RegistrierenRegistrieren   LoginLogin   FAQFAQ    SuchenSuchen   
System auf Linearität und Zeitinvarianz prüfen
 
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Elektrik
Autor Nachricht
Gast006
Gast





Beitrag Gast006 Verfasst am: 25. Dez 2020 17:33    Titel: System auf Linearität und Zeitinvarianz prüfen Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Wie überprüft man folgendes System auf Linearität und Zeitinvarianz:


Meine Ideen:
Die Bedingung für Linearität ist zunächst einmal das Superpositionsprinzip:





Wäre hier dann:
1)


oder
2)



Wenn 2 richtig wäre, wie schreibe ich das dann in der Linearkombination der beiden auf also:

Gast006
Gast





Beitrag Gast006 Verfasst am: 25. Dez 2020 17:37    Titel: Antworten mit Zitat

Bei 1) sollte da folgendes stehen:

TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13430

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Dez 2020 18:20    Titel: Antworten mit Zitat

Ich denke, die Bedingungen sind anders aufzufassen:

Linearität: g(t) und s(t) sind linear in t
Zeitinvarianz: die Beziehung zwischen g(t) und s(t) gilt für jedes t

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Gast006
Gast





Beitrag Gast006 Verfasst am: 25. Dez 2020 18:23    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Ich denke, die Bedingungen sind anders aufzufassen:

Linearität: g(t) und s(t) sind linear in t
Zeitinvarianz: die Beziehung zwischen g(t) und s(t) gilt für jedes t


Das soll man ja mittels der Linearität überprüfen. Dabei haben wir das Superpositionsprinzip.

Die Frage ist wie man das mittels des Superpositionsprinzips beweist, dass es nicht linear ist.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13430

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Dez 2020 19:51    Titel: Antworten mit Zitat

Linearität in t besagt



s(t) analog.

Die Gültigkeit des Superpositionsprinzips besagt nicht, dass g(t), s(t) in diesem Sinne linear in t sind, sondern dass eine lineare Gleichung zu lösen ist, so dass Summen über deren Lösungen wieder Lösungen ergeben; dazu müssen diese Lösungen jedoch nicht unbedingt linear sein.

Du müsstest also genauer angeben, welche Definition vorliegt - Linearität der Funktionen oder Linearität einer Gleichung mit Superpositionsprinzip, und welcher Gleichung - und was genau zu zeigen ist.

Und die Notation
Gast006 hat Folgendes geschrieben:


kenne ich nicht.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Gast006
Gast





Beitrag Gast006 Verfasst am: 25. Dez 2020 21:43    Titel: Re: System auf Linearität und Zeitinvarianz prüfen Antworten mit Zitat

Gast006 hat Folgendes geschrieben:




Das steht hier
ML



Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 2397

Beitrag ML Verfasst am: 26. Dez 2020 00:10    Titel: Re: System auf Linearität und Zeitinvarianz prüfen Antworten mit Zitat

Hallo,

Gast006 hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:
Wie überprüft man folgendes System auf Linearität und Zeitinvarianz:


ich vermute, Du stellst die Frage im Zusammenhang mit einem Signalverarbeitungskurs . Mit ist ein reell- oder komplexwertiges Signal gemeint und G{...} ist eine Operation, die Du auf das Signal anwendest, beispielsweise eine Differentiation, die Fouriertransformation oder -- im obigen Beispiel -- die Addition mit 1.

Superpositionsprinzip
Prüfen wir zunächst, ob das Superpositionsprinzip gilt, d. h. ob gilt:

Eine mögliche Anwendungsfrage lautet: Wenn ich die beiden Signale und einzeln durch einen Übertragungskanal gehen lasse, der durch G beschrieben wird, und sie dann summiere, kommt dann das gleiche heraus, wie wenn ich das Summensignal durch den Übertragungskanal gehen lasse?

Das ist offenbar nicht der Fall, da



Proportionalitätsprinzip
Jetzt wärest Du dran, das Proportionalitätsprinzip zu prüfen. Die Frage lautet:

Gilt für jede reell- bzw. komplexwertige Konstante bzw. und ein beliebiges Signal der Zusammenhang:



Überprüfe das und schreib dann "in Prosa" auf, was das eigentlich bedeutet.

Linearität
Wenn das Proportionalitätsprinzip und das Superpositionsprinzip beide gelten, dann ist die Operation G linear.

In Deiner Übungsaufgabe waren das Superpositionsprinzip und das Proportionalitätsprinzip in einer Formel zusammengefasst. Ich habe sie absichtlich getrennt, damit Du die beiden darin enthaltenen, voneinander unabhängigen Eigenschaften des Systems erkennst. Die Eigenschaften "Linearität" und "Proportionalität" sind nur für ganzzahlige Faktoren a gleichbedeutend.

Zeitinvarianz
Für die Zeitinvarianz nutzt Du die unten im Bild zitierte Definition. Sie stammt aus Rupprecht, Signale und Übertragungssysteme, Springer (ISBN 978-3-540-56853-7). Der Pfeil verbindet das Eingangs- und Ausgangssignal des Übertragungskanals, d. h.


Viele Grüße
Michael



Zeitinvarianz.png
 Beschreibung:

Download
 Dateiname:  Zeitinvarianz.png
 Dateigröße:  25.48 KB
 Heruntergeladen:  15 mal

Gast006
Gast





Beitrag Gast006 Verfasst am: 26. Dez 2020 03:11    Titel: Re: System auf Linearität und Zeitinvarianz prüfen Antworten mit Zitat

ML hat Folgendes geschrieben:

Superpositionsprinzip
Prüfen wir zunächst, ob das Superpositionsprinzip gilt, d. h. ob gilt:

Eine mögliche Anwendungsfrage lautet: Wenn ich die beiden Signale und einzeln durch einen Übertragungskanal gehen lasse, der durch G beschrieben wird, und sie dann summiere, kommt dann das gleiche heraus, wie wenn ich das Summensignal durch den Übertragungskanal gehen lasse?

Das ist offenbar nicht der Fall, da



Proportionalitätsprinzip
Jetzt wärest Du dran, das Proportionalitätsprinzip zu prüfen. Die Frage lautet:

Gilt für jede reell- bzw. komplexwertige Konstante bzw. und ein beliebiges Signal der Zusammenhang:


Um genau zu sein heisst der Kurs Signal- und Systemtheorie.

Das Proportionalitätsprinzip auch Homogenität und Addivität beim Superpositionsprinzip.

Ich habe das mal wie folgt gemacht:
1)
2)
Und habe das dann für in 1) eingesetzt und ich kam dann auf:

Dann habe ich das ganze nochmal mit dem Ausgang mit gemacht. Also:

Daher erkennt man ja das


Bei der Zeitinvarianz heisst die Bedingung ja, wenn ich ein verzögertes Signal eingebe, bekomme ich dann ja auch ein verzögertes Ausgangssignal heraus. Also:

Dann bekomme ich folgendes:
Also kein LTI - System

Ich hoffe mal, dass ich es so richtig gemacht habe.

Wenn das soweit richtig ist, hätte ich da noch eine Aufgabe, die ich auf Zeitinvarianz überprüfen müsste:


Hier heißt die Bedingung ja auch:

Hier komme ich auf:

Mittels Substitution von und Ableitung von
Habe ich dann folgendes:

Und da soll dann g(t - T) rauskommen. Jetzt weiss ich nicht wie man g(t - T) einsetzt. Also laut der Lösung ist es zeitinvariant, doch ich sehe das noch nicht.
ML



Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 2397

Beitrag ML Verfasst am: 26. Dez 2020 15:34    Titel: Re: System auf Linearität und Zeitinvarianz prüfen Antworten mit Zitat

Hallo,

Gast006 hat Folgendes geschrieben:

Bei der Zeitinvarianz heisst die Bedingung ja, wenn ich ein verzögertes Signal eingebe, bekomme ich dann ja auch ein verzögertes Ausgangssignal heraus. Also:



Voraussetzungsgemäß gilt:


Wir wollen zeigen, dass dann gilt:



Fangen wir an:


Jetzt substituieren wir


was zu zeigen war.

Viele Grüße
Michael
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Elektrik