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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 296
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 Corbi Verfasst am: 16. Nov 2023 19:35 Titel: Kollapspostulat mathematisch unsinnig? |
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In den Interpretationen der QM wird häufig über die Gültigkeit des Kollapspostulats diskutiert.
Doch meine Frage ist: Lässt sich das Kollapspostulat überhaupt sinnvoll formulieren?
Denn damit das Kollapspostulat überhaupt formuliert werden kann, benötigt man die Eigenbasis eines Operators, in den der Zustand bei der Messung springen kann. Rein mathematisch betrachtet existiert allerdings nur für einen kompakten, normalen Operator stets eine Eigenbasis. Da die meisten Operatoren in der Quantenmechanik allerdings unbeschränkt sind, sind sie nicht kompakt und stellen daher im allgemeinen auch keine Eigenbasis bereit. Insofern lässt sich das Kollapspostulat ja nicht einmal mathematisch sinnvoll formulieren.
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 16. Nov 2023 20:32 Titel: |
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Also nach meinem Verständnis der Kopenhagener Interpretation würde ich da nach einem "weichen" und " harten" Kollapspostulat unterscheiden:
- "weich": die Messung ordnet dem "QM-System" einen Eigenwert als Messwert zu
- "hart": das "QM-System" befindet sich auch in einem Eigenzustand der Observablen
Das Problem hierbei ist natürlich, dass wir erstmal mit einer Messung nur einen "Eigenzustand" des Messapparates kennen (eines Teilsystems), und auf den Zustand des "QM-Systems" schliessen müssen.
Dein Problem ist aber hier wohl eher mathematischer Natur, vorallem im Zusammenhang mit kontinuierlichen Spektren.
Hier braucht man dann eine "Schauder-Basis" der Eigenzustände. Dies ist aber bei Messungen nur approximativ gegeben, so dass sich nicht wirklich von einem definierten Eigenzustand bei Messung reden lässt. Die möglichen Eigenwerte selbst sind somit in dieser mathematischen Formulierung per se unbestimmt. Es macht somit auch keinen Sinn, bei kontinuierlichen Spektren von einem gemessenen Eigenzustand zu sprechen. Das ist allerdings kein primäres Problem des "Kollapspostulates", sondern liegt in der Natur der mathematischen Formulierung. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 16. Nov 2023 21:04 Titel: |
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@Corbi, stimmt
Stimmt.
Wir wissen schon lange, dass der Kollaps nach von Neumann zu eng gefasst ist; man betrachtet POVMs. Im Rahmen der Dekohärenz liefert die sogenannte Einselection d.h. die deterministische Dynamik selbst die Klasse von Zuständen, d.h. Dichteoperatoren, in die ein "Kollaps" konsistent angenommen werden darf.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 16. Nov 2023 21:28 Titel: |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | Also nach meinem Verständnis der Kopenhagener Interpretation würde ich da nach einem "weichen" und " harten" Kollapspostulat unterscheiden:
- "weich": die Messung ordnet dem "QM-System" einen Eigenwert als Messwert zu
- "hart": das "QM-System" befindet sich auch in einem Eigenzustand der Observablen |
Im Allgemeinen liegt aber kein Eigenzustand vor, und somit auch kein Eigenwert. Man muss Werte des kontinuierlichen Spektrums zulassen.
| Qubit hat Folgendes geschrieben: | | Das Problem hierbei ist natürlich, dass wir erstmal mit einer Messung nur einen "Eigenzustand" des Messapparates kennen (eines Teilsystems), und auf den Zustand des "QM-Systems" schliessen müssen. |
Aber den kennen wir nicht. Von Neumann führt abstrakte Zeigerzustände ein, ohne dass man sie explizit konstruieren könnte.
| Qubit hat Folgendes geschrieben: | Dein Problem ist aber hier wohl eher mathematischer Natur, vorallem im Zusammenhang mit kontinuierlichen Spektren.
Hier braucht man dann eine "Schauder-Basis" der Eigenzustände. |
Es handelt sich im mathematischen Sinne eben nicht um Eigenzustände. Und es handelt sich nicht um eine Schauderbasis; diese wäre per def. abzählbar.
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ggdfdfg
Gast
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| ggdfdfg Verfasst am: 17. Nov 2023 01:41 Titel: |
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Und wie gehts der Katze? oder is die schon doad. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 296
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| Corbi Verfasst am: 17. Nov 2023 12:28 Titel: |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: |
Dein Problem ist aber hier wohl eher mathematischer Natur, vorallem im Zusammenhang mit kontinuierlichen Spektren.
Hier braucht man dann eine "Schauder-Basis" der Eigenzustände. |
Die Eigenzustände unbeschränkter Operatoren bilden auch bei kontinuierlichen Spektren keine Basis, weder eine Schauder- noch eine Hamel-Basis.
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 296
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| Corbi Verfasst am: 17. Nov 2023 12:29 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Wir wissen schon lange, dass der Kollaps nach von Neumann zu eng gefasst ist; man betrachtet POVMs. Im Rahmen der Dekohärenz liefert die sogenannte Einselection d.h. die deterministische Dynamik selbst die Klasse von Zuständen, d.h. Dichteoperatoren, in die ein "Kollaps" konsistent angenommen werden darf. |
Okay, den Artikel zur "Einselection" muss ich mir mal anschauen :-)
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 17. Nov 2023 12:47 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Die Eigenzustände unbeschränkter Operatoren bilden auch bei kontinuierlichen Spektren keine Basis, weder eine Schauder- noch eine Hamel-Basis. |
Schlimmer.
Entgegen der weitverbreiteten Meinung sind diese Eigenzustände gar keine Eigenzustände, da sie nicht normierbar sind und daher nicht im ursprünglichen Hilbertraum sondern in dessen Abschluss liegen.
Letztlich resultieren diese als mathematische Artefakte. Delta-Distributionen und ebene Wellen sind eben rechnerisch praktisch und folgen irgendwie aus diesem komischen Kollapspostulat, jedoch physikalisch Nonsense. Wir dürfen schon davon ausgehen, dass reale physikalische Zustände normierbaren Wellenpaketen entsprechen.
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 296
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| Corbi Verfasst am: 18. Nov 2023 14:02 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Entgegen der weitverbreiteten Meinung sind diese Eigenzustände gar keine Eigenzustände, da sie nicht normierbar sind und daher nicht im ursprünglichen Hilbertraum sondern in dessen Abschluss liegen.
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Was meinst du mit dem "Abschluss" des Hilbertraums? Als vollständiger Vektorraum ist der Abschluss der Hilbertraums doch gleich dem Hilbertraum selbst.
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Seltener
Gast
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| Seltener Verfasst am: 21. Nov 2023 14:18 Titel: |
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Ja, mit dem Abschluss hat das nichts zu tun, auch wenn man das hier im Forum öfter fälschlich so liest. Die Konstruktion, die verallgemeinerte Eigenvektoren enthält, heißt "rigged Hilbert space" oder auch "Gelfand Tripel". |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 21. Nov 2023 14:57 Titel: |
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| Seltener hat Folgendes geschrieben: | | Ja, mit dem Abschluss hat das nichts zu tun, auch wenn man das hier im Forum öfter fälschlich so liest. Die Konstruktion, die verallgemeinerte Eigenvektoren enthält, heißt "rigged Hilbert space" oder auch "Gelfand Tripel". |
Stimmt.
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Quantumdot
Gast
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| Quantumdot Verfasst am: 23. Nov 2023 10:23 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Seltener hat Folgendes geschrieben: | | Ja, mit dem Abschluss hat das nichts zu tun, auch wenn man das hier im Forum öfter fälschlich so liest. Die Konstruktion, die verallgemeinerte Eigenvektoren enthält, heißt "rigged Hilbert space" oder auch "Gelfand Tripel". |
Stimmt. |
Ist das Gelfandsche Tripel nicht einfach die Berechnungsmethode für das Spektrum von Operatoren in unendlich dimensionalen Hilberträumen?
Wenn man nach dem heutigen Stand der Forschung die Postulate der Quantenmechanik strikt formuliert, dann entsprechen die Messwerte dem Spektrum eines linearen selbstadjungierten stetigen Operators nach dem Spektralsatz (wonach man den Operator als Rieman-Stieltjes Integral über ein Spektralmaß darstellen kann). Im Falle endlich dimensionaler Räume entspricht das Spektrum den Eigenwerten. In unendlich dimensionalen Räumen geht das aber nicht mehr. Dort benutzt man das Gelfandsche Raumtrippel zur Berechnung. Meines Wissens nach bekommt man auch nur in dem Fall neben einem Punktspektrum auch ein kontinuierliches Spektrum.
Sogesehen sind Eigenwerte (und auch "verallgemeinerte Eigenwerte") nicht direkter Bestandteil der modernen Formulierung der Postulate der Quantenmechanik, sondern können als Berechnungsmethode der Spektren (gemäß des Spektralsatzes) verwendet werden.
Zumindest ist das mein Verständnis davon. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 23. Nov 2023 11:21 Titel: |
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Klingt vernünftig, ist aber eher mathematisch denn physikalisch gedacht.
Erstens sagt ein Axiom der Quantenmechanik, dass wir separable Hilberträume nutzen. Diese haben jedoch immer eine abzählbare Basis, daher kommt also schon mal keine Notwendigkeit für ein kontinuierliches Spektrum.
Zweitens müssen physikalische Zustände quadratintegrabel sein, andernfalls funktioniert die Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterptetation nicht.
Drittens sind nicht-quadratintegrable Zustände Artefakte der Mathematik, keine physikalischen Zustände. Z.B. erzeugt ein Laser immer nur einen endlichen, wenn auch sehr langen Wellenzug. Wir reden also von Wellenpaketen.
Viertens ist das von Neumannsche Projektionspostulat eine mathematische Idealisierung.
Die Energiemessung eines Photons kollabiert dieses nicht in einen Eigenzustand, vielmehr wird es absorbiert. Also nicht
sondern z.B.
Ähnliches gilt für die Ortsmessung.
Wir wissen, das projektive Messungen nicht ausreichend sind, sondern dass wir POVMs benötigen.
Wir wissen auch, dass wir die Zielzustände nicht postulieren können, sondern dass sie aus der Dynamik des Messprozesses folgen – Stichworte decoherence, einselection, preferred Basis …
D.h. die Probleme treten dann auf, wenn man meint, mathematisch etwas gewinnen zu können, mit derartigen Konstrukten umzugehen; physikalisch sehe ich keinen Grund, sie einzuführen. Wir verwenden ebene Wellen deshalb, weil es praktisch ist.
| Quantumdot hat Folgendes geschrieben: | | … sind Eigenwerte nicht direkter Bestandteil der modernen Formulierung der Postulate der Quantenmechanik … |
Genau.
Nur leider bekommt man halt zumeist doch irgendeine antiquierte Formulierung vorgesetzt …
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Seltener
Gast
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| Seltener Verfasst am: 23. Nov 2023 13:54 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Erstens sagt ein Axiom der Quantenmechanik, dass wir separable Hilberträume nutzen. Diese haben jedoch immer eine abzählbare Basis, daher kommt also schon mal keine Notwendigkeit für ein kontinuierliches Spektrum. |
) ist separabel. Trotzdem hat der Impulsoperator  ein rein kontinuierliches Spektrum. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 23. Nov 2023 16:18 Titel: |
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| Seltener hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
Erstens sagt ein Axiom der Quantenmechanik, dass wir separable Hilberträume nutzen. Diese haben jedoch immer eine abzählbare Basis, daher kommt also schon mal keine Notwendigkeit für ein kontinuierliches Spektrum. |
ist separabel. Trotzdem hat der Impulsoperator ein rein kontinuierliches Spektrum. |
Das bestreite ich nicht.
Ich bestreite lediglich, dass dieses Spektrum bzw. die verallgemeinerten Eigenfunktionen tatsächlich physikalisch realisierte Zustände beschreiben; ebene Wellen sind in der Natur nicht realisiert.
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Seltener
Gast
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| Seltener Verfasst am: 23. Nov 2023 16:30 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Seltener hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
Erstens sagt ein Axiom der Quantenmechanik, dass wir separable Hilberträume nutzen. Diese haben jedoch immer eine abzählbare Basis, daher kommt also schon mal keine Notwendigkeit für ein kontinuierliches Spektrum. |
ist separabel. Trotzdem hat der Impulsoperator ein rein kontinuierliches Spektrum. |
Das bestreite ich nicht.
Ich bestreite lediglich, dass dieses Spektrum bzw. die verallgemeinerten Eigenfunktionen tatsächlich physikalisch realisierte Zustände beschreiben; ebene Wellen sind in der Natur nicht realisiert. |
Das hast Du vielleicht so gemeint. Du hast an der Stelle aber nicht von verallgemeinerten Eigenfunktionen gesprochen, sondern nur vom kontinuierlichen Spektrum. Deine Aussage kann man so auffassen als gäbe es in separablen Räumen keine Notwendigkeit für kontinuierliche Spektren. Diese Auffassung ist falsch. Die Notwendigkeit ergibt sich bereits aus dem Impulsoperator und hat nichts mit der Separabilität zu tun. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 23. Nov 2023 16:48 Titel: |
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Die Existenz des Impulsoperators zwingt mich aber nicht dazu, ihn zur Konstruktion einer "Basis" zu nutzen. Weil der Hilbertraum separabel ist, kann ich alles, was ich berechnen möchte, mittels Wellenpaketen formulieren. Das ist aufwändiger, insbs. wenn wir über Streutheorie reden, jedoch machbar.
Was berechne ich denn? Letztlich immer Matrixelemente
zwischen physikalischen Zuständen mit
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Seltener
Gast
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| Seltener Verfasst am: 23. Nov 2023 18:11 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die Existenz des Impulsoperators zwingt mich aber nicht dazu, ihn zur Konstruktion einer "Basis" zu nutzen. |
Nein, dazu zwingt Dich niemand. Trotzdem sollte man nicht glauben, dass man in separablen Hilberträumen keine kontinuierlichen Spektren benötigt. Lies Dir nochmal in Ruhe durch, was du oben hinter "Erstens" geschrieben hast und frage Dich ganz objektiv, ob man das nicht eventuell falsch verstehen könnte.
| Zitat: |
Was berechne ich denn? Letztlich immer Matrixelemente
|
Nein, man berechnet auch Wellenfunktionen. Das sind quadratintegrable Funktionen auf dem kontinuierlichen Spektrum eines Operators. |
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Seltener
Gast
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| Seltener Verfasst am: 23. Nov 2023 18:29 Titel: |
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| Quantumdot hat Folgendes geschrieben: |
Ist das Gelfandsche Tripel nicht einfach die Berechnungsmethode für das Spektrum von Operatoren in unendlich dimensionalen Hilberträumen?
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Das Gelfand-Tripel ist keine Berechnungsmethode, sondern besteht aus drei Räumen: einem Hilbertraum H, einem dichten Teilraum V von H und dessen Dualraum V* (bzgl. einer einer feineren Topologie auf V als der von H).
| Zitat: |
Wenn man nach dem heutigen Stand der Forschung die Postulate der Quantenmechanik strikt formuliert, dann entsprechen die Messwerte dem Spektrum eines linearen selbstadjungierten stetigen Operators |
Quantenmechanische Operatoren sind nicht selten unstetig. Das ist auch der Grund warum man zur Behandlung ihres verallgemeinerten Eigenwertproblems auf das Gelfand-Tripel zurückgreifen muss. Unstetige symmetrische Operatoren sind nämlich höchstens dicht definiert. Der Dualraum ihres Definitionsbereichs ist deshalb größer als der ursprüngliche Hilbertraum und enthält verallgemeinerte Eigenvektoren, die nicht in H liegen. Natürlich kann man auch auf die Verwendung dieser verallgemeinerten Eigenvektoren verzichten und sich nur auf den ursprünglichen Hilbertraum beziehen. Dann ist das Eigenwertproblem Tx=ax für diese Operatoren eben nicht allgemein lösbar, d.h. einigen Elementen des Spektrums kann man keine Eigenvektoren zuordnen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 23. Nov 2023 18:43 Titel: |
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| Seltener hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die Existenz des Impulsoperators zwingt mich aber nicht dazu, ihn zur Konstruktion einer "Basis" zu nutzen. |
Nein, dazu zwingt Dich niemand. Trotzdem sollte man nicht glauben, dass man in separablen Hilberträumen keine kontinuierlichen Spektren benötigt. |
Das habe ich so nicht behauptet.
| Seltener hat Folgendes geschrieben: | | Lies Dir nochmal in Ruhe durch, was du oben hinter "Erstens" geschrieben hast und frage Dich ganz objektiv, ob man das nicht eventuell falsch verstehen könnte. |
Da du es falsch verstehst, ist ja schon bewiesen, dass es so ist.
| Seltener hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
Was berechne ich denn? Letztlich immer Matrixelemente
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Nein, man berechnet auch Wellenfunktionen. |
Es ging hier um Axiome bzw. Postulate der Quantenmechanik – in einer vernünftigen Form, nicht einfach Abschreiben überholter Darstellungen. Diese enthalten vernünftigerweise den Begriff der Wellenfunktion nicht.
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Seltener
Gast
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| Seltener Verfasst am: 23. Nov 2023 18:56 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Seltener hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die Existenz des Impulsoperators zwingt mich aber nicht dazu, ihn zur Konstruktion einer "Basis" zu nutzen. |
Nein, dazu zwingt Dich niemand. Trotzdem sollte man nicht glauben, dass man in separablen Hilberträumen keine kontinuierlichen Spektren benötigt. |
Das habe ich so nicht behauptet.
| Seltener hat Folgendes geschrieben: | | Lies Dir nochmal in Ruhe durch, was du oben hinter "Erstens" geschrieben hast und frage Dich ganz objektiv, ob man das nicht eventuell falsch verstehen könnte. |
Da du es falsch verstehst, ist ja schon bewiesen, dass es so ist.
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Es ist kaum zu erkennen was an Deiner Aussage richtig zu verstehen ist. Sie ist Unsinn. Anscheinend kommt man mit Diplomatie bei Dir nicht durch, deshalb mal etwas deutlicher.
| Zitat: |
| Seltener hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
Was berechne ich denn? Letztlich immer Matrixelemente
|
Nein, man berechnet auch Wellenfunktionen. |
Es ging hier um Axiome bzw. Postulate der Quantenmechanik – in einer vernünftigen Form, nicht einfach Abschreiben überholter Darstellungen. Diese enthalten vernünftigerweise den Begriff der Wellenfunktion nicht. |
Deine Aussage " Was berechne ich denn? Letztlich immer Matrixelemente" ist kein Axiom. Sie ist falsch. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 23. Nov 2023 19:30 Titel: |
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Anstatt isolierte Aussagen ohne Kontext in deinem Sinne umzudeuten und als falsch zu bezeichnen, könntest mal konstruktiv argumentieren.
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Seltener
Gast
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| Seltener Verfasst am: 23. Nov 2023 19:37 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Anstatt isolierte Aussagen ohne Kontext in deinem Sinne umzudeuten und als falsch zu bezeichnen, könntest mal konstruktiv argumentieren. |
Anstatt konstruktive Kritik persönlich zu nehmen und vom Thema abzulenken, könntest du Irrtümer unumwunden eingestehen und Deine Aussagen umformulieren, wenn man Dir aufzeigt, dass sie Unsinn sind. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 23. Nov 2023 22:11 Titel: |
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Dann erklär mir bitte nochmal in Ruhe, was dir an meinen ursprünglichen Aussagen nicht gefällt, und was ich klarer oder besser formuliert soll. Dann korrigiere ich das gerne:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Erstens sagt ein Axiom der Quantenmechanik, dass wir separable Hilberträume nutzen. Diese haben jedoch immer eine abzählbare Basis, daher kommt also schon mal keine Notwendigkeit für ein kontinuierliches Spektrum.
Zweitens müssen physikalische Zustände quadratintegrabel sein, andernfalls funktioniert die Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterptetation nicht.
Drittens sind nicht-quadratintegrable Zustände Artefakte der Mathematik, keine physikalischen Zustände. Z.B. erzeugt ein Laser immer nur einen endlichen, wenn auch sehr langen Wellenzug. Wir reden also von Wellenpaketen.
Viertens ist das von Neumannsche Projektionspostulat eine mathematische Idealisierung.
Die Energiemessung eines Photons kollabiert dieses nicht in einen Eigenzustand, vielmehr wird es absorbiert. Also nicht
sondern z.B.
Ähnliches gilt für die Ortsmessung.
Wir wissen, das projektive Messungen nicht ausreichend sind, sondern dass wir POVMs benötigen.
Wir wissen auch, dass wir die Zielzustände nicht postulieren können, sondern dass sie aus der Dynamik des Messprozesses folgen – Stichworte decoherence, einselection, preferred Basis …
D.h. die Probleme treten dann auf, wenn man meint, mathematisch etwas gewinnen zu können, mit derartigen Konstrukten umzugehen; physikalisch sehe ich keinen Grund, sie einzuführen. Wir verwenden ebene Wellen deshalb, weil es praktisch ist.
| Quantumdot hat Folgendes geschrieben: | | … sind Eigenwerte nicht direkter Bestandteil der modernen Formulierung der Postulate der Quantenmechanik … |
Genau.
Nur leider bekommt man halt zumeist doch irgendeine antiquierte Formulierung vorgesetzt … |
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Seltener
Gast
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| Seltener Verfasst am: 24. Nov 2023 10:15 Titel: |
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Den ersten Absatz kannst Du einfach ersatzlos streichen. Es gibt keinen Zusammenhang zwischen der Separabilität des Hilbertraums und kontinuierlichen SPEKTREN. Die Notwendigkeit kontinuierlicher SPEKTREN ist zu unterschieden von der Notwendigkeit für verallgemeinerte EIGENZUSTÄNDE. Auf letztere kann man verzichten, auf erstere nicht. Gern geschehen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 24. Nov 2023 12:40 Titel: |
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Du missverstehst es noch immer.
Es geht in diesem Thread um die Frage nach dem Kollaps und dessen mathematischer Formulierung. Also interessiert sowohl das Spektrum – das wären die möglichen Messwerte – als auch der Zustand nach dem Kollaps – das wären "verallgemeinerte Eigenzustände".
Es interessiert also, ob oder ob nicht Messwerte aus dem kontinuierlichen Spektrum sowie verallgemeinerte Eigenzustände betrachtet werden müssen.
Ok?
Meine Aussage ist lediglich, dass ich diese verallgemeinerte Eigenzustände nicht zwingend im Sinne einer verallgemeinernten Basis zur Darstellung physikalischer Zustände benutzen muss, da ich aufgrund der Separabilität immer eine Hilbertraumbasis mit normierten Zuständen verwenden kann (was natürlich mathematisch oft unpraktisch ist). Ich schreibe ja auch explizit, dass ich nichts gegen die mathematische Verwendung einzuwenden habe.
Ok?
Nun stelle ich in dem Absatz eine Verknüpfung zwischen den Zuständen und den Spektren her. Ist es diese Verknüpfung, die dich stört?
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Seltener
Gast
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| Seltener Verfasst am: 24. Nov 2023 12:59 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Du missverstehst es noch immer. |
Nein, ich habe nur festgestellt, dass man Deine Aussage leicht falsch auffassen kann. Ob du es nun so gemeint hast oder nicht. So wie sie dasteht, ist sie Unsinn. Daran ändern auch alle Deine bisherigen Rechtfertigungsversuche nichts.
| Zitat: |
Es interessiert also, ob oder ob nicht Messwerte aus dem kontinuierlichen Spektrum sowie verallgemeinerte Eigenzustände betrachtet werden müssen.
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Das sind zwei vollkommen verschiedene Fragen, mit unterschiedlichen Antworten. Ja, zu den Messwerten aus dem kontinuierlichen Spektrum, nein zu den verallgemeinerten Eigenzuständen.
| Zitat: |
Meine Aussage ist lediglich, dass ich diese verallgemeinerte Eigenzustände nicht zwingend im Sinne einer verallgemeinernten Basis zur Darstellung physikalischer Zustände benutzen muss, da ich aufgrund der Separabilität immer eine Hilbertraumbasis mit normierten Zuständen verwenden kann (was natürlich mathematisch oft unpraktisch ist). |
Lies doch nochmal genau was Du ursprünglich geschrieben hast. Was Du hier schreibst war NICHT die Aussage aus dem ersten Abschnitt. Du wolltest vielleicht "verallgemeinerte BASIS" oder "verallgemeinerte EIGENZUSTÄNDE" sagen. Tatsächlich steht dort aber "kontinuierliches SPEKTRUM". Verstehst du wirklich nicht den Unterschied? Wenn Du Dich nur verschrieben hast, sollte es ja nicht so schwierig sein, das zu korrigieren. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 24. Nov 2023 13:31 Titel: |
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Danke.
Letzteres ja, werde ich ändern.
Aber nein
| Seltener hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | Es interessiert also, ob oder ob nicht Messwerte aus dem kontinuierlichen Spektrum sowie verallgemeinerte Eigenzustände betrachtet werden müssen.
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Ja, zu den Messwerten aus dem kontinuierlichen Spektrum, nein zu den verallgemeinerten Eigenzuständen. |
Die der Idee der Messwerten aus dem kontinuierlichen Spektrum ist aus ganz anderen Gründen – habe ich teilweise auch geschrieben – Käse.
Es gibt auf der ganzen Welt keine reale Messung, die einen scharfen Messwert erzeugt (also z.B. p=0). Postulate, die irgendwas in der Richtung behaupten, sind zwar Standard-Lehrbuch, aber dennoch physikalisch Quatsch; das wissen wir spätestens seit den Erkenntnissen zur Dekohärenz.
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Seltener
Gast
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| Seltener Verfasst am: 24. Nov 2023 14:03 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Die der Idee der Messwerten aus dem kontinuierlichen Spektrum ist aus ganz anderen Gründen – habe ich teilweise auch geschrieben – Käse.
Es gibt auf der ganzen Welt keine reale Messung, die einen scharfen Messwert erzeugt (also z.B. p=0). Postulate, die irgendwas in der Richtung behaupten, sind zwar Standard-Lehrbuch, aber dennoch physikalisch Quatsch; das wissen wir spätestens seit den Erkenntnissen zur Dekohärenz. |
1) Ich habe nicht von "scharfen" Messwerten gesprochen, sondern von kontinuierlichen. Das sind schon wieder zwei verschiedene Sachen und kontinuierlich impliziert nicht "scharf". (Auch klassisch kann eine kontinuierliche Größe unscharf sein.)
2) Dass die Quantenmechanik die Elemente des kontinuierlichen Spektrums als "Messwerte" bezeichnet, ist eine Idealisierung. Mir ging es nicht um die Frage ob diese Idealisierung gerechtfertigt ist, sondern ob man in der Theorie kontinuierliche Spektren benötigt. Und das tut man. Völlig unabhängig von realen Messungen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 24. Nov 2023 14:18 Titel: |
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1) schon klar; ich spreche davon, dass das Messergebnis nie einfach nur eine Zahl ist
2) mathematisch für Berechnungen ja; als eins-zu-eins Beschreibung der physikalischen Realität nein
Konkret: folge ich der Dekohärenz, so ist das Ergebnis einer Messung (mathematisch) ein Dichteoperator, anhand dessen ich tatsächlich vorliegende Zustände und Messergebnisse als hochdimensionale Unterräume ablesen kann; da sind Spektralwerte ziemlich irrelevant.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 24. Nov 2023 14:26, insgesamt einmal bearbeitet |
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Seltener
Gast
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| Seltener Verfasst am: 24. Nov 2023 14:24 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | 1) schon klar; ich spreche davon, dass das Messergebnis nie einfach nur eine Zahl ist
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Ich weiß. Das hat nur nichts mit der Frage zu tun, ob die Messwerte aus einem kontinuierlichen Spektrum eines Operators stammen.
| Zitat: |
2) mathematisch für Berechnungen ja; als eins-zu-eins Beschreibung der physikalischen Realität nein |
Sorry, aber das ist doch Blödsinn. Welches Element des Impulsspektrums gehört denn Deiner Ansicht nach nicht zur Realität? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 24. Nov 2023 14:29 Titel: |
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Du missverstehst gerne, oder?
Die Aussage "das Ergebnis einer Messung ist eine Zahl" ist Quatsch. Genauso wie ein Planet kein Massenpunkt ist.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Seltener
Gast
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| Seltener Verfasst am: 24. Nov 2023 14:37 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Du missverstehst gerne, oder?
Die Aussage "das Ergebnis einer Messung ist eine Zahl" ist Quatsch. |
Du redest gern am Thema vorbei oder? NIEMAND hat behauptet das Ergebnis einer Messung wäre eine Zahl. DU MISSVERSTEHST hier, was es bedeutet, dass die Messwerte aus einem kontinuierlichen Spektrum kommen. Nochmal zum mitschreiben: kontinuierlich (dass war das Wort, das ich benutzt habe) bedeutet nicht scharf (das war das Wort, das du benutzt hast). |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 24. Nov 2023 15:23 Titel: |
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| Seltener hat Folgendes geschrieben: | | NIEMAND hat behauptet das Ergebnis einer Messung wäre eine Zahl. |
Einfach mal googeln.
Da stehen Dinge wie die möglichen Messwerte einer Observablen sind gerade die Werte aus dem Spektrum eines selbstadjungierten Operators.
Eine Messung => ein Messwert => eine Zahl.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Seltener
Gast
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| Seltener Verfasst am: 24. Nov 2023 16:05 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Seltener hat Folgendes geschrieben: | | NIEMAND hat behauptet das Ergebnis einer Messung wäre eine Zahl. |
Einfach mal googeln.
Da stehen Dinge wie die möglichen Messwerte einer Observablen sind gerade die Werte aus dem Spektrum eines selbstadjungierten Operators.
Eine Messung => ein Messwert => eine Zahl. |
Ich sehe jetzt zum dritten mal, dass du nicht verstanden hast, was damit gemeint ist, wenn die Elemente des Spektrums als "mögliche Messwerte" bezeichnet werden. Es ist nicht gemeint, das jede Messung EXAKT einen dieser Werte ergibt. Es ist gemeint, dass zu jedem Wert p des Spektrums und zu jeder vorgegebenen Meßgenauigkeit e ein Zustand psi(p) existiert, so dass alle Messwerte im Intervall [p-e, p+e] liegen. Das gilt sowohl für Elemente p des kontinuierlichen Spektrums als auch für Eigenwerte (diskretes Spektrum). |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 24. Nov 2023 16:14 Titel: |
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| Seltener hat Folgendes geschrieben: | | Es ist nicht gemeint, das jede Messung EXAKT einen dieser Werte ergibt. |
Doch, das ist exakt die orthodoxe Interpretation, andernfalls würde das Kollapspostulat in exakt den 1-dim. Unterraum, der zu diesem Messwert = Eigenwert gehört, überhaupt keinen Sinn ergeben.
| Seltener hat Folgendes geschrieben: | | Es ist gemeint, dass … |
Aber nicht im Rahmen der hier von Corbi zur Diskussion gestellten Interpretation:
| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | … damit das Kollapspostulat überhaupt formuliert werden kann, benötigt man die Eigenbasis eines Operators, in den der Zustand bei der Messung springen kann. Rein mathematisch betrachtet existiert allerdings nur für einen kompakten, normalen Operator stets eine Eigenbasis. Da die meisten Operatoren in der Quantenmechanik allerdings unbeschränkt sind, sind sie nicht kompakt und stellen daher im allgemeinen auch keine Eigenbasis bereit. Insofern lässt sich das Kollapspostulat ja nicht einmal mathematisch sinnvoll formulieren. |
| Seltener hat Folgendes geschrieben: | | … zu jedem Wert p des Spektrums und zu jeder vorgegebenen Meßgenauigkeit e ein Zustand psi(p) existiert, so dass alle Messwerte im Intervall [p-e, p+e] liegen. Das gilt sowohl für Elemente p des kontinuierlichen Spektrums als auch für Eigenwerte (diskretes Spektrum) |
Natürlich ist diese Interpretation möglich, aber es ist eben eine andere als die von Corbi diskutierte.
Und natürlich hat deine Interpretation nichts mit der Art des Spektrums zu tun, die von Corbi genannte jedoch schon.
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Seltener
Gast
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| Seltener Verfasst am: 24. Nov 2023 16:50 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Seltener hat Folgendes geschrieben: | | Es ist nicht gemeint, das jede Messung EXAKT einen dieser Werte ergibt. |
Doch, das ist exakt die orthodoxe Interpretation, andernfalls würde das Kollapspostulat in exakt den 1-dim. Unterraum, der zu diesem Messwert = Eigenwert gehört, überhaupt keinen Sinn ergeben.
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Das ist höchstens ein Strohmann. Das Kollapspostulat erlaubt auch die Projektion auf Unterräume psi -> E([p-e, p+e]) psi. Aber wenn es Dir Spaß macht, Trivialitäten zu widerlegen, knock yourself out. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 24. Nov 2023 17:36 Titel: |
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| Seltener hat Folgendes geschrieben: | | Das Kollapspostulat erlaubt auch die Projektion auf Unterräume psi -> E([p-e, p+e]) psi. |
Dafür hätte ich gerne eine Quelle!
Nach meiner Kenntnis erlaubt das Kollapspostulat nach von Neumann die Projektion auf mehrdimensionale Unterräume, wenn und nur wenn diese zum selben Spektralwert gehören, nicht jedoch zu verschiedenen Spektralwerten, wie in deinem Fall.
Solltest du jetzt einen allgemeineren Messbegriff anführen: habe ich oben schon geschrieben, ist aber wieder nicht das, was Corbi angesprochen hat.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 25. Nov 2023 07:43, insgesamt einmal bearbeitet |
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Seltener
Gast
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| Seltener Verfasst am: 24. Nov 2023 17:53 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Nach meiner Kenntnis erlaubt das Kollapspostulat nach von Neumann die Projektion auf mehrdimensionale Unterräume, wenn und nur wenn diese zum selben Eigenwert gehören, nicht jedoch zu verschiedenen Eigenwerten, wie in deinem Fall.
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Der Unterraum, auf den ich projiziere, gehört nicht zu mehreren Eigenwerten, sondern zu gar keinem Eigenwert, weil alle Werte aus [p-e, p+e] aus dem kontinuierlichen Spektrum stammen.
Ich habe nie davon gesprochen, dass in [p-e, p+e] mehr als ein Eigenwert liegt. Ich habe nur berücksichtigt, dass ein Messwert nicht genauer als 2e gemessen wird. |
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Seltener
Gast
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| Seltener Verfasst am: 24. Nov 2023 18:02 Titel: |
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P.S. Quelle: Sakurai Gl. (1.6.5). |
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