Dimensionen in Stringtheorie

alexibexi · Anmeldungsdatum: 18.10.2022 Beiträge: 1

Meine Frage:
Ich beschäftige mich als Quereinsteiger mit der Stringtheorie und bin auf etwas interessantes zugestoßen, nämlich, dass wenn die Stringtheorie-fermonische und bosnische Stringtheorie-funktioniert, muss es in einem höhendimensionalem Raum sein. Die einen Literauren sagen bis zu 10 Dimensionen und andere Literaturen behaupten bis zu 26 Dimensionen. Meine Frage wäre, in wie vielen Dimensionen ist nun die Stringtheorie und zweitens, warum funktioniert die Stringtheorie nur in höheren Dimensionen.

Meine Ideen:
Ich weiß so viel, dass die Natur bzw. der Raum nicht aus punktförmige Teilchen besteht sondern, die Welt bzw. die Grundbausteine verhalten sich wie eindimensionale Strings. Damit es mathematisch konsistent ist, muss es höher dimensional sein. Doch das überschreiten meine Vorstellungskraft, da ich mir nicht vorstellen kann, wie diese Dimensionen ausschauen. Sind es aufgerollte Dimensionen oder kann ich es mir mit einer Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit vorstellen oder schauen doch die Dimensionen ganz anders aus. Meine Frage ist also warum 10 oder 26 Dimensionen und wie kann ich mir das etwas bildlich vorstellen und warum überhaupt höherdimensional.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Vorstellen kann man sich das nicht, rechnen jedoch schon. Wenn du einen Vektor im 3-dim. Raum in Komponenten darstellst, dann liefert das

Niemand hindert einen daran, den Index über

laufen zu lassen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Warum verschiedene Stringtheorien nur in bestimmten Dimensionen konsistent sind, ist ohne Mathematik nicht wirklich zu erklären.

Man geht aus von einem String, der sich in einer i.A. gekrümmten Raumzeit der Dimensionen N bewegt. Dabei wechselwirkt der String mit der Raumzeit. Diese wird durch eine sogenannte Metrik g charakterisiert, mittels derer Längen, Winkel, Flächen etc. in einer gekrümmten Raumzeit beschrieben werden können: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Metric_tensor

Die Raumzeiten, die man in der Stringtheorie betrachtet, weisen eine sogenannte Skaleninvarianz auf, d.h. die Raumzeit definiert keine ausgezeichnete Längenskala. Mathematisch wird eine erlaubte Reskalierung mittels einer sogenannten Weyl-Transformation beschrieben: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Weyl_transformation

Diese Reskalierung kann in der Stringtheorie je Raumzeitpunkt unterschiedlich durchgeführt werden, d.h. man kann je Raumzeitpunkt die Längenskala beliebig anpassen. Das ist aber ein rein mathematischer Artefakt, eine sogenannte lokale Eichsymmetrie: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Gauge_theory

Eine lokale Eichsymmetrie bedeutet, dass man “zu viele Felder” in der Theorie hat, also mehr mathematische Felder als physikalisch tatsächlich vorliegen. Der einfachste Fall ist der des Elektromagnetismus, wo man mit vier Polarisationen startet, obwohl in der Realität nur zwei (transversale) Polarisationen existieren. Eine lokale Eichsymmetrie bedeutet jedoch auch, dass die Theorie einen mathematischen Mechanismus enthält, der die überzähligen Felder konsistent eliminiert.

Wenn man eine klassische Theorie quantisiert - https://en.m.wikipedia.org/wiki/Canonical_quantization - dann können verschiedene klassische Symmetrien gebrochen werden, man spricht von sogenannte Anomalien: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Anomaly_(physics)

Es sind Anomalien bekannt, die zu realen physikalischen Effekten führen. Im Falle einer Anomalie in einer lokalen Eichtheorie - engl. gauge anomaly - wird die Theorie üblicherweise inkonsistent, d.h. mathematisch sinnlos. Eich-Anomalien müssen vermieden werden.

Berechnet man nun die Eich-Anomalie für die o.g. lokale Weyl-Symmetrie, so stellt man fest, dass sie für den bosonischen String (fermionischen Superstring) nur dann verschwindet, wenn die Dimension der Raumzeit D=26 (D=10) ist.