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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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 TomS Verfasst am: 26. Okt 2024 06:41 Titel: Destruktive Interferenz – mathematisch präzise Aussagen |
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Ich würde das Thema gerne nochmal zur Diskussion stellen, da die bisherigen Aussagen dazu m.M.n. nicht wirklich ausreichend sind. Ich halte auch meinen FAQ-Beitrag nicht für wirklich gut.
Zu den Fragen:
1. Wie definiert man destruktive Interferenz?
2. Wie verhält es sich dabei mit der Energieerhaltung?
3. Innerhalb welcher geometrischen Bereiche der Raumzeit kann destruktive Interferenz auftreten?
Im folgenden nehme ich an, dass der fragliche Bereich in einem größeren Bereiches der Raumzeit enthalten ist, innerhalb dessen die Maxwellschen Gleichungen im Vakuum gelten:
Ich setze zunächst keine speziellen Lösungen wie ebene Wellen voraus.
Meine aktuellen Antworten:
1. Gegeben seien zwei elektromagnetische Feldkonfigurationen n=1,2, jeweils beschrieben durch einen elektromagnetischen Feldstärketensor F. Während jede einzelne Feldkonfiguration in einem gewissen Bereich M nicht verschwindet
} \neq 0 )
ist ihre Summe in M exakt null
} + F_{\mu\nu}^{(2)} = 0 )
2. Gemäß Poynting's Theorem gilt für die Energie-Impuls-Stromdichte
abgeleitet aus dem Energie-Impuls-Tensor
die Kontinuitätsgleichung
= 0)
(die räumlichen Komponenten von S entsprechen dem Poynting-Vektor, die zeitliche der Energiedichte)
Wegen
ist die o.g. Bedingung des Verschwindens von F und damit für alle i=1,2,3
äquivalent zur Aussage, dass die Energiedichte für die Summe der Feldkonfigurationen verschwindet, d.h.
+(2)} = 0)
3. zunächst keine
Wenn über die ersten beiden Punkte Einigkeit besteht, wäre der dritte zu diskutieren. Insbs. ist interessant, welche Bereiche M mit den Maxwellschen Gleichungen verträglich sind, welche Dimension sie haben können und wie sich S in diesen Bereichen verhält.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3559
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| ML Verfasst am: 26. Okt 2024 13:08 Titel: Re: Destruktive Interferenz – mathematisch präzise Aussagen |
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Hallo,
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
1. Gegeben seien zwei elektromagnetische Feldkonfigurationen n=1,2, jeweils beschrieben durch einen elektromagnetischen Feldstärketensor F. Während jede einzelne Feldkonfiguration in einem gewissen Bereich M nicht verschwindet
ist ihre Summe in M exakt null
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Ich frage mich, ob es das in der Form überhaupt geben kann oder ob die exakte Auslöschung sich nur auf einzelne Punkte beschränkt, wobei die Auslöschung in ihrer Umgebung dann "näherungsweise null" ergibt.
Ich habe eine ganze Weile lang Simulationen mit Ultraschall gemacht. Die Interferenzmuster waren dabei immer relativ "wild". Ich habe nie ganze Bereiche gesehen, die wirklich ausgelöscht wurden, sondern allenfalls Punkte.
Können "gutmütige Funktionen" in einem zusammenhängenden Volumen oder Bereich M exakt gleich null sein und in der Umgebung von null verschiedene Werte annehmen? Aus dem Bauch heraus würde ich sagen: Nein. Denn dann sind sie am Rand wohl nicht glatt.
Viele Grüße
Michael
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 6200
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| Myon Verfasst am: 26. Okt 2024 14:18 Titel: Re: Destruktive Interferenz – mathematisch präzise Aussagen |
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| ML hat Folgendes geschrieben: | | Ich frage mich, ob es das in der Form überhaupt geben kann oder ob die exakte Auslöschung sich nur auf einzelne Punkte beschränkt, wobei die Auslöschung in ihrer Umgebung dann "näherungsweise null" ergibt.l |
Das geht mir genauso. Wenn M ein zeitlich und räumlich ausgedehtes Volumen hat, sagt mir mein Gefühl - ja, super Argument...-, dass aus
auf M gilt, dass die Gleichung überall gilt. Ich würde mich sogar nicht wundern, wenn eine räumliche Kurve mit Zeitintervall genügen würde, also z.B. eine Fläche in der Koordinatenebene  .
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 26. Okt 2024 14:29 Titel: Re: Destruktive Interferenz – mathematisch präzise Aussagen |
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| ML hat Folgendes geschrieben: | | Ich frage mich, ob es das in der Form überhaupt geben kann oder ob die exakte Auslöschung sich nur auf einzelne Punkte beschränkt … |
Ich habe bewusst nicht von 3-dim. Bereichen gesprochen, da sehe ich tatsächlich ein derartiges Problem, ohne es präzise fassen zu können.
Die o.g. Bedingungen
 = 0)
erzwingen ja nicht
 = 0)
für alle alpha, mu, nu. Deswegen kann ich mir durchaus 1- oder 2-dim. Bereiche vorstellen, in denen das exakt gilt, ohne die Maxwellschen Gleichungen zu verletzen.
| ML hat Folgendes geschrieben: | | Können "gutmütige Funktionen" in einem zusammenhängenden Volumen oder Bereich M exakt gleich null sein und in der Umgebung von null verschiedene Werte annehmen? Aus dem Bauch heraus würde ich sagen: Nein. Denn dann sind sie am Rand wohl nicht glatt. |
Das geht meiner Meinung nach.
Nimm einfach einen beliebigen raumartigen Bereich M zu einer festen Zeit t=0, setzte F innerhalb ungleich Null und außerhalb exakt Null. Dann glätte den Sprung mit einer n-fach differenzierbaren Funktion. Das wäre z.B. das Modell eines Laserstrahls.
Das Problem ist jedoch, dies mittels Interferenz zweier Teilstrahlen in Übereinstimmung zu bringen.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 26. Okt 2024 15:16, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 26. Okt 2024 15:07 Titel: |
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Ich denke, man kommt mit einem einfachen Bild in einer 2+1-dim. Raumzeit weiter.
Nehmen wir an, F verschwindet auf M (im Bild Sigma) und F verschwindet nicht auf nicht-B. Dann verschwindet F i.A. auch nicht in der kausalen Zukunft und der kausalen Vergangenheit von nicht-M. D.h. F verschwindet i.a. im Doppelkegel mit Basis M.
Das kann man direkt auf eine 3+1-dim. Raumzeit übertragen.
| Beschreibung: |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 26. Okt 2024 16:21 Titel: |
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In Zukunft kommentarloses Löschen irrelevanter und provokanter Beiträge von hmpf – gerne auch in anderen Threads.
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 498
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| Corbi Verfasst am: 23. Dez 2024 16:33 Titel: |
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| Zitat: | | Können "gutmütige Funktionen" in einem zusammenhängenden Volumen oder Bereich M exakt gleich null sein und in der Umgebung von null verschiedene Werte annehmen? Aus dem Bauch heraus würde ich sagen: Nein. Denn dann sind sie am Rand wohl nicht glatt. |
Ich denke das ganze Problem hängt sehr stark vom präzisen mathematischen Setting ab.
wenn du mit "gutmütig" analytisch meinst, dann ist das nicht möglich. Wenn eine analytische Funktion f null auf einer offenen(!) Untermenge A des R^3 ist, dann ist sie überall Null. Das Adjektiv offen zeigt hier, dass A letztendlich auch dreidimensional sein muss.
Nun stellt sich Frage ob Analytizität eine Gute Voraussetzung für das Problem ist. Tatsächlich kann man zeigen, dass wenn g(x,t), h(x) und l(x) analytisch sind, dann auch die Lösung des Anfangswertproblems
u(x,t)=g(x,t),)
=h(x), u'(x,0)=l(x))
analytisch sein wird und somit entweder überall Null oder nur entlang Punkten, Linien oder Flächen exakt Null sein kann. Hat man also einen analytischen Wellenerzeuger (z.b. Sinusförmig) und einen analytischen Anfangswert so können sich die Wellen niemals in offenen Menge exakt auslöschen (außer wir haben es mit trivialen 0-Anfangswerten zutun).
Unter welchen Bedingungen das Gegenteil doch möglich wäre kann ich leider nicht sagen.
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 24. Dez 2024 10:27 Titel: |
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Vielen Dank.
Du bestätigst meine Vermutung für analytische Funktionen.
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