Berechnung der Gesamtladung

rensch · Anmeldungsdatum: 20.03.2021 Beiträge: 12

Hallo Community,

mein Dozent in theroretischer Physik treibt mich noch in den Wahnsinn smile

Ich habe folgendes Problem (siehe beigefügte Aufgabenstellung).

Meine bisherigen Überlegungen:

(1)
Bei der Ladungsverteilung handelt es sich um einen Zylinder mit Radius r und Höhe h wobei die Ladung sich im Abstand r befindet.

(2)
Die Gesamtladung ist homogen auf der Mantelfläche des Zylinders (2πRh) verteilt. Das ganze ist rotationssymmetrisch um die z-Achse

(3) Höhe z von -h/2 bis h/2

Wenn ich das also skizziere erhalte ich einen aufrecht stehenden Zylinder um die z-Achse mit dem Radius r und z von -h/2 bis h/2

Soweit sogut und ich hoffe das stimmt schonmal.
Wenn ich jetzt die Gesamtladung berechne gilt ja allgemein erstmal

und daraus dann

mit

(wegen Zylinderkoordinaten)

mein Integral sieht jetzt wie folgt aus:

Jetzt endlich mein Problem, dieses

im Integral macht mich ganz fuchsig und ich fühle mich gerade nicht im stande das Integral zu lösen. Kann mir einer von euch dabei zur Hand gehen?

Vielen Dank im voraus für eure Beiträge und Hilfestellungen.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5852

Die

-Funktion gibt nur an, dass beim Zylindermantel die Ladungsdichte für

ungleich null und sonst gleich null ist. Folglich muss die z-Komponente von -h/2 bis h/2 integriert werden.
Neben dem Zylindermantel ist da übrigens auch noch eine Punktladung mit umgekehrtem Vorzeichen.

rensch · Anmeldungsdatum: 20.03.2021 Beiträge: 12

Vielen Dank für die Antwort, sowas hatte ich mir auch schon gedacht. Habe dann meine Integrationsgrenzen aber einfach von 0 bis h gelegt, das kann ich dann wohl nicht machen. Vorallem wegen der Punktladung. Du meinst ja bestimmt das:

als Punktladung im Koordinatenursprung oder?

Ich müsste also aufjedenfall mein Integral erstmal so aufstellen

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5852

Ja, das mit der Punktladung habe ich so gemeint. Das Integral würde ich vielleicht besser so schreiben:

Wenn die Integrationsgrenzen von z schon mit -h/2 und h/2 eingesetzt sind, kann die chi-Funktion natürlich auch weggelassen werden.

rensch · Anmeldungsdatum: 20.03.2021 Beiträge: 12

Ok danke nochmal für die Hilfe, so langsam klingelts bei mir wo meine Fhler lagen.

Ich habe das die ganze Zeit als "eine Ladung" angesehen. Aber weil es einmal die Punktladung und die Ladung der Mantelfläche sind, kann/muss ich zwei Integrale lösen. Darüber die chi-Funktion einfach wegzulassen hatte ich auch schon nachgedacht, aber war mir nicht sicher.

Eine Frage noch zu dem Integral von dir. Warum läßt du die Integrationsgrenze für r bis unendlich laufen? Reicht doch bis R oder?

Mein zu lösendes Integral sieht dann so aus:

Ich werde das mal durchrechnen und dann mein Ergebnis präsentieren, vielleicht mag dann nochmal einer drüberschauen ;-)

(Achso Integration der Punktladung dann auch über Zylinderkoordinaten)

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5852

Bei der Integration über rho muss R im Innern des Integrationsintervalls liegen, damit das Integral der Delta-Funktion dort den Wert 1 annimmt.
Durchzurechnen gibt es nicht viel, bei der Punktladung ohnehin nicht...

rensch · Anmeldungsdatum: 20.03.2021 Beiträge: 12

So also ich habs jetzt trotzdem mal durchgerechnet und stell meine Lösung ein, einfach nur für mich zur Kontrolle da ich mir bei dieser Art der Aufgaben doch sehr unsicher bin.

Lange Rede kurzer Sinn:

hier noch mein Rechenweg, falls jemanden Fehler bei der korrekten mathematischen Schreibweise sieht bitte mal darauf hinweisen ;-)
(Konstanten habe ich einfach vor das Integral gezogen)

Für die Punktladung ergibt sich:

und für die Mantelfläche (ohne kürzen):

sodass am Ende rauskommt:

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5852

Nur kurz: Ja, das sieht gut aus. Für die Integration über rho/r muss aber im Integral überall dieselbe Variable benutzt werden, also z.B.

rensch · Anmeldungsdatum: 20.03.2021 Beiträge: 12

Ok danke, das mit der Integrationsvariablen bringe ich ständig durcheinander-