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Nachricht |
JohnHouse
Anmeldungsdatum: 07.04.2021
Beiträge: 4
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 JohnHouse Verfasst am: 07. Apr 2021 16:36 Titel: Bewegung eines Massepunktes auf einer Bahnkurve |
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Meine Frage:
Hallo liebes Forum,
ich habe im Bereich der theoretischen Physik eine vom Sachverhalt eher leichte Aufgabe gegeben, die mir aufgrund ihrer Formulierung doch Schwierigkeiten bereitet:
Ein Massepunkt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf der Bahnkurve
ax²+2bxy+cy²=1 ,mit a,b,c >0.
Nun soll ich die kartesischen Koordinaten der Geschwindigkeit und Beschleunigung des Massepunktes als Funktion von x und y angeben.
Meine Ideen:
Mein erster Ansatz war x:=x(t),y:=y(t) zu definieren, um die gegebene Funktion nach t differenzieren zu können. Allerdings kamen mir bei dieser Herangehensweise Zweifel, da man im Allgemeinen schließlich nur die Differenz zweier Ortsvektoren gegen 0 laufen lassen müsste, um den Differentialquotienten zu bilden. Jedoch habe ich diese Vektordarstellung nicht gegeben und aufgrund der mehrvariablen Funktion auch keine Idee dazu.
Alle Beispielaufgaben, die ich zu dem Thema finde, haben meist nur Ortsvektoren gegeben und keine Funktionsgleichung und wenn dann nie mehr als eine Variable.
Ich würde mich freuen, wenn hier jemand für Klarheit sorgen könnte!
LG |
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gnt
Gast
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| gnt Verfasst am: 07. Apr 2021 20:42 Titel: |
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Mir fällt zwar keine schöne Lösung ein, aber vielleicht versuchst Du es auf diese Weise:
Zuerst die Gleichung sowohl nach x als auch nach y lösen. Dann sind aber wegen dem Quadrat jeweils zwei Fälle zu unterscheiden. Aber zumindest hast Du dann Funktionen statt einer Gleichung. Nämlich eine Funktion fy(x) und eine fx(y).
Dann gilt für die Definitionsmenge gem. der Gleichung der Vektor mit den Ableitungen {fx'(y), fy'(x)} als Länge der Kurve am Punkt {x,y}. Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, dann sollte die Geschwindigkeit am Punkt {x,y} sein: {fx'(y), fy'(x)}/|{fx'(y), fy'(x)}|. |
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JohnHouse
Anmeldungsdatum: 07.04.2021
Beiträge: 4
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| JohnHouse Verfasst am: 08. Apr 2021 10:44 Titel: |
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Erstmal vielen Dank für die Antwort.
Ich habe die Gleichung wie geraten nach x und y Parameter umgestellt:
fy(x)=y=
}{c} )
fx(y)=x=
}{a} )
Nun gelte für den Vektor
r(x,y)=
 \\ f_{y}`(x) \end{pmatrix} )
(Warum nicht } ) ?).
Und schließlich ist der Einheitsvektor des r(x,y) der Geschwindikgeitsvektor, den ich dann wiederum in kartesischen Koordinaten umschreiben muss? |
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JohnHouse
Anmeldungsdatum: 07.04.2021
Beiträge: 4
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| JohnHouse Verfasst am: 08. Apr 2021 11:33 Titel: |
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Denn eigentlich gilt ja für den Tangentenvektor einer Bahnkurve, dass er der normierte Geschwindigkeitsvektor sei- |
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gast_free
Gast
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| gast_free Verfasst am: 08. Apr 2021 11:59 Titel: |
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+c})
Sonderfall:
=x \vec e_x+-\frac{1}{\sqrt{c}} \vec e_y)
}}=\dot x \vec e_x+0 \vec e_y)
}}=\ddot x \vec e_x+0 \vec e_y)
Sonst:
=x \vec e_x+(-\frac{b}{c}x+-\frac{1}{c}\sqrt{(b^2x^2-acx^2)+c}) \vec e_y)
Genauso weiter rechnen. Innere und äußere Ableitung usw. |
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gnt
Gast
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| gnt Verfasst am: 08. Apr 2021 13:37 Titel: |
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| JohnHouse hat Folgendes geschrieben: |
Nun gelte für den Vektor
r(x,y)=
(Warum nicht ?). |
Das wäre ja die Zeitableitung, aber es gibt kein t in der Funktion. Das ginge nur, wenn man eine nach t parametrisierte Funktion für die Trajektorie hätte. Eine solche braucht man aber gar nicht.
Vielleicht wäre es sogar möglich, eine solche Funktion zu finden, weil die Gleichung, soweit ich das jetzt sehe, die allgemeine Form für eine Ellipse, zwei Hyperbeln usw. ist - also, je nach Parametern für a, b und c.
| JohnHouse hat Folgendes geschrieben: | | Und schließlich ist der Einheitsvektor des r(x,y) der Geschwindikgeitsvektor, den ich dann wiederum in kartesischen Koordinaten umschreiben muss? |
Du hast damit doch das Ergebnis bereits in kartesischen Koordinaten. Da ist nichts mehr umzurechnen. Anders wäre es, wenn man eine Funktion f(t) hätte, aber die Frage lautete ja "[...] als Funktion von x und y angeben.". |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 08. Apr 2021 14:36 Titel: |
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Ein anderer Vorschlag wäre, das totale Differential zu bilden. Dann folgt
Für bx+cy=0 ist vx=0. Hat die Geschwindigkeit den Betrag v, so ist der Geschwindigkeitsvektor (allenfalls mit negativem Vorzeichen)
^2+(ax+by)^2}}\begin{pmatrix}bx+cy\\-ax-by\end{pmatrix})
Der Beschleunigungsvektor steht senkrecht auf  ; der Betrag ist gleich v^2/r mir r dem Krümmungsradius der Bahnkurve. Wie man den Krümmungsradius ausdrücken kann durch x und y, weiss ich allerdings nicht. |
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JohnHouse
Anmeldungsdatum: 07.04.2021
Beiträge: 4
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| JohnHouse Verfasst am: 08. Apr 2021 16:21 Titel: |
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| gast_free hat Folgendes geschrieben: |
Sonderfall:
Sonst:
Genauso weiter rechnen. Innere und äußere Ableitung usw. |
Vielen Dank für die Antwort!
Auf die obigen Gleichungen bin ich mit dem Tipp von gnt ebenfalls gekommen.
Aber worauf bezieht sich Ihre Anmerkung mit innerer und äußerer Ableitung? Formal ist mir der Ausdruck über die Kettenregel bekannt, jedoch nur wenn ich den Faktor des  nach x differenzierte. Hierbei bilde ich dagegen die Zeitableitung (oder nicht?) |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 09. Apr 2021 16:03 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Ein anderer Vorschlag wäre, das totale Differential zu bilden. Dann folgt
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Ziemlich clever! Schön!
Viele Grüße,
Nils |
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