Damit sind diese Beobachter sicher nicht ortsfest.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1383
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| antaris Verfasst am: 10. Jan 2025 14:33 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | In deinem zweiten Bild weisen die Weltlinien der Beobachter nach innen hin zu kleineren Radien r. Damit sind diese Beobachter sicher nicht ortsfest. |
Weil sie wie relativ zueinander bewegt erscheinen, also die Koordinatensysteme jeder einzelnen Ereignisse E_i zueinander mit einem (bei direkt benachbarten Ereignissen infintesimalen) Winkel verdreht sind?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 10. Jan 2025 15:25 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | In deinem zweiten Bild weisen die Weltlinien der Beobachter nach innen hin zu kleineren Radien r. Damit sind diese Beobachter sicher nicht ortsfest. |
Weil sie wie relativ zueinander bewegt erscheinen, also die Koordinatensysteme jeder einzelnen Ereignisse E_i zueinander mit einem (bei direkt benachbarten Ereignissen infinitesimalen) Winkel verdreht sind? |
Schwieriges Statement.
Du kannst nicht mit Koordinatensystemen argumentieren, die erst durch die Beobachterfelder definiert werden.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1383
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| antaris Verfasst am: 10. Jan 2025 17:30 Titel: |
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Aber es ist äquivalent zur SRT, nur das der entscheidende Faktor nicht v^2/c^2 ist, sondern in der ART r_s/r. So können 2 Ereignisse in einer gekrümmten Raumzeit mit EH bei r_s < r_1 < r_2 "minkowskisch" miteinander verglichen werden?
Demzufolge ist die Skizze aber auch nicht falsch, sondern zeigt nur einen infinitesimalen Beobachter von unendlich vielen anderen je Hyperfläche.
Dann war die Darstellung bei Geogebra im anderen Thread auch richtig aber dort nur für einen infinitesimalen Beobachter auf einer Hyperfläche Sigma_t.
Der Beobachter kann dort auf "unphysikalische Art und Weise" einfach verschoben werden. Ich habe Spur anzeigen aktiviert und ein paar Mal den Punkt auf der Kurve verschoben. So wird das oben beschriebene Beobachterfeld auf der Hyperfläche sichtbar.
Das Bild ist im Anhang.
Hier zum selber probieren
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 10. Jan 2025 18:21 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Aber es ist äquivalent zur SRT, nur das der entscheidende Faktor nicht v^2/c^2 ist, sondern in der ART r_s/r. |
Beides ist noch unzulässig.
Das Beobachterfeld definiert die Koordinaten, also kannst du nicht umgekehrt die Koordinaten für das Beobachterfeld verwenden.
Zeichne dich bitte drei Beobachterfelder ein: 1. stationär, 2. freier Fall, 3. irgendwie fancy aber zulässig (siehe oben)
| Beschreibung: |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1383
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| antaris Verfasst am: 10. Jan 2025 19:56 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | antaris hat Folgendes geschrieben: | | Aber es ist äquivalent zur SRT, nur das der entscheidende Faktor nicht v^2/c^2 ist, sondern in der ART r_s/r. |
Beides ist noch unzulässig.
Das Beobachterfeld definiert die Koordinaten, also kannst du nicht umgekehrt die Koordinaten für das Beobachterfeld verwenden. |
Du hattest geschrieben:
| Zitat: | | Formal handelt es sich dabei um ein Vektorfeld n. Jedes derartige Vektorfeld definiert lokal = an jedem Punkt der Raumzeit eine zeitartige Weltlinie und damit eine Zeitkoordinate entsprechend der Eigenzeit des Beobachters. |
Warum hängt das Vektorfeld und damit die Weltlinie und die Zeitkoordinate bei jedem Beobachter nicht einzig vom Ort zwischen r_s und r_∞ ab?
Wir selbst befinden uns mit dem Sonnensystem auch irgendwo dazwischen und alle zusammen auf der Erde im asymptotisch flachen Raum und damit auf einer Hyperfläche.
Wir müssen aber gar nicht zwingend über Regionen reden, die experimentell unerreichbar sind. Reicht es nicht darüber nachzudenken, was das auf Hinblick der Lichtuhr oder hochpräzisen Zeitdilatationsmessung zwischen 1 mm Abstände hier auf der Erde geschieht? Es sind doch die gleichen physikalischen Gesetze, nur das wir hier Experimente durchführen können.
=\frac{dt}{\sqrt{\frac{1}{1-\frac{r_{s}}{r_{E}} } } } )
| Zitat: | | Zeichne dich bitte drei Beobachterfelder ein: 1. stationär, 2. freier Fall, 3. irgendwie fancy aber zulässig (siehe oben) |
Meine Zeichnung ist fancy?
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1383
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 11. Jan 2025 11:37 Titel: |
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Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Vektoren des Beobachterfeldes und den Killing-Vektoren?
Ist folgender Ansatz auch fancy aber zulässig?
Arxiv: Visualizing curved spacetime
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 498
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| Corbi Verfasst am: 11. Jan 2025 12:03 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Vektoren des Beobachterfeldes und den Killing-Vektoren?
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wenn ein zeitartiges Killingvektorfeld existiert ist die Raumzeit per Definition statisch.
Ein solches zeitartiges Killingvektorfeld erlaubt eine natürliche, koordinatenunabhängige Definition, eines "unbewegten Beobachterfelds" also von Beobachtern die sich nicht durch den Raum bewegen. Denn bewegt man sich entlang der Flusslinien des Killing-Felds so verändert sich die Geometrie des Raums nicht.
In einer allgemeinen Raumzeit ohne zeitartiges Killing-vektorfeld gibt es keine kanonische Definition eines "unbewegten Beobachters".
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 11. Jan 2025 14:41 Titel: |
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@antaris -
Ein Beobachterfeld hängt von der Raumzeit ab, in der sich die Beobachter bewegen; aber ein Beobachterfeld hängt nicht von den Koordinaten auf der Raumzeit ab – es definiert diese.
Ein Sturm über der Nordsee hängt auch nicht vom Koordinatensystem ab, das wir definiert haben. Er kommt ohne aus und findet am selben Ort statt – unabhängig von Koordinaten.
Um festzustellen, ob dein Beobachterfeld zulässig ist, müsstest du Lichtkegel einzeichnen; die Vektoren je Beobachter müssen innerhalb des lokalen Lichtkegels liegen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 11. Jan 2025 16:04 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | antaris hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | In deinem zweiten Bild weisen die Weltlinien der Beobachter nach innen hin zu kleineren Radien r. Damit sind diese Beobachter sicher nicht ortsfest. |
Weil sie wie relativ zueinander bewegt erscheinen, also die Koordinatensysteme jeder einzelnen Ereignisse E_i zueinander mit einem (bei direkt benachbarten Ereignissen infinitesimalen) Winkel verdreht sind? |
Schwieriges Statement.
Du kannst nicht mit Koordinatensystemen argumentieren, die erst durch die Beobachterfelder definiert werden. |
hast Du nicht auch mit (einem) Koordinatensystem argumentiert, wenn Du sagst?:
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
In deinem zweiten Bild weisen die Weltlinien der Beobachter nach innen hin zu kleineren Radien r. Damit sind diese Beobachter sicher nicht ortsfest. |
der Radius r ist ja in der Grafik in einem Koordinatensystem eingezeichnet.
oder geht es darum, dass die (Vierergeschwindigkeits-)Vektoren der Beobachter nicht alle im 90° Winkel zu den  stehen
und damit eine nicht verschiedene Raum-Komponente haben?
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1383
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 11. Jan 2025 17:34 Titel: |
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Ich verstehe es nicht so ganz. Es geht um raumzeitliche Abstände oder nicht? Wir können verschiedene Koordinatensysteme oder sogar koordinatenfrei argumentieren, aber irgendwie müssen Abstände gemessen und miteinander verglichen werden können. Ob die Natur eine Art Koordinatensystem nutzt oder nicht, das wissen wir nicht.
Ich denke für den zeitlichen Sprung von einer Hyperebene zur nächsten, in Richtung Zukunft, sollte eine endliche Zeit vergehen. Irgendeine Uhr muss diskret ticken, damit die Raumzeit foliert werden kann.
Ich weiß es nicht aber irgendwie sehe ich als Problem in der Definition eines Zeitnormals, mit dem alle Beobachter im Beobachterfeld verglichen werden können?!
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 11. Jan 2025 18:08 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | antaris hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | In deinem zweiten Bild weisen die Weltlinien der Beobachter nach innen hin zu kleineren Radien r. Damit sind diese Beobachter sicher nicht ortsfest. |
Weil sie wie relativ zueinander bewegt erscheinen, also die Koordinatensysteme jeder einzelnen Ereignisse E_i zueinander mit einem (bei direkt benachbarten Ereignissen infinitesimalen) Winkel verdreht sind? |
Schwieriges Statement.
Du kannst nicht mit Koordinatensystemen argumentieren, die erst durch die Beobachterfelder definiert werden. |
hast Du nicht auch mit (einem) Koordinatensystem argumentiert, wenn Du sagst?:
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
In deinem zweiten Bild weisen die Weltlinien der Beobachter nach innen hin zu kleineren Radien r. Damit sind diese Beobachter sicher nicht ortsfest. |
der Radius r ist ja in der Grafik in einem Koordinatensystem eingezeichnet. |
Ja, du hast recht.
Ich hätte erst klären müssen, was r bedeutet, ob es eine physikalische Messgröße ist o.ä.
Über die Winkel habe ich noch nicht gesprochen. Es gibt verschiedene Konventionen. In Minkowski-Diagrammen kommen auch Winkel ungleich 90° zwischen Weltlinien und Gleichzeitigkeitshyperfläche vor.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 11. Jan 2025 18:22 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Ich verstehe es nicht so ganz. Es geht um raumzeitliche Abstände oder nicht? Wir können verschiedene Koordinatensysteme oder sogar koordinatenfrei argumentieren, aber irgendwie müssen Abstände gemessen und miteinander verglichen werden können. Ob die Natur eine Art Koordinatensystem nutzt oder nicht, das wissen wir nicht. |
Wie soll die Natur ein Koordinatensystem "benutzen"?
Die koordinatenfreie Definition von Messgrößen ist unhandlich und abstrakt. Eine völlig koordinatenfreie Formulierung unserer Theorien ist nicht bekannt. Aber man kann beweisen, dass die Theorien und Mesgrößen unabhängig von den verwendeten Koordinatensysteme ist (Diffeomorphismen-Invarianz)
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Ich denke für den zeitlichen Sprung von einer Hyperebene zur nächsten, in Richtung Zukunft, sollte eine endliche Zeit vergehen. |
Nein, siehe hier:
| Zitat: | | Formal handelt es sich dabei um ein Vektorfeld n. Jedes derartige Vektorfeld definiert lokal = an jedem Punkt der Raumzeit eine zeitartige Weltlinie und damit eine Zeitkoordinate entsprechend der Eigenzeit des Beobachters. Insbs. entspricht das n der Gesamtheit der Tangenteneinheitsvektoren der Weltlinien sämtlicher Beobachter. n steht in jedem Punkt senkrecht auf lokalen, raumartigen Gleichzeitigkeitshyperflächen Sigma. Diese ändern sich stetig zwischen infinitesimal benachbarten Beobachtern und definieren einen globalen 3-dim. raumartigen "Schnitt" durch die 4-dim. Raumzeit. |
| Zitat: | | Irgendeine Uhr muss diskret ticken, damit die Raumzeit foliert werden kann. |
Nein.
Es handelt sich um eine rein formale Methode zur Definition von mathematischen Größen wie Beobachterfeldern, den damit assoziierten Gleichzeitigkeitshyperflächen sowie Koordinatensystemen, nicht um eine praktisch durchführbare Methode.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1383
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| antaris Verfasst am: 11. Jan 2025 19:07 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | antaris hat Folgendes geschrieben: | | Ich verstehe es nicht so ganz. Es geht um raumzeitliche Abstände oder nicht? Wir können verschiedene Koordinatensysteme oder sogar koordinatenfrei argumentieren, aber irgendwie müssen Abstände gemessen und miteinander verglichen werden können. Ob die Natur eine Art Koordinatensystem nutzt oder nicht, das wissen wir nicht. |
Wie soll die Natur ein Koordinatensystem "benutzen"? |
Ja das ist blöd formuliert....egal
| Zitat: | | Die koordinatenfreie Definition von Messgrößen ist unhandlich und abstrakt. Eine völlig koordinatenfreie Formulierung unserer Theorien ist nicht bekannt. Aber man kann beweisen, dass die Theorien und Mesgrößen unabhängig von den verwendeten Koordinatensysteme ist (Diffeomorphismen-Invarianz) |
Das meine ich. Raumzeitliche Abstände bleiben in allen KS identisch, da es sich um invariante Messgrößen handelt? Auf der Hyperfläche selbst existieren aber nur raumartige Abstände, z.B. der Radius von der Zentralmasse...können die nicht einfach entlang der gekrümmten Oberfläche abgemessen/berechnet werden und sind für alle Beobachter auf der Hyperfläche identisch?
| Zitat: | | antaris hat Folgendes geschrieben: | | Ich denke für den zeitlichen Sprung von einer Hyperebene zur nächsten, in Richtung Zukunft, sollte eine endliche Zeit vergehen. |
Nein, siehe hier:
| Zitat: | | Es handelt sich um eine rein formale Methode zur Definition von mathematischen Größen wie Beobachterfeldern, den damit assoziierten Gleichzeitigkeitshyperflächen sowie Koordinatensystemen, nicht um eine praktisch durchführbare Methode. |
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ADM hilft also nur die Raumzeit mittels mathematischer Struktur fass- und beschreibbar zu machen?
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 11. Jan 2025 19:13 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: |
hast Du nicht auch mit (einem) Koordinatensystem argumentiert, wenn Du sagst?:
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
In deinem zweiten Bild weisen die Weltlinien der Beobachter nach innen hin zu kleineren Radien r. Damit sind diese Beobachter sicher nicht ortsfest. |
der Radius r ist ja in der Grafik in einem Koordinatensystem eingezeichnet. |
Ja, du hast recht.
Ich hätte erst klären müssen, was r bedeutet, ob es eine physikalische Messgröße ist o.ä. |
Was bedeutet r?
Warum ist das kippen der Lichtkegel, hin zum EH, je kleiner r ist und der Vergleich zwischen zunehmender Zeitdilatation aus Geschwindigkeit (SRT) und zunehmender Zeitdilatation aus Gravitation bzw. in Abhängigkeit zu r (ART) problematisch? Bedeutet nicht beides nur die Zunahme von Energie des betrachteten Systems?
| Zitat: | | Über die Winkel habe ich noch nicht gesprochen. Es gibt verschiedene Konventionen. In Minkowski-Diagrammen kommen auch Winkel ungleich 90° zwischen Weltlinien und Gleichzeitigkeitshyperfläche vor. |
Doch aber nur zwischen verschiedenen Beobachtern auf einer Hyperfläche? Lokal bei jedem Beobachter ist der Winkel zwischen Weltlinie und Hyperfläche immer 90° oder habe ich was falsch verstanden?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 11. Jan 2025 21:16 Titel: |
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Wie gesagt, es gibt unterschiedliche Konventionen.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 11. Jan 2025 21:29 Titel: |
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Die Konventionen sind beliebig festgelegt? Wo kann ich das nachlesen?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 11. Jan 2025 21:51 Titel: |
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In allen folgenden Fällen beträgt der Öffnungswinkel der Lichtkegel 90°, der Winkel zwischen Weltlinie (lokale Zeitrichtung) und Gleichzeitigkeits-Hyperfläche (lokale Raumrichtung) ist daher ungleich 90°.
https://en.wikipedia.org/wiki/Kruskal%E2%80%93Szekeres_coordinates
| Zitat: | | Kruskal–Szekeres coordinates have a number of useful features which make them helpful for building intuitions about the Schwarzschild spacetime. Chief among these is the fact that all radial light-like geodesics … look like straight lines at a 45-degree angle when drawn in a Kruskal–Szekeres diagram … |
https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_diagram
| Zitat: | | AcPenrose diagram … is a two-dimensional diagram capturing the causal relations between different points in spacetime through a conformal treatment of infinity. It is an extension … of the Minkowski diagram of special relativity where the vertical dimension represents time, and the horizontal dimension represents a space dimension. Using this design, all light rays take a 45° path … |
https://en.wikipedia.org/wiki/Spacetime_diagram | Zitat: | | The most well-known class of spacetime diagrams are known as Minkowski diagrams … Additionally, the time and space units of measurement are chosen in such a way that an object moving at the speed of light is depicted as following a 45° angle to the diagram's axes. |
Im folgenden Fall verhält sich dies anders:
https://en.wikipedia.org/wiki/Eddington%E2%80%93Finkelstein_coordinates
Hier schließen sich die Lichtkegel nahe des SLs. Sie auch das Bild oben.
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 12. Jan 2025 11:40 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Über die Winkel habe ich noch nicht gesprochen.
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Du schriebst weiter vorne:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Mal eine etwas anschaulichere Erklärung:
Ich definieren ein gedachtest Beobachterfeld, wie masse- und drucklosen Staub, der das Universum dicht durchdringt und einer zeitartigen und glatten jedoch ansonsten beliebigen d.h. ggf. auch beschleunigten Strömung folgt. Zeitartig bedeutet lokal mit v < x; glatt bedeutet, die Strömung ist laminar.
Formal handelt es sich dabei um ein Vektorfeld n. Jedes derartige Vektorfeld definiert lokal = an jedem Punkt der Raumzeit eine zeitartige Weltlinie und damit eine Zeitkoordinate entsprechend der Eigenzeit des Beobachters. Insbs. entspricht das n der Gesamtheit der Tangenteneinheitsvektoren der Weltlinien sämtlicher Beobachter. n steht in jedem Punkt senkrecht auf lokalen, raumartigen Gleichzeitigkeitshyperflächen Sigma. Diese ändern sich stetig zwischen infinitesimal benachbarten Beobachtern und definieren einen globalen 3-dim. raumartigen "Schnitt" durch die 4-dim. Raumzeit.
Im ADM-Formalismus dreht man diese Logik um, d.h. man definiert auf einer 3-dim. Gleichzeitigkeitshyperfläche geeignete Anfangsbedingungen für die Geometrie d.h. insbs. die intrinsische und extrinsische Krümmung von Sigma sowie weitere Felder auf Sigma. Die Zeitentwicklung in einer Koordinate t senkrecht zu Sigma d.h. in Richtung des Vektorfeldes n erzeugt einen dichten Stapel von Blättern aufeinanderfolgender Sigma(t), d.h. die Raumzeit. |
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Es gibt verschiedene Konventionen. In Minkowski-Diagrammen kommen auch Winkel ungleich 90° zwischen Weltlinien und Gleichzeitigkeitshyperfläche vor. |
Ich fände es zielführender* erstmal bei einer Konvention zu bleiben und von dieser ausgehend die drei Darstellungen zu erarbeiten.
*)bezogen auf das Ziel, antaris das Konzept von Gleichzeitigkeitsflächen und AMD-Formalismus näher zu bringen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 12. Jan 2025 12:05 Titel: |
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Ich sprach von Konventionen in Diagrammen:
| Zitat: | | Über die Winkel habe ich noch nicht gesprochen. Es gibt verschiedene Konventionen. In Minkowski-Diagrammen kommen auch Winkel ungleich 90° zwischen Weltlinien und Gleichzeitigkeitshyperfläche vor. |
D.h. für ein Objekt mit Vierergeschwindigkeit u und zeitartiger Koordinatenachse
} = u_\mu)
und dessen mitbewegten räumlichen Koordinatenachsen gilt für i=1,2,3 immer
} = 0)
Das ist keine Konvention sondern eine lokal Lorentz-invariante Aussage.
Aber im Minkowski-Diagramm wird das für einen nicht ruhenden Beobachter mit Dreiergeschwindigkeit
)
nicht so dargestellt.
Bereits der einfachste Fall verletzt also diese Konvention für die Darstellung. Das von mir vorgeschlagene für ein Schwarzes Loch entspricht für große Abständer der Konvention des Minkowski-Diagramms.
Antaris mag sich das heraussuchen.
@antaris –
wie gesagt, zeichne doch bitte verschiedene Beobachterfelder für die selbe Raumzeit eines Schwarzen Lochs, insbs. frei fallende = kräftefreie, ortsfeste = beschleunigte
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 12. Jan 2025 13:00 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Aber im Minkowski-Diagramm wird das für einen nicht ruhenden Beobachter mit Dreiergeschwindigkeit
nicht so dargestellt.
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Bei dieser Aussage:
| Aruna hat Folgendes geschrieben: |
oder geht es darum, dass die (Vierergeschwindigkeits-)Vektoren der Beobachter nicht alle im 90° Winkel zu den stehen
und damit eine nicht verschiedene Raum-Komponente haben? |
Meinte ich die Beobachter, die antaris in sein zweites Diagramm Beobachterfeld_2.png eingezeichnet hat und die m. E. die ebenfalls eingezeichneten Gleichzeitigkeitsflächen definieren sollen.
Die stehen weder senkrecht auf der x-Achse des verwendeten Koordinatensystems noch (alle) auf den eingezeichneten Linien, die eventuell wohl die Schnitte ein flammsches Paraboloid zu verschiedenen Zeiten darstellen sollen.
Was ich problematisch finde, da f(x) in der Geogebra-Darstellung keine Zeit repräsentiert.
Zuletzt bearbeitet von Aruna am 12. Jan 2025 13:44, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 12. Jan 2025 13:34 Titel: |
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Ok, du meinst die Verwendung von Eddington-Finkelstein-Koordinaten ist die bessere Wahl, da die Singularitäten auf dem EH verschwinden und die Metrik zeitunabhängig ist?
Zeitunabhägig, da nur Nullgeodäten, also die von Photonen, betrachtet werden und für diese keine Eigenzeit definierbar ist? So wird durch die Nullgeodäten eine Oberfläche konstanter Zeit definiert? Penrose hat das lt. Wiki in seinen Diagrammen übernommen?
Die Darstellung oben was du geteilt hast und die auf Wiki sind etwas unterschiedlich. Woran liegt das? Prinzipiell verlaufen zeitartige geodäten immer innerhalb der Lichtkegel.
| Zitat: | | Das von mir vorgeschlagene für ein Schwarzes Loch entspricht für große Abständer der Konvention des Minkowski-Diagramms. |
Du meinst beim Diagramm mit Eddington-Finkelstein-Koordinaten?
| Zitat: | | wie gesagt, zeichne doch bitte verschiedene Beobachterfelder für die selbe Raumzeit eines Schwarzen Lochs, insbs. frei fallende = kräftefreie, ortsfeste = beschleunigte |
Ich denke gerade darüber nach aber verstehe irgendwie noch nicht das Diagramm...weiß gerade aber auch noch nicht die Frage...
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 12. Jan 2025 14:17 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: |
Ok, du meinst die Verwendung von Eddington-Finkelstein-Koordinaten ist die bessere Wahl, da die Singularitäten auf dem EH verschwinden und die Metrik zeitunabhängig ist? |
Besser, da keine Singularität auf dem EH. Das ist keine Eigenschaft des Diagramms sondern der Koordinaten.
Evtl. irritierend wegen der Winkel. Das ist eine Eigenschaft des Diagramms.
Das die Metrik zeitunabhängig ist, ist keine Eigenschaft des Diagramms sondern der Koordinaten.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Zeitunabhägig, da nur Nullgeodäten, also die von Photonen, betrachtet werden und für diese keine Eigenzeit definierbar ist? |
Das verstehe ich nicht.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | So wird durch die Nullgeodäten eine Oberfläche konstanter Zeit definiert? |
Entlang von Nullgeodäten vergeht keine Eigenzeit, deswegen definieren sie keine Zeitkoordinate!
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Prinzipiell verlaufen zeitartige geodäten immer innerhalb der Lichtkegel. |
Ja.
[quote="antaris"] | Zitat: | | Das von mir vorgeschlagene für ein Schwarzes Loch entspricht für große Abständer der Konvention des Minkowski-Diagramms. |
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Du meinst beim Diagramm mit Eddington-Finkelstein-Koordinaten? |
Ja.
Wenn du das Diagramm nicht verstehst, dann nimm ein anderes, z.B. das Minkowski-Diagramm. Wichtig ist, dass du verschiedene gültige Beobachterfelder einzeichnest.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 12. Jan 2025 14:29, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 12. Jan 2025 14:27 Titel: |
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Nochmal zur Erinnerung – mit Ergänzungen.
Man kann in der ART überabzählbar unendlich viele Scharen von Gleichzeitigkeits-Hyperflächen Σ auf einer Raumzeit-Mannigfaltigkeit M einführen.
Jedes Beobachterfeld u definiert eine solche Schar. Dabei muss
i) u(P) in jeden Punkt P von M definiert sein
ii) u als Vierergeschwindgeit überall die Bedingung u²=1 erfüllen – d.h. zeitartig innerhalb des für P lokalen Lichtkegels liegen
iii) genügend glatt sein, so dass dies auch für die Zeitfunktion auf M und die Σ gilt
Jedes Σ aus der Schar ist in allen Punkten P orthogonal zu u(P) in P; d.h. für alle e in Σ gilt in allen P in Σ: e · u = 0 .
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 12. Jan 2025 18:18 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wenn du das Diagramm nicht verstehst, dann nimm ein anderes, z.B. das Minkowski-Diagramm. Wichtig ist, dass du verschiedene gültige Beobachterfelder einzeichnest. |
Na jetzt erstmal eins nach dem anderen. Ich würde das Diagramm schon gerne verstehen und Bilder die ich nachvollziehen kann, erleichtern mein Verständnis.
Im verlinkten Wiki ist die Tortoise-Koordinate beschrieben. Was genau sagt diese aus bzw. welche Größe drückt diese aus?
In der Beschreibung steht, dass bei r_s -> r* = -∞ und das die Schwarzschildzeit (die Koordinatenzeit) an diesem Punkt unendlich klein wird. Alle derartigen Kurven laufen bei r_s gegen -∞?
Das ist genau das, was ein Beobachter bei r_∞ "sieht"?
Bei r < r_s wird die läuft die Kurve dann von -∞ wieder ins Positive und schneidet die y-Achse bei y ≈ 2,39.
Ich habe das für verschiedene Kurven (verschiedene Abstände auf y, sowie positiv und negativ) gemacht und erhalte dann auch (fast) das Diagramm bei Wiki. Die Kurven definieren somit die Nullgeodäten???
https://www.geogebra.org/graphing/tavtdngy
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 12. Jan 2025 18:32 Titel: |
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Bei r < r_s wird die läuft die Kurve dann von -∞ wieder ins Positive und schneidet die y-Achse bei y ≈ 2,39...die 2. Kurve ist die 1., nur negiert.
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 13. Jan 2025 15:55 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wenn du das Diagramm nicht verstehst, dann nimm ein anderes, z.B. das Minkowski-Diagramm. Wichtig ist, dass du verschiedene gültige Beobachterfelder einzeichnest. |
Na jetzt erstmal eins nach dem anderen. Ich würde das Diagramm schon gerne verstehen und Bilder die ich nachvollziehen kann, erleichtern mein Verständnis. |
Genau, eins nach dem anderen, also andersherum:
Zeichne bitte erlaubte Beobachterfelder ein.
Außer für ein spezielles Beobachterfeld – das wir später besprechen können – ist diese r-Koordinate irrelevant.
Siehe außerdem oben:
| Zitat: | Ich definieren ein gedachtest Beobachterfeld, wie masse- und drucklosen Staub, der das Universum dicht durchdringt und einer zeitartigen und glatten jedoch ansonsten beliebigen d.h. ggf. auch beschleunigten Strömung folgt. Zeitartig bedeutet lokal mit v < c; glatt bedeutet, die Strömung ist laminar.
Formal handelt es sich dabei um ein Vektorfeld n. Jedes derartige Vektorfeld definiert lokal = an jedem Punkt der Raumzeit eine zeitartige Weltlinie und damit eine Zeitkoordinate entsprechend der Eigenzeit des Beobachters. Insbs. entspricht das n der Gesamtheit der Tangenteneinheitsvektoren der Weltlinien sämtlicher Beobachter. |
Zuerst kommt das Beobachterfeld, damit die Zeitkoordinate, anschließend die Gleichzeitigkeitshyperfläche, und zuletzt auf dieser die räumlichen Koordinaten.
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antaris
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| antaris Verfasst am: 13. Jan 2025 21:25 Titel: |
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Ich glaub ich hab es??
Die Lichtkegel haben bei r = ∞ genau 90° und bei r = 0 genau 0°.
Auf der roten Kurve habe ich einen frei fallenden Beobachter mit Masse m > 0 und gelb hinterlegt ein Beobachterfeld skizziert.
Der frei fallende Beobachter durchquert mit endlicher Eigenzeit den EH, wobei die Koordinatenzeit bei r_s (+ bzw. -) unendlich wird.
Es gibt 2 Diagramme und oben hatte ich beide zusammengefügt (Tortoise)? Eins für eingehende und eins für ausgehende Photonen ?
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 13. Jan 2025 21:50 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Auf der roten Kurve habe ich einen frei fallenden Beobachter mit Masse m > 0 und gelb hinterlegt ein Beobachterfeld skizziert. |
Ein Beobachterfeld besteht aus unendlich vielen derartigen roten Kurven, die man aus der von dir gezeichneten durch Verschiebungen erhält.
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antaris
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| antaris Verfasst am: 13. Jan 2025 22:03 Titel: |
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Ok, also einfach entlang der y-Achse parallel verschieben? Das gelb markierte muss weg?
Die Y-Achse ist die Koordinatenzeit dt'? Die Koordinatenzeit bei Schwarzschild (dt) ist nicht die gleiche, wie bei Eddington-Finkelstein (dt'), obwohl beides genau die Zeit ist, welche ein unendlich entfernter Beobachter misst?
Bei Schwarzschild ist der Einblick auf das SL beim EH begrenzt. Bei Eddington-Finkelstein ist dagegen der Schwarzschildradius sozusagen mit unendlicher Koordinatenzeit (des unendlich entfernten Beobachter) verknüpft aber dennoch ersichtlich wie sich ein hineinfallender Testkörper verhalten würde?
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Zuletzt bearbeitet von antaris am 13. Jan 2025 22:08, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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TomS
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| TomS Verfasst am: 13. Jan 2025 22:07 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Ok, also einfach entlang der y-Achse parallel verschieben? Das gelb markierte muss also weg? |
Ja.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Die Y-Achse ist die Koordinatenzeit dt'? |
I.A. nein.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Die Koordinatenzeit … |
… folgt aus den Eigenzeiten des Beobachterfeldes.
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antaris
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| antaris Verfasst am: 13. Jan 2025 22:20 Titel: |
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So besser?
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antaris
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| antaris Verfasst am: 13. Jan 2025 22:26 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | antaris hat Folgendes geschrieben: | | Die Y-Achse ist die Koordinatenzeit dt'? |
I.A. nein.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Die Koordinatenzeit … |
… folgt aus den Eigenzeiten des Beobachterfeldes. |
Ok, aber was beschreibt die y-Achse? Die Eigenzeit des einfallenden Testkörpers? In den meisten Diagramme (von den wenig im Internet auffindbaren) ist y mit t' oder ct' beschriftet.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Die Lichtkegel haben bei r = ∞ genau 90° und bei r = 0 genau 0°. |
Da ist auch klar, dass die Geometrie auf großen Skalen asymptotisch flach ist.
Der Lichtkegel schließt sich nicht mehr bei r_s, sondern bei r = 0...was bedeutet das? Werden Testteilchen immer "lichtartiger", je näher siie sich r 0 annähern? Sie werden ja quasi "in die Zange genommen".
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 14. Jan 2025 06:09 Titel: |
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Das Diagramm sieht jetzt gut aus.
Die Bedeutung der Achsen folgt, sobald wir die Koordinaten haben.
Zu bestimmen wären jetzt die raumartigen Gleichzeitigkeitshyperflächen. Diese sind mathematisch dadurch definiert, dass in jedem Punkt P für die Vierergeschwindigkeit u und für den (einen zu zeichnenden) raumartigen Vierervektor e gilt
Aber diese Orthogonalität überträgt sich nicht auf einen 90°-Winkel in der Zeichnung, wie wir oben gesehen haben.
Außerdem – und das ist für das Vorhaben schlimmer – liefern diese Eddington-Finkelstein-Koordinaten keinen unmittelbaren Bezug zu den Eigenzeiten des frei fallenden Beobachterfeldes.
Dazu benötigt man die Gullstrand-Painlevé-Koordinaten. Lies dir das mal bitte durch.
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