Abklingkoeffizient / Faktor 2

Bulova · Anmeldungsdatum: 17.01.2024 Beiträge: 6

Meine Frage:
Hallo,

ich wollte eine Formel zur Abklingfunktion zu einer Formel der Schwingkreis-Güte überführen und stolpere immer über einen Faktor 2:

Der linke Term entspricht der Güte Q und resultiert aus der Abklingfunktion, d. h. nach einer Zeit t, nach der die Amplitude auf 1/e abgefallen ist.

Meine Ideen:
Hier ist eigentlich schon dieser Faktor 2, der mich verwirrt. Zunächst dachte ich, ja, das wird halt erst einmal eine Festlegung sein, nach der sich alles Weitere ergibt.
Jetzt ist ja die Güte des Schwingkreises auch entsprechend dem rechten Term der obigen Gleichung, wenn man die Verluste auf die Induktivität reduziert und die kapazitiven Verluste gleich null setzt.
Wenn man obige Gleichung auflöst, ergibt sich:

Jetzt habe ich mir gedacht, die Schwingung klingt mit derselben charakteristischen e-Funktion ab wie auch die Spannung am Kondensator bzw. wie die Ströme in der Spule. Es sollte doch auch beides identisch sein.

Wenn ich jetzt also die Abklingfunktion A(t) mit dem Spulenstrom I(t) vergleiche, müsste ich auf den ganz oben geschriebenen Zusammenhang kommen. Also:

Wenn ich jetzt beide Exponenten gleichsetze, ergibt sich:

Also ergibt sich hier etwas, was sich um den Faktor 2 unterscheidet gegenüber der obigen Formel (die allgemein korrekt ist, auch z. B. in der Physik Formelsammlung, Springer Verlag 1.7.1 Quasiperiodischer Fall).

Da es sich um Exponenten handelt, habe ich mir auch gedacht, ob man bei einer Funktion die Wurzel bzw. das Quadrat nehmen muss, aber nach meinen Betrachtungen handelt es sich ja nur um Ströme oder Spannungen bzw. deren Amplitudenverlauf.

Wo liegt mein Denkfehler?

Gruß
Dieter

LaTeX-End-Tags korrigiert (/latex statt \latex). Steffen

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5873

Bulova · Anmeldungsdatum: 17.01.2024 Beiträge: 6

Hallo Myon,

ja, das war wohl mein Denkfehler. Wenn ich jetzt im Groben (zur Plausibilisierung) weiterdenke, warum die Schwingung nur halb so schnell abklingt, dann könnte man sagen, die Leistung am Widerstand ist im Mittel nur halb so groß wie der Scheitelwert. Damit ist der mittlere Strom nur

vom Scheitelwert. Und diese Wurzel manövriert sich in die Abklingfunktion (Einhüllende) des Stromes:

Ich hoffe, damit liege ich nicht ganz falsch -- ich möchte halt alles auch einigermaßen intuitiv verstehen.

Vielen Dank.

Gruß
Dieter

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5873

Bulova · Anmeldungsdatum: 17.01.2024 Beiträge: 6

Danke, Myon, wieder dazugelernt. Ich bin zwar (schon lange) kein Schüler mehr, aber der Physik gilt mein starkes Interesse.

Gruß
Dieter