Ladezeit Kondensator an Hochspannungsgenerator

Tesla2 · Anmeldungsdatum: 16.05.2018 Beiträge: 30

Meine Frage:

Ich möchte gerne wissen wie man einen Kondensator über einem Widerstand bei einer konstanten Spannung und Stromstärke auflädt, würden sich hier die herkömmlichen Gleichungen einer RC Schaltung ändern, zum Beispiel die Ladezeit?

In dieser hypothetischen Aufgabe wird ein Hochspannungsgenerator mit einer konstanten Spannung (10 kV) sowie konstanter Stromstärke von 5,0 Mikroampere (Ausgang Leistung P = 0,050 W) zu einem Kondensator mit einer Kapazität von 10 Mikrofarad angeschlossen, der Widerstand in dieser Schaltung beträgt 10 Ohm. Die Beziehung zwischen Spannung und Stromstärke, da Stromstärke und Spannung immer konstant gehalten werden, würde es dem ohmschen Gesetz nicht folgen. Könnte man die Zeitkonstante nach der Gleichung, tau = RC somit als 100 Mikrosekunden (0,1 ms) berechnen?
Stelle Dir vor die Stromstärke würde gegen null gehen, welche Rolle würde dies beim aufladen des Kondensator spielen?

b- Wie würden sich die Berechnungen für die Zeitkonstante (tau) und Ladezeit ändern wenn ein RC Glied an einem elektrostatischen Generator (Influenzmaschine, Bandgenerator) angeschlossen wäre?
Kann man diese Zeit in diesem Falle wo eine Bandgenerator ins Spiel kommt mit der herkömmlichen e-Funktion berechnen oder müsste man erst eine neue Gleichung ableiten?
(Es wird angenommen das der Bandgenerator in 5 Sekunden ein elektrisches Potential von 30 kV aufbaut, die Metallkugel hat einen Durchmesser von 30 cm)

Meine Ideen:
Eigener Lösungsplan:

Die Ladezeit in einem RC-Glied wird über eine Exponentialfunkion beschrieben als:
t = (-RC) ln(q/q0) und hier ist q < q0.
So lässt sich auch die Zeitkonstante, die Zeit die ein Kondensator benötigt, um über den Widerstand auf 63,2 % der angelegten Spannung aufgeladen zu werden, mit der simplen Gleichung berechnen: tau = RxC.

In einer Situation wo das ohmsche Gesetz nicht berücksichtigt wird (hohe Spannungen und unendlich kleiner Strom, oder Stromversorgung durch einen elektrostatischen Generator) könnte der Kondensator eine längere Ladezeit nötig haben im vergleich zu einem RC Glied der zu einer konstanten Spannungsquelle angeschlossen wäre.

Für den Idealfall wäre der Strom zeitabhängig: i(t) = 1000 A x exp(-t/RC) und bei einer Aufladung von 63,20 % des Kondensators würde man eine Zeit von tau = RC = 10 Ohm x 10 Mikrofarad benötigen, dies wäre eine Zeit von tau = RC = 10 Ohm x 10 Mikrofarad = 100 Mikrosekunden (0,10 ms).

Die bewegte Ladungsmenge in diesem Zeitraum wäre:

q(tau) = q0 (1-exp(-1))

q(tau) = 0,632 q0

q(tau) = 0,6320 x 10.000 V x 10 x 10-6 F

q(tau) = 0,06320 C

In unserem Beispiel allerdings wäre die Ladezeit:

t = 0,06320 C/ 5 Mikroamper

Die Zeit (tau) = 12.640 Sekunden

t (tau) = 210,67 Minuten ?

Obwohl der Kondensator über einem elektrostatischen Generator sich auch sehr schnell auflädt, wäre das Ergebnis mit 210 Minuten nicht nachvollziehbar, oder?

2. Lösungsvorschlag

Hier habe ich versucht die Elektrostatik von der Elektrodynamik zu trennen und somit eine Lösung zu generieren. Bei dem Hochspannungsgenerator muss die gesamte Ladung Q erhalten bleiben, das System hat ein elektrisches Potential von 10 kV, die Stromstärke kann auch als 5 Mikrocoulomb/s definiert werden. Es ist möglich das System als eine imaginäre Kugel mit einem bestimmten Durchmesser zu betrachten, das bei einer bestimmten Ladung (5 Mikrocoulomb) ein elektrisches Potential von 10 kV aufzeigt.
So bekommt man nach der Gleichung C= Q/U, den C Wert als 500 pF. Dieses Hochspannungssystem kann somit als ein Kondensator mit einer Kapazität von 500 pF betrachtet werden, das jede Sekunde mit einer Ladung von 5 Mikrocoulomb versorgt wird. Der Radius von dieser imaginären Kugel wäre : r = (C/(4 x Pi x Epsilon Null)) r= 4,4959 m.

Was würde passieren wenn man diese Kugel zu einem Kondensator von 10 Mikrofarad anschließen würde?

Die herkömmlichen Gleichungen aus der Elektrodynamik beziehungsweise das ohmsche Gesetz würde hier nicht funktionieren, somit habe ich versucht den 2. Kondensator mir auch als eine imaginäre Kugel vorzustellen, daraus ergibt sich der Radius eines imaginären Kugels von 89918 Meter. So eine Kugel mit diesem Radius würde genau eine Kapazität von 10 Mikrofarad besitzen. Jetzt muss man nur noch die beiden Kugeln miteinander verbinden und erkennen dass sich das elektrische Potential ausgleicht, da die gesamte Ladung erhalten bleiben muss, kann man diese Rechnung durchführen und findet die Ladung für die erste Kugel Q1= 250 pC und das elektrische Potential wäre dann U1 = 0,50 Volt, die zweite Kugel (Kondensator) würde eine Ladung von Q2 = 4,99975 Mikrocoulomb besitzen und ein elektrisches Potential von ebenfalls U2= 0,50 Volt aufzeigen.

Fazit: Wenn man den Kondensator an diesem Hochspannungsgenerator anschließt müsste das elektrische Potential von 10 kV wegen der Ladungsverteilung zusammenbrechen und eine gemeinsame Spannung von 0,50 Volt pro Sekunde würden sich an dem Generator und auf dem 10 Mikrofarad Kondensator aufbauen!

Es wären t= 10.000 V/0,50 V/s = 20.000 Sekunden = 5,55 Stunden nötig sein, bis sich der Hochspannungsgenerator mit dem 10 Mikrofarad Kondensator auf die 10 kV aufgeladen hat.

Wie ist es aber dann möglich das der Hersteller des Geräts bei einer Stromstärke von 5 Mikroamper eine konstante Spannung von 10 kV, dem Käufer versichert?

b- Wenn man den Kondensator an einem Bandgenerator mit den gegebenen Werten anschließt würde sich das ganze Verfahren nicht viel ändern, wir haben einen Bandgenerator mit einem Radius von 15 cm, dies wäre zu einer Kapazität von
C= 16,68 pF äquivalent sein, Q = CU, so würde man die Ladung in 5 Sekunden als
Q = 0,5004 Mikrocoulomb berechnen, die Stromstärke wäre i= 0,10008 Mikroamper. Dieser Bandgenerator soll einen Kondensator mit einer Kapazität von 10 Mikrofarad aufladen, somit hätten wir die gleichen Bedingungen wie oben, man könnte den Kondensator als eine imaginäre Kugel mit einem bestimmten Radius sich vorstellen, und dies würde dann die Kugel von dem Bandgenerator berühren, wie würden sich die Ladungen verteilen und welchen elektrischen Potential würde der Generator und der Kondensator danach besitzen?
Der 10 Mikrofarad Kondensator würde einer imaginären Kugel mit einem Radius von 89918 Meter äquivalent sein. Da sich das elektrische Potential ausgleichen muss würde man eine Ladungsverteilung von Q1= 0,16695 pC berechnen, der Bandgenerator würde ein elektrisches Potential von U1= 0,0100 Volt pro Sekunde aufweisen, der Kondensator dagegen würde eine Ladung von Q2= 0,10007933 Mikrocoulomb und ein elektrisches Potential von ebenfalls U2= 0,0100 Volt pro Sekunde aufzeigen.

Fazit: Es wären t= 30.000 V/0,010 V/s = 3.000.000 Sekunden = 833,33 Stunden nötig sein, bis sich der Bandgenerator mit dem 10 Mikrofarad Kondensator auf die 30 kV aufgeladen hat.