Verifikation einer Rechnung zu Hebelgesetzen bei einem Tisch

Askarel · Anmeldungsdatum: 14.03.2021 Beiträge: 8

Hallo zusammen!

Meine Physik ist leider etwas eingerostet und ich hoffe, ihr könnt meine Rechnung verifizieren bzw. korrigieren. Danke schonmal!

Es geht darum, dass ich einen schweren Tisch an einer Seite hochbocken möchte, wobei dieses Hochbocken über einen zweiteiligen Hebel funktionieren soll.

Ein ganz grobes Schema des Tischs ist in "Übersicht.jpg". Die Datei "Seitenansicht.jpg" zeigt den Tisch von der Seite mit dessen Gewichtsverteilung. Und in der Datei "Hebel.jpg" Ist der Hebelmechanismus abgebildet.
Bei den Benennungen meiner Variablen beziehe ich mich auf die Bilder.

Starten wir mit den Hebeln. Zwei Hebel sind rechts und links an den Beinen des Tischs montiert (Punkte P1 und P2) und beide Punkte sind auf der gleichen Höhe. Der linke Hebel ist durchgehend von P1 bis P4. Der Rechte Hebel ist kürzer und geht von P2 bis P3. Am Punkt P3 sind die beiden Hebel miteinander verbunden.
Die Hebelpunkte sind beide gleich weit von den Aufhängungspunkten entfernt (

gleich lang auf beiden Seiten) und P3 ist so gewählt, dass die Kraftarme bis zu P3 ebenfalls gleich groß sind (also

). Der Linke Hebel ist weiterhin um den Kraftarm

länger als der rechte Hebel.
Die Kraft

um den Tisch aufzubocken soll an Punkt P4 senkrecht nach unten einwirken.

Da der Tisch nur einseitig aufgebockt wird, wirkt nicht die gesamte Gewichtskraft des Tisches

auf die Hebel, sondern hier muss auch ein Hebel angenommen werden. Der Schwerpunkt des Tisches liegt im Verhältnis 60:40 näher beim Hebelmechanismus (vgl. Seitenansicht).

Gesucht ist die Kraft

für eine beliebige Gewichtskraft

des Tischs.

Meine Rechnung ist wie folgt:
Zuerst berechne ich die Kraft

für den rechten Hebel.

Äquivalent dazu berechnet sich der linke Seite für den gesamten Hebel.

Die Gesamtkraft für den linken und den rechten Hebel summiert sich auf und es ergibt sich:

Da die Hebel symmetrisch am Tisch angebracht ist, gilt

sowie

wodurch sich die Gleichung vereinfacht zu

Die Lastkraft ergibt sich aus

Eingesetzt ist das endgültige Ergebnis:

Wäre echt stark, wenn das jemand nachprüfen könnte. WIe gesagt, ich bin mir meiner Sache nicht sicher und ich möchte ungern, dass mir der Tisch wegen nem Rechenfehler auf den Fuß fällt Augenzwinkern

Vielen Dank schonmal!

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5865 Wohnort: jwd

Ich entnehme Deiner Hebelskizze, dass der Hebel geknickt ist.
Da für die Drehmomentbetrachtung nur die Kräfte wirken, welche senkrecht auf den Hebelarmen stehen, muss der Knickwinkel berücksichtigt werden. Das sehe ich in Deiner Rechnung nicht.

PS
Statt mehrerer Massblätter wäre eine einfache Skizze übersichtlicher gewesen.

Askarel · Anmeldungsdatum: 14.03.2021 Beiträge: 8

Hallo Mathefix,

vielen Dank für die Antwort!
Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob ich sie richtig verstehe. Du meinst, es handelt sich hier um einen Winkelhebel? Aber meines Wissens nach ist ein Winkelhebel ein Hebel, bei dem sich ein Winkel zwischen Lastarm und Kraftarm befindet. Das ist ja nicht gegeben (zumindest soweit ich das seh, ich lass mich da aber gerne korrigieren).
Oder geht es um die Winkel, wie die Lastkräfte und Hebelkräfte auf die Achsen wirken? Im allgemeinen Fall wären die relevant, da geb ich dir recht, das hab ich völlig übersehen.
Aber wenn ich das in meinem Modell ausmesse komm ich auf einen reellen Winkel von etwa 2°, ich denke den Winkel kann man vernachlässigen.
Um das in Perspektive zu setzen: Die Räder sollen später nur ein paar Millimeter (5 in meinem Fall) unter den Füßen rausschauen, daher der geringe Winkel bei "eingefahrenem" Zustand.

Unter der Annahme, dass der Winkel vernachlässigbar ist (ich denke, das sollte ja nicht viel ausmachen, oder? Auch da lasse ich mich gerne belehren), passt meine Rechnung dann?

Beste Grüße!

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5865 Wohnort: jwd

Deine Zeichnungen sind für mich verwirrend.
Eine einfache Skizze mit Last und Hebel wäre besser.

Askarel · Anmeldungsdatum: 14.03.2021 Beiträge: 8

Das verstehe ich. Auch wenn ich ehrlich nicht weiß, wie ich ein Dreidimensionales Problem in eine einfache zweidimensionale Skizze bringen soll.

Aber gut, lass uns mal nur auf das Problem aus Hebel.jpg konzentrieren, den Rest sollt ich auch selber hinbekommen.

Ich hab dir ein Rendering des Mechanismus angehängt, vlt. wird dadurch die Skizze klarer? Wie gesagt, ich wüsste nicht, wie ich die Skizze vereinfachen sollte.
Aber sag mir was du brauchst zum Verständnis und ich schau dass ichs hinbekomm.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5865 Wohnort: jwd

Ich habe den Mechanismus so verstanden:
1. Die Gelenke der beiden Hebel sind die rechte und linke Sechskantschraube
2. Der rechte Hebel ist gelenkig an dem linken Hebel befestigt
3. Die Hubkraft soll am Ende des linken Hebels angreifen
4. Die Hebel drücken auf die grauen Rollen und der Tisch soll sich heben

Ist das so richtig?

Askarel · Anmeldungsdatum: 14.03.2021 Beiträge: 8

Ja das ist korrekt so!

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5865 Wohnort: jwd

Askarel · Anmeldungsdatum: 14.03.2021 Beiträge: 8

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5865 Wohnort: jwd

Askarel · Anmeldungsdatum: 14.03.2021 Beiträge: 8

Na dann mal vielen Dank fürs Neuzeichnen meiner Skizze. Es freut mich, dass ich dir dabei helfen konnte, den Mechanismus zu verstehen.

Deine Aussagen über die Drehmomente und Kräfte zur Berechnung der Hebel sind mir geläufig. In der Tat hab ich sie sogar in meiner Fragestellung durchgerechnet. Was schlussendlich auch zu der Frage geführt hat, ob jemand drüberschauen und meine Rechnung bestätigen kann.

Du möchtest/kannst das wohl nicht tun, daher möchte ich dir an dieser Stelle für deine Zeit und dienen Input danken.
Könnte bitte jemand anders noch über die Rechnung schauen? Vielen Dank.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5862

Zuerst einmal: die einfache Rechnung mit den Hebelarmen gilt natürlich nur, wenn die Hebel nahezu horizontal liegen und die Kräfte damit senkrecht an den Hebeln angreifen.

gast_free · Gast

Hallo Askarel. Ich habe mir mehrere male, an verschiedenen Tagen, Deine Skizzen und Deine Erläuterungen angeschaut. Genauso, wie die anderen Teilnehmer verstehe ich sie nicht.

Dabei habe ich früher öfter mechanische Berechnungen, darunter auch Statiken, durchgeführt. Bevor man eine Berechnung durchführen kann sollte man das System deutlich aufzeichnen. Ich weiß, Du hast es versucht und Dir auch viel Mühe gegeben.

Dennoch fehlt es an Eindeutigkeit und Abstraktion.

Der Tisch der einseitig aufgebockt werden soll ist ziemlich klar. Abstrahieren lässt er sich z.B. wie folgt.

1. Festlegen eines Koordinatensystems

2. Drehlager: Punkt über den der Tisch hochgekippt wird. Dieses Lager nimmt horizontale und vertikale Kräfte auf. Zweckmäßiger Weise im Nullpunkt.

3. Lage des Schwerpunktes des Tisches.

Die lässt sich in wenigen Strichen eindeutig zeichnen.

4. Koordinatenpunkte, an denen das Hebelsystem angreifen soll.

5. Koordinaten wo die Gewichtskraft des Tisches über das Hebelsystem senkrecht in den Boden geleitet wird.

6. Beschreibung der Hebelkonstruktion und Koordinate wo die Kraft von außen zum Hebel ansätzt.

Dies lässt sich alles in einer Skizze beschreiben. Eine zweidimensionale Betrachtung reicht völlig.

Bei der Berechnung legt man Schnitte um die Gegenkräft zu ermitteln, die das Bauteil im Gleichgewicht halten. So wird das Hebelsystem mit mehreren Kräften von außen beaufschlagt. Zu ermitteln ist halt die Hebelkraft.

An jedem Punkt muss die Summe der Kräfte zu Null werden und an den Drehpunkten die Summe der Momente. Auch das mögliche wegrutschen des Tisches sollte untersucht werden.

Wie gesagt, ich blicke da jetzt auch nicht durch und habe keine Lust zu raten. Da es mir alleine nicht nur so geht solltest Du eine Skizze anfertigen aus der man alles ohne zusätzliche Erläuterungen ablesen kann.

Askarel · Anmeldungsdatum: 14.03.2021 Beiträge: 8

Hallo zusammen,
vielen Dank für eure Antworten!

Ich bin gestern auf die Idee gekommen, eine Grenzfallbetrachtung zu machen. Wenn ich annehme, dass ausschließlich der linke Hebel genutzt wird und das komplette Gewicht des Tischs mit dem Hebel angehoben werden muss, dann komm ich bei den geplanten Maßen für den Hebel (Lastarm 140 mm, Hebelarm 1040mm) und einem mehr als großzügig gerechneten Gewicht des Tischs (600 kg) auf ein Gewicht von etwa 81 kg das auf den Hebel drücken muss um ihn anzuheben. Da sich durch den zweiten Hebel, das geringere reale Gewicht, die Gewichtsverteilung, sowie das Anheben des Tischs um eine Auflageachse das Lastgewicht weiter reduziert soll das für mich mal so reichen.

@Myon: Wenn ich meine Werte in deine Formel einsetze, kommt ein sinnvoll klingender Wert (zumindest meinem Bauchgefühl nach) von etwa 54 kg raus. Kannst du mir deinen Ansatz erklären, wie du auf deinen zweiten Summanden kommst? Würde mich wirklich interessieren!

@gast_free: Da hat mir ja zum Glück Mathefix unter die Arme geholfen und eine tolle abstrahierte Skizze gemacht. Die sollte reichen?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5862

Askarel · Anmeldungsdatum: 14.03.2021 Beiträge: 8

Danke für deine Antwort Myon!

Die Herleitung hab ich verstanden und macht auf jeden Fall Sinn so. Zumindest mehr wie meine Big Laugh

Meine Annahmen waren
a) dass am 2. Hebel die gleiche Kraft anliegt, wie die, die auf den 1. Hebel drückt. Aber klar, die Kraft muss sich natürlich aufteilen.
b) hab ich es komplett ignoriert, dass der Kontaktpunkt aus dem 1. Hebel einen "Teilhebel" macht. Das hab ich einfach untern Tisch fallen lassen.

Vielen Dank für deine Hilfe und die tolle Erklärung! Wieder was gelernt. Auf so eine Antwort hatte ich gehofft Big Laugh