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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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 MBastieK Verfasst am: 04. Okt 2022 16:13 Titel: Verletzung der Bellschen Ungleichung |
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Hi!
Ich verstehe bei der Bellschen Ungleichung nicht welche Prinzipien, Entitäten oder Konstrukte konkret ungleich sind.
Oder anders gefragt:
Wenn diese Ungleichung verletzt wird, was konkret ist denn dann wieder gleich?
Nette Grüsse
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Intelligenz ist die Fähigkeit der (temporären) Anpassung. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 04. Okt 2022 17:57 Titel: |
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Wenn die Bellsche Ungleichung verletzt ist, gelten die Vorhersagen der Quantenmechanik, d.h. lokal-realistische Theorien sind ausgeschlossen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 04. Okt 2022 18:13 Titel: |
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Dann sind bei Verletzung der Ungleichung folgende Konstrukte ungleich:
Quanten-Mechanik und lokal-realistische Theorien.
Im Umkehr-Schluss:
Bei Beständigkeit der Ungleichung sind folgende Konstrukte gleich:
Quanten-Mechanik und lokal-realistische Theorien.
Terminologisch ist da für mich noch irgendwie eine Negierung zuviel.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 04. Okt 2022 19:44 Titel: |
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Ein experimenteller Test sagt doch nichts darüber aus, ob Theorien "gleich" oder "ungleich" sind. Der Test sagt etwas darüber aus, welche Eigenschaften von Theorien zutreffen.
Bellsche Ungleichung verletzt => Vorhersagen der Quantenmechanik gelten, Vorhersagen lokal-realistischer Theorien sind falsch
Das trifft zunächst aber eben nur auf die Vorhersagen zu, die in den entsprechenden Experimenten überprüft werden, z.B. wird nichts über Interferenz o.ä. gesagt.
Es wird auch nicht über spezielle lokal-realistische Theorien gesagt, sondern über alle. Natürlich schließt das Experiment die klassische Mechanik aus, aber das tun tausend andere Experimente auch. Es ist neben der Quantenmechanik keine andere Theorie bekannt, die z.B. das Doppelspaltexperiment und die Spektren der Atome erklärt. Gäbe es eine solche und wäre sie lokal-realistisch, dann wäre sie aufgrund von Bell's Ungleichung und den experimentellen Befunden ausgeschlossen.
Der Umkehrschluss, bei Gültigkeit der Ungleichung wären Quantenmechanik und lokal-realistische Theorien - wie z.B. die klassische Mechanik - "gleich", ist natürlich Käse; dass beide nicht identisch sind, ist eine mathematische Tatsache, und dass die Quantenmechanik das Doppelspaltexperiment und die Spektren der Atome erklärt, die klassische Mechanik nicht, eine weitere; dazu braucht's nicht die Bellsche Ungleichung.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 04. Okt 2022 20:20 Titel: |
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Mist, ich hätte 'gleich' und 'ungleich' in doppelte Anführung-Striche setzen sollen.
Beantwortet das Bisherige meine Frage, welche Konstrukte sich bei der Ungleichung gegenüberstehen?
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 05. Okt 2022 00:29 Titel: |
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Bell ist vom EPR-Paper ausgegangen, mit dem Einstein & Co. die nichtrealistischen Interpretationen der QM widerlegen wollten
Bell hat dazu in Ungleichungen abgeschätzt, welche Messungen unter der Voraussetzungen von Lokalität und Realität der QM erfüllt sein müssten.
U.a. Messungen von Clauser (Nobelpreis 2022) haben Verletzungen dieser Messungen ergeben. Die QM ist also danach nicht gleichzeitig lokal und realistisch, wobei allgemein ein Widerapruch zur Lokalität angenommen wird
Andere Abschätzung (u.a. Legget) und Messungen haben dazu unabhängig
auf eine Verletzung der Realität der QM hingewiesen.. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 05. Okt 2022 07:13 Titel: |
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“lokal-realistisch” bedeutet in diesem Kontext, dass es möglich ist, in einem Zweiteilchensystem beiden Partnern jeweils einzeln bestimmte Eigenschaften unabhängig von der Messung zuzuschreiben.
Bsp. einer lokal-realistische Theorie: Erhalten zwei Experimentatoren Alice und Bob je einen in einem Stoffbeutel versteckten Schuh aus einem Paar Schuhe, so wissen beide sicher, dass ihnen entweder ein rechter oder ein linker Schuh im Beutel vorliegt auch wenn sie ohne Nachzusehen noch nicht wissen, welcher genau. D.h. man darf davon ausgehen, dass für Alice und Bob sicher einer der beiden Fälle vorliegt:
_\text{Alice} \, |\text{right})_\text{Bob} )
_\text{Alice} \, |\text{left})_\text{Bob} )
Bsp. einer nicht lokal-realistische Theorie: Erhalten zwei Experimentatoren Alice und Bob je ein Spin-1/2 Teilchen aus einem Paar, deren Gesamtspin sich zu Null addiert, so ist die Annahme, beide wüssten sicher, dass ihnen entweder ein +1/2 oder ein -1/2 Teilchen vorliegt, mit der Quantenmechanik unverträglich. D.h. muss davon ausgehen, dass für Alice und Bob nur ein verschränkter Fall vorliegt:
Bell analysierte die Möglichkeit, lokal-realistische Theorien zu formulieren, in denen die separate (lokale) Zuschreibung der Spins möglich ist, auch wenn diese noch unbekannt sind - so wie im Falle der Schuhe. Er berechnete daraus mittels Standardmethoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung bestimmte Korrelationen für Spins, die sich von den aus der Quantenmechanik bekannten Korrelationen unterscheiden.
Clausen und Aspect (und inzwischen v.a.m.) konnten experimentell zeigen, dass diese hypothetischen lokal-realistischen Theorien ausgeschlossen sind.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 05. Okt 2022 16:45 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Hi!
Ich verstehe bei der Bellschen Ungleichung nicht welche Prinzipien, Entitäten oder Konstrukte konkret ungleich sind.
Oder anders gefragt:
Wenn diese Ungleichung verletzt wird, was konkret ist denn dann wieder gleich?
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Die Bellschen Ungleichungen setzen Korrelationen zwischen zwei Größen in Beziehung, von denen sich jede auf ein anderes System bezieht. Eine vollständig realistische Erklärung für solche Korrelationen zu finden, ist nämlich mehr oder weniger das Problem, das im Gedankenexperiment von EPR aufgeworfen wird. Hierfür gibt es im Prinzip zwei Möglichkeiten: 1) einer der Werte wird vom anderen verursacht oder 2) beide Werte haben eine gemeinsame Ursache. Eine Schwierigkeit entsteht dadurch, daß die Vorhersage dieser Korrelationen innerhalb der Quantenmechanik oft unabhängig von der raumzeitlichen Trennung beider Systeme ist. Dies schließt normalerweise eine Erklärung der Art 1) aus, wenn die beiden Systeme räumlich weit getrennt sind. So kommt die Aussage über Lokalität ins Spiel. Allgemein gesprochen beschreiben die Bellschen Ungleichungen gewisse Einschränkungen, denen Korrelationen zwischen zwei Größen unterworfen sind, wenn die Werte beider Größen durch lokale verborgene Parameter verursacht werden.
Das einfachste Beispiel hierfür sind Korrelationen zwischen dem Spin eines Teilchens in Richtung  und dem Spin eines anderen Teilchens in Richtung  . Die Quantenmechanik sagt für diese Situation je nach Zustand des Gesamtsystems und Orientierung von und Korrelationen voraus. Wenn wir z.B. den verschränkten Zustand
)
betrachten, bei dem sich die Spinwerte für beide Systeme auf die Achse beziehen, dann hängen die Vorhergesagten Korrelationen nur vom Winkel zwischen und ab
 S_2(\vec{b})|\psi\rangle = -\cos\phi_{ab}\qquad\text{(1)})
Auch hier können System 1 und 2 beliebig weit entfernt sein. Um eine mögliche Erklärung der Art 2) zu untersuchen stellt man sich nun vor, daß die Werte beider Größen (Spins) neben der Richtung auch von einem Satz verborgener Variablen  abhängen , S_2(\vec{b},\lambda)) , welche die Werte komplett determinieren. Die Forderung der Lokalität schließt nun aus, daß  von oder  von abhängt. Mittels einer statistischen Verteilung von kann man nun Erwartungswerte und Korrelationen von  berechnen und mit den entsprechenden quantenmechanischen Größen vergleichen. Für die Korrelation zwischen und ergibt sich z.B. mittels verborgener Variablen
=\langle S_1(\vec{a})S_2(\vec{b})\rangle = \int \dd\lambda S_1(\vec{a}, \lambda)S_2(\vec{b},\lambda) p(\lambda).\qquad\text{(2)})
(Das ist nichts anderes als klassische Wahrscheinlichkeitstheorie.) Ich gehe hier jeweis davon aus, daß die Erwartungswerte verschwinden \rangle = \langle S_2(\vec{b})\rangle = 0) . Dies ist im Zustand  der Fall, mit dem wir letztlich vergleichen wollen.
Man variiert nun in Gl. (2) die Richtungen und für eine fixe Verteilung ) und untersucht den Einfluß dieser Variation auf die Größe ) . Man kann sich dies so vorstellen: Der exakte Zustand des Systems ist durch festgelegt, über dessen Wert aber nur statistische Aussagen in Form von bekannt sind. Die Größen  beschreiben den experimentellen Aufbau, mittels dessen an diesem System Messungen vorgenommen werden. Im Falle des Spins könnte es sich also z.B. um die Ausrichtungen von Polarisationsfiltern handeln. (Um nochmal auf die Lokalität zurückzukommen -- diese besagt in diesem Kontext, daß die Richtung des Polarisationsfilters 2 keinen EInfluß auf das Ergebnis am System 1 hat.)
Man erhält auf diese Weise also eine Liste von Werten
S_2(\vec{b}_1)\rangle, \langle S_1(\vec{a}_2)S_2(\vec{b}_2)\rangle, \ldots)
Theoretisch erhält man natürlich ein ganzes Kontinuum von Werten aus Gl. (2), die die Vorhersagen der verborgenen Variablen darstellen. Wegen der Form von Gl. (2) können diese Werte nicht unabhängig sein und es stellt sich heraus, daß ein paar Werte ausreichen um die Vorhersagen verborgener Parameter mit der Quantenmechanik zu vergleichen. Insbesondere kann man untersuchen wie die Änderung von ) in Abhängigkeit von nur einer der beiden Richtungen, z.B. , aussieht. Aus Gl. (2) erhält man für diesen Fall recht leicht folgende Beziehung
 - C_{12}(\vec{a}, \vec{c})| + |C_{12}(\vec{b},\vec{c}) + C_{12}(\vec{b}, \vec{b})| \leq 2)
(siehe z.B. Bell, Introduction to the hidden-variable question) Dies ist eine Bellsche Ungleichung. Wenn wir dieselben Symmetrieannahmen machen, die auch im quantenmechanischen Fall gelten, dann hängen nur vom Winkel zwischen ab. Wir können z.B. eine Situation betrachten, in welcher alle Richtungen in derselben Ebene liegen und der Winkel zwischen und gleich dem Winkel zwischen und  ist, sagen wir  . Setzen wir für die Korrelationen hier die Werte (1) aus der Quantenmechanik ein, dann besagt die Bellsche Ungleichung
| + |\cos\alpha + 1| \leq 2. )
Das gilt aber nicht immer.
Also lassen sich die Vorhersagen der Quantenmechanik in Bezug auf derartige Korrelationen nicht mittels lokaler versteckter Variablen erklären.
(Übrigens die Verletzung der Bellschen Ungleichungen, die der Plot in dem Link zeigt, bedeutet nicht, daß irgendwelche der beteiligten Größen nun gleich sind. Da stimmt also mit der Logik deines Umkehrschlusses etwas nicht.)
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It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt |
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 06. Okt 2022 12:42 Titel: |
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Mathematisch alles sehr eloquent.
Aber:
Wird bei der Bellschen Ungleichung eine Form von folgenden Ungleichungen angewandt?
Ich bin teilweise von Form (5) ausgegangen.
https://de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung#Formen_von_Ungleichungen
Ansonsten werde ich mich wohl auf diesen Satz konzentrieren:
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Die Bellschen Ungleichungen setzen Korrelationen zwischen zwei Größen in Beziehung, von denen sich jede auf ein anderes System bezieht. |
Nette Grüsse
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 06. Okt 2022 12:53 Titel: |
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Die Bellschen Ungleichungen lauten
 - C_{12}(\vec{a}, \vec{c})| + |C_{12}(\vec{d},\vec{c}) + C_{12}(\vec{d}, \vec{b})| \leq 2)
mit der Definition der Korrelationen  aus meinem vorigen Beitrag; sie sind also von der Form (2) oder (4).
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 06. Okt 2022 12:56 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | Die Bellschen Ungleichungen lauten
mit der Definition der Korrelationen aus meinem vorigen Beitrag; sie sind also von der Form (2) oder (4). |
Ah, ok. Super.
Thnx.
Nette Grüsse
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