| Autor |
Nachricht |
MenschDerKeinenHutBesitzt
Anmeldungsdatum: 07.11.2018
Beiträge: 37
|
|
 |
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
|
 TomS Verfasst am: 22. Jun 2020 12:14 Titel: |
 |
|
Beispiel: Ein Teilchen bewege sich i) auf einer Kugeloberfläche oder ii) einer komplizierteren Fläche.
Für (i) die Kugeloberfläche führt man Kugelkoordinaten ein, setzt den Radius r des Ortsvektors des Teilchens gleich dem Kugelradius R
und formuliert die Lagrangefunktion in der verbleibenden zwei Freiheitsgraden = den Winkeln. Fertig.
Alternativ formuliert man die Lagrangefunktion in drei Freiheitsgraden und führt einen zusätzlichen Term
)
 = (x^2 + y^2 + z^2) - R^2)
ein, der die Zwangsbedingung
realisiert.
Für (ii) eine kompliziertere Fläche ist es meist unmöglich, explizite Koordinaten zu finden, die direkt den echten Freiheitsgraden entsprechen; d.h. man kann die Zwangsbedingung C nicht explizit lösen.
Stattdessen bleibt nur der Weg über die Zwangsbedingung C, die die Fläche spezifiziert. Daraus resultieren zum einen Zusatzterme in den Bewegungsgleichungen, zum anderen natürlich die Gleichung
Betrachte statt der Oberfläche einer Kugel die eines Ellipsoids
die die impliziten Abhängigkeiten enthält.
Ein komplizierterer Fall wäre die Bewegung zweier Massenpunkte auf dem Ellipsoiden, wobei die Massenpunkte zusätzlich durch eine masselose, starre Stange verbunden sind. Dafür benötigt man insgesamt drei Zwangsbedingung.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 22. Jun 2020 15:35, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
MenschDerKeinenHutBesitzt
Anmeldungsdatum: 07.11.2018
Beiträge: 37
|
| MenschDerKeinenHutBesitzt Verfasst am: 22. Jun 2020 14:23 Titel: |
|
|
Ich habe die entstandenen Fragen mit a-e) notiert.
Was die Abhängigkeit betrifft, ist also die Tatsache gemeint, dass bspw. bei (i) die  nie isoliert betrachtet werden können, da die Summe der Quadrate von dem Quadrat des Kugelradius entsprechen muss.
a) Verständnisfrage: Bei einer Kreisbewegung in der x-y-Ebene könnte man ja die Zwangsbedingung  wählen:
Dann könnte man diese Zwangsbedingung nicht als =0) schreiben, also ist sie nicht holonom?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Für (ii) eine kompliziertere Fläche ist es meist unmöglich, explizite Koordinaten zu finden, die direkt den echten Freiheitsgraden entsprechen; d.h. man kann die Zwangsbedingung C nicht explizit lösen.
Stattdessen bleibt nur der Weg über die Zwangsbedingung C, die die Fläche spezifiziert. Daraus resultieren zum einen Zusatzterme in den Bewegungsgleichungen, zum anderen natürlich die Gleichung
Betrachte statt der Oberfläche einer Kugel die eines Ellipsoids
die die impliziten Abhängigkeiten enthält.
|
b)
Also beim Ellipsoid wäre =\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} -1 = 0) . Für feste  würden doch den echten Freiheitsgraden entsprechen, wenn man das Problem in kartesischen Koordinaten betrachtet. Oder nicht?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ein komplizierterer Fall wäre die Bewegung zweier Massenpunkte auf dem Ellipsoiden, wobei die Massenpunkte zusätzlich durch eine masselose, starre Stange verbunden sind. Dafür benötigt man insgesamt drei Zwangsbedingung.
|
c)
Seien ,y_{1}(t),z_{1}(t))) der Ortsvektor von Masse 1 und ,y_{2}(t),z_{2}(t)) der Ortsvektor von Masse 2.
Sei  die Länge der Stange.
=\frac{x_{1}^2}{a^2} + \frac{y_{1}^2}{b^2} + \frac{z_{1}^2}{c^2} -1 = 0)
=\frac{x_{2}^2}{a^2} + \frac{y_{2}^2}{b^2} + \frac{z_{2}^2}{c^2} -1 = 0)
=|r_2-r_1|-L=0)
Anm.: Der Betrag bezieht sich auf die eukl. Betragsfunktion.
Auch hier hat man doch drei Freiheitsgrade, da wir zwei Teilchen betrachten, also gibt es 3*2 Koordinaten - 3 Zwangsbed. = 3 Freiheitsgrade.
Entsprechen somit nicht die expliziten Koordinaten den echten Freiheitsgraden?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Für (ii) eine kompliziertere Fläche ist es meist unmöglich, explizite Koordinaten zu finden, die direkt den echten Freiheitsgraden entsprechen; d.h. man kann die Zwangsbedingung C nicht explizit lösen.
Stattdessen bleibt nur der Weg über die Zwangsbedingung C, die die Fläche spezifiziert. Daraus resultieren zum einen Zusatzterme in den Bewegungsgleichungen, zum anderen natürlich die Gleichung
|
Ich habe diesen Teil deiner Antwort leider nicht so ganz verstanden:
d) was meinst du eigentlich genau mit "echten" Freiheitsgrade?
e) Eine Spezifizierung der Fläche als Zwangsbedingung ist ja bspw. bei dem Beispiel (i) gegeben, aber warum sollte für eine beliebige Fläche folgen, und was meinst du mit "Zusatztermen" bei den Bewegungsgleichungen? Welche "Zusatzterme" resultieren denn bspw. in (i)?
Ich hoffe dass ich jetzt nicht zu viele Fragen auf einmal gestellt habe und meine Fragen sinnvoll formuliert sind - für mich ist das Thema noch neu.
Vielen Danke schon mal für deine bisherige Hilfe ! :)
_________________
Eventuell besitze ich demnächst einen Hut, dann ist mein Account-Name natürlich so lange unpassend bis ich den Hut verloren habe oder er mich. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
|
| TomS Verfasst am: 23. Jun 2020 07:35 Titel: |
|
|
Zu a)
Zunächst kannst du z = 0 einfach dadurch implementieren, dass du z nicht verwendest, das Problem also zweidimensional formulierst. Wenn du das nicht möchtest, dann benötigst du
 = z - a)
so dass
festgelegt wird. In deinem Spezialfall wäre natürlich a = 0.
Wenn du mit Kreisbewegung meinst, dass die Bewegung auf dem Kreisrand mit Radius R stattfindet, dann wäre die holonome Zwangsbedingung
 - R^2 = 0)
Wenn du jedoch eine Bewegung im Inneren der Kreisscheibe mit Radius R meinst, dann wäre die Zwangsbedingung
 - R^2 < 0)
nicht-holonom.
Der Grund liegt in der Bedienung mit „<“.
Zu b)
Holonome Zwangsbedingung reduzieren die Anzahl der Freiheitsgrade.
Im Falle der Kugeloberfläche reduzierst du
, (r,\theta,\phi) \stackrel{r = R}{\longrightarrow} (\theta,\phi))
von 3 auf 2 Freiheitsgrade; die Winkel wären die „echten“ Freiheitsgrade.
Im Falle der Oberfläche des Ellipsoiden reduzierst du
, (r,\theta,\phi) \stackrel{C}{\to} (\text{?}))
ebenfalls von 3 auf 2 Freiheitsgrade; die „echten“ Freiheitsgrade kannst du jedoch - zumindest zunächst - nicht explizit angeben; genau deswegen benötigst du ja den Ansatz mittels Lagrangemultiplikatoren.
Zu c)
Evtl. ist es sinnvoller
^2 - L^2 = 0)
zu verwenden.
Deine Zählung ist korrekt:
Zwei Teilchen minus Fixierung auf Oberfläche minus Fixierung des Abstandes entspricht 2 * 3 - 2 - 1 = 3.
Die „echten“ Freiheitsgrade wären also genau drei unabhängige Größen; diese kannst du aber wiederum nicht explizit angeben. In Spezialfällen mag das gehen, z.B wenn sich beide Teilchen auf einer Kugeloberfläche befinden.
Zu d)
Die „echten“ Freiheitsgrade wären diejenigen, in denen sich die Lagrangefunktion ohne weitere Bedingungen direkt formulieren lässt - s.o; bzw. es wären diejenigen, die aus einer expliziten Lösung der Zwangsbedingungen folgen.
Zu e)
Rein mathematisch mag es komplizierte Flächen geben, für die keine Bedingung C = 0 formuliert werden kann. In den o.g. Beispielen ist das jedoch nicht der Fall.
Mit Zusatztermen meine ich folgendes: sei L die Lagrangefunktion des freien Teilchens in drei Dimensionen; sei C eine Zwangsbedingung für eine Fläche, auf der die Bewegung stattfinden soll; seien
_{i = 1,2,3})
Koordinaten, z.B. kartesische, Polarkoordinaten ...
Dann formulierst du das Problem mit Zwangsbedingung mittels der Lagrangefunktion
Wenn du nun die Euler-Lagrange-Gleichungen berechnest, dann erhältst du aus dem C-Term Zusatzterme, die sogenannten Zwangskräfte.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
MenschDerKeinenHutBesitzt
Anmeldungsdatum: 07.11.2018
Beiträge: 37
|
| MenschDerKeinenHutBesitzt Verfasst am: 23. Jun 2020 10:30 Titel: |
|
|
Vielen Dank Tom, das war sehr hilfreich :)
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Zu a)
Im Falle der Oberfläche des Ellipsoiden reduzierst du
|
Wenn ich die Oberfläche vom Ellipsoid in Kugelkoordinaten beschreibe:
=a\cdot \sin \theta (t) \cos \phi (t) , y(t) = b \sin \theta (t) \cos \phi (t) , z(t)=c\cos \theta (t) )
würde ich  als echte Freiheitsgrade ansehen.
Diese sind dann auch zeitabhängig.
_________________
Eventuell besitze ich demnächst einen Hut, dann ist mein Account-Name natürlich so lange unpassend bis ich den Hut verloren habe oder er mich. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
|
| TomS Verfasst am: 23. Jun 2020 21:57 Titel: |
|
|
| MenschDerKeinenHutBesitzt hat Folgendes geschrieben: | | Wenn ich die Oberfläche vom Ellipsoid in Kugelkoordinaten beschreibe würde ich als echte Freiheitsgrade ansehen. |
Das ist richtig, aber trotzdem wirst du den Radius r erst mal nicht los.
Im Falle der Kugel liegt eine Konstante R vor, im Falle des Ellipsoids eine komplizierte Funktion für r in Abhängigkeit von theta und phi. Im Falle des Ellipsoids kannst du diese Funktion sogar explizit angeben - das war von mir sehr verwirrend formuliert - in komplizierteren Fällen jedoch nicht.
Anyway, freut mich, wenn es geholfen hat.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
