| Autor |
Nachricht |
floh
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 39
Wohnort: Göttingen
|
 floh Verfasst am: 15. Nov 2006 11:14 Titel: Bungee-Springer Newtonsche-Bewegungsgleichung |
 |
|
Hallo erst einmal
Beschreibung der Aufgabe (gegeben):
Ein Buggee-Springer der masse m möchte von einer Platform in der Höhe  springen und dabei ein Seil der Länge der länge l verwenden. Er wird also zunächst eine Strecke x=l frei fallen, dann bremst ihn das Seil mit einer rücktreibenden Kraft )
Augabe: (reibung soll vernachlässigt werden)
Stellen sie die Newtonsche Bewegungsgleichung auf und Lösen sie diese. Betrachten sie dazu die beiden Phasen "freier Fall" und "Abbremsung" getrennt. Die Anfangsbedingungen der zweiten Phase ergeben sich aus der ersten.
Ansatz von mir die erste Phase "freier Fall" lässt sich mit =h_0-\frac{1}{2} gt^2 ) beschreiben oder?
Newton war doch F=ma wenn ich also für F ma einsetze und es nach a umstelle dann erhalte ich }{m}) wobei  sein müsste und man somit das integral von a ausrechen müsste um die newtonsche Bewegungsgleichung zu lösen oder?
Ein Paar Tips wären echt cool und vielleicht fällt euch ja auch noch was besseres ein um die Aufgabe zu lösen. 
_________________
Dumm ist nur der, der sich nicht zu helfen weiß!  |
|
 |
as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5789
Wohnort: Heidelberg
|
| as_string Verfasst am: 15. Nov 2006 13:58 Titel: |
|
|
Hallo!
So weit ich das sehen kann, soll die x-Koordinate nach unten gerichtet sein und bei der Höhe h0 gerade 0 sein, oder?
Die Formel für den freien Fall ist zwar natürlich an sich richtig, aber das ist ja nicht die Newtonsche Bewegungsgleichung. Du musst erstmal alle Kräfte ermitteln, die auf den Springer wirken. Das ist (ohne Luftwiderstand) dann eben erstmal nur die Gewichtskraft, also:
diese zeigt nach unten, also wieder in positive x-Richtung, so dass Du schreiben kannst:
Wenn Du diese zweimal integrierst und ei Anfangsbedingungen (bei  ist  und  ) einsetzt, bekommst Du einfach:
 = \frac{1}{2}gt^2)
Beim zweiten Teil wirken aber auf den Springer zwei Kräft: Es wirkt immer noch die Gewichtskraft aber zusätzlich noch die Federkraft des Seils in die negative x-Richtung (also nach oben). Du musst also schreiben:
\qquad\text{für }x>l)
Diese DGL kannst Du aber leicht mit einem Sinus-Ansatz oder mit einem komplexen Ansatz lösen und bekommst dann eben eine Schwingungsgleichung raus. Allerdings musst Du aufpassen, dass Du auch die allgemeinste Lösung bekommst. Eine spezielle musst Du danach dann auf Basis der Anfangsbedingungen bilden, die Du aber erst durch ausrechnen der Bewegung in der ersten Phase erhälst.
Das ganze musst Du dann noch zusammen setzen. Da musst Du dann noch aus der ersten ausrechnen, zu welchem Zeitpunkt T das x=l wird und wie die Geschwindigkeit v1 zu diesem Zeitpunkt ist. Damit hast Du dann die Anfangsbedingungen t=T, x=l und v=v1. Damit kannst Du dann die Bewegungsgleichung für die zweite Phase festlegen.
Gruß
Marco |
|
|
floh
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 39
Wohnort: Göttingen
|
| floh Verfasst am: 15. Nov 2006 21:18 Titel: |
|
|
OK das ist soweit zu verstehen, aber was du mit dem Sinus bzw. komplexen Ansatz meinst weis ich gerade nicht. Außerdem steht, wenn ich den Spass nach  umstelle auf der anderen Seite ja auch noch ein x oder ? }{m})
Nun muss ich die das ganze zweimal integrieren um auf x(t) zu kommen. Und wenn ich das versuche bleibe ich immer wieder an dem x hängen, was noch in der Gleichung steht. 
_________________
Dumm ist nur der, der sich nicht zu helfen weiß! |
|
|
as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5789
Wohnort: Heidelberg
|
| as_string Verfasst am: 15. Nov 2006 21:59 Titel: |
|
|
Hallo!
Ja, genau... so etwas nennt man eine Differenzialgleichung... 
Du hast also:
Das ist eine lineare DGL zweiter Ordnung. Da kein x-punkt drin vorkommt, ist das aber nicht so schlimm.
Für so was kann man z. B. einen Ansatz machen:
 = A \cdot \sin(\omega t + \varphi) + C)
 = A\omega \cdot \cos(\omega t + \varphi))
 = -A\omega^2 \cdot \sin(\omega t + \varphi))
Diese Ableitungen muss man jetzt in die DGL einsetzen, um die Konstanten (teilweise) bestimmen zu können. Normalerweise bleiben aber noch 2 übrig, weil sie ja vom zweiten Grad ist (zweite Ableitung drin). Wir haben aber vier in unserem Ansatz und davon sollten wir zwei bestimmen können:
 + \frac{k}{m}\cdot A \cdot \sin(\omega t + \varphi) + C = g+\frac{kl}{m})
Das ganze geht wunderschön auf, wenn man zwei Konstanten so bestimmt:
Das kann man jetzt wieder in unseren Ansatz einsetzen und erhält damit die allgemeine Lösung für die DGL:
 = A \cdot \sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}} \,\cdot t + \varphi\right) + g+\frac{kl}{m})
Du kannst ja damit nochmal die beiden Ableitungen machen und das ganze in die DGL einsetzen. Dann sollte die Gleichung aufgehen.
Allerdings sind jetzt die Konstanten A (Amplitude) und phi (Phasenwinkel) noch nicht bestimmt. Das müssen wir aus dem Anfangsbedingungen machen.
Wir kenne  = l) und  = gT) . Wir können also für die zwei noch unbekannten Konstanten zwei Gleichungen aufstellen, jeweils zu dem Zeitpunkt T (den musst Du noch aus dem freien Fall ausrechnen).
Probier das mal!
Gruß
Marco |
|
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
