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Berechnung einer isotropen Massendichte
 
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Corbi



Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 204

Beitrag Corbi Verfasst am: 30. Okt 2020 15:44    Titel: Berechnung einer isotropen Massendichte Antworten mit Zitat

Ich betrachte eine kontinuierliche, isotrope Massenverteilung (in Kugelkoordinaten)
und bestimme die zugehörige Dichte


das Volumenelement in Kugelkoordinaten ist gegeben durch:



also



Aber jetzt ist ja:
Was bedeuten würde, dass die Dichte nicht mehr isotrop wäre. Das ergibt offensichtlich keinen Sinn.

Wo liegt mein Fehler?
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 1734

Beitrag index_razor Verfasst am: 30. Okt 2020 16:26    Titel: Antworten mit Zitat

Ich denke du benutzt das Symbol in zwei verschiedenen Bedeutungen. Einmal als Differential einer r-abhängigen Funktion



und einmal als 3-Form



Letzteres hängt im allgemeinen von ab, wie die letzte Gleichung zeigt. Es wird erst winkelunabhängig, nachdem man komplett über integriert hat.

Ich verstehe jedenfalls nicht, wie du hier von der linken auf die rechte Seite kommst:
Zitat:




Da scheint irgendwie der Wurm drin zu sein.
Corbi



Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 204

Beitrag Corbi Verfasst am: 30. Okt 2020 18:38    Titel: Antworten mit Zitat

Tatsächlich ist mit der Unterschied zwischen dem Differential einer winkelabhängigen Funktion und einer 3-Form (noch nie vorher gehört) nicht ganz klar.

und ja da ist tatsächlich irgendwie ein Murks in der Gleichheit. Ich hatte das dM als totales Differential einer r-abhängigen Funktion verwendet. Aber wie ich diese Gleichheit hergestellt habe kann ich grade auch nicht mehr ganz nachvollziehen

also wenn ich als Differential einer r-abhängigen Funktion auffasse, dann hat der Ausdruck keinen richtigen Sinn ?
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 1734

Beitrag index_razor Verfasst am: 31. Okt 2020 09:16    Titel: Antworten mit Zitat

Corbi hat Folgendes geschrieben:

also wenn ich als Differential einer r-abhängigen Funktion auffasse, dann hat der Ausdruck keinen richtigen Sinn ?


Ja, ist normalerweise einfach definiert als



Das M auf der linken Seite ist also, genau wie V, ein Integrationsmaß auf dem Raum, keine Funktion von . Die theoretische Rechtfertigung dafür liefert der Satz von Radon-Nikodym.

Differentialformen vom Grad n, oder auch n-Formen, bilden so etwas wie die natürlichen Integrationsmaße auf orientierbaren n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. Ihre Eigenschaften umfassen praktisch die gesamte klassische Vektoranalysis, inklusive der Integralsätze von Stokes und Gauß, und sie kommen deswegen auch in der Physik oft vor. Für eine gute Einführung halte ich Flanders, "Differential Forms with Applications to the Physical Sciences".
Corbi



Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 204

Beitrag Corbi Verfasst am: 31. Okt 2020 16:01    Titel: Antworten mit Zitat

top, Vielen Dank!
Deine Antworten helfen mir immer sehr viel :-)
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