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Nachricht |
GroßeKanone
Gast
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 GroßeKanone Verfasst am: 24. März 2020 18:10 Titel: Bosonen und Großkanonische Gesamtheit |
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Meine Frage:
Hallo miteinander,
wieso betrachtet man Bosonen zum Beispiel bei der Herleitung der Bose-Einstein-Verteilung in einem großkanonischen Ensemble? Soweit ich es verstanden habe, ist in einem großkanonischen Ensemble der Austausch von Teilchen mit einem Teilchenreservoir zugelassen. Ist diese Annahme überhaupt realisitsch? Ist es nicht realistischer die Anzahl der Bosonen in einem Festkörper oder einem Bose-Einstein-Kondensat als vorgegeben und konstant zu betrachten? Wie sollen in einem Bose-Einstein-Kondensat weitere Bosonen (z.B. 87Rb) hinzukommen? Was soll hier das Teilchenreservoir dienen?
Besten Dank!
Meine Ideen:
Also... Warum rechnet man im großkanonischen Ensemble und nicht einfach im kanonischen? |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 24. März 2020 20:45 Titel: Re: Bosonen und Großkanonische Gesamtheit |
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| GroßeKanone hat Folgendes geschrieben: |
wieso betrachtet man Bosonen zum Beispiel bei der Herleitung der Bose-Einstein-Verteilung in einem großkanonischen Ensemble? Soweit ich es verstanden habe, ist in einem großkanonischen Ensemble der Austausch von Teilchen mit einem Teilchenreservoir zugelassen. Ist diese Annahme überhaupt realisitsch? Ist es nicht realistischer die Anzahl der Bosonen in einem Festkörper oder einem Bose-Einstein-Kondensat als vorgegeben und konstant zu betrachten? Wie sollen in einem Bose-Einstein-Kondensat weitere Bosonen (z.B. 87Rb) hinzukommen? Was soll hier das Teilchenreservoir dienen?
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Die Vorstellung eines Teilchenreservoirs spielt vor allem bei der klassischen Behandlung der Thermodynamik eine Rolle, wo man a priori davon ausgeht, dass die Anzahl der Teilchen konstant ist. Bei Quantensystemen unterliegt die Anzahl der Teilchen aber auch für ein abgeschlossenes System natürlichen Fluktuationen. Das großkanonische Ensemble trägt dieser Tatsache Rechnung, da man hier nicht von einer festen Teilchenzahl ausgeht, sondern nur von einer mittleren Teilchenzahl. Das großkanonische Ensemble ist daher einfach realistischer. Davon abgesehen ist im großkanonischen Ensemble eine exakte Herleitung der Fermi– und Bose–Verteilung möglich. Dies gelingt im kanonischen nicht. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 25. März 2020 08:33 Titel: Re: Bosonen und Großkanonische Gesamtheit |
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| GroßeKanone hat Folgendes geschrieben: |
Meine Ideen:
Also... Warum rechnet man im großkanonischen Ensemble und nicht einfach im kanonischen? |
Ist es denn einfacher im kanonischen Ensemble zu rechnen? Für ein ideales Bose-Gas mit fester Teilchenzahl N hätte man eine Summe über die Menge aller möglichen Besetzungszahlen  der Energieniveaus  auszuführen und dabei die Nebenbedingung
zu beachten. Dies führt auf die Zustandssumme
 = \sum_{\{n_k\}} \delta(N - \sum_k n_k) e^{-\beta\sum_k \epsilon_k n_k} \qquad\text{(KE)})
Im Gegensatz dazu bildet man für die Großkanonische Zustandssumme
 = \sum_N z^N Z(\beta, N))
die Summe über alle N über eine beschränkte Summe zu festem N. In der Gesamtsumme fällt die Beschränkung also weg und man muß lediglich
=\prod_k\sum_{n_k} \left(ze^{-\beta \epsilon_k}\right)^{n_k})
berechnen, was deutlich einfacher ist. Physikalisch kann man dieses Vorgehen normalerweise dadurch rechtfertigen, daß die relativen Schwankungen der Teilchenzahl im thermodynamischen Grenzwert verschwinden. Dummerweise ist das für Bosonen nicht immer der Fall, sondern nur unter der Bedingung kleiner mittlerer Besetzungszahlen. (Man kann jedenfalls z.B. Bose-Einstein-Kondensation auch im kanonischen Ensemble behandeln. Ob hier der mögliche Austausch mit einem Teilchenreservoir bei  einen physikalischen Unterschied macht, weiß ich nicht.)
Allgemeine Bemerkungen zum Großkanonischen Ensemble
Die Überlegungen, die auf das Großkanonische Ensemble führen, lassen sich im allgemeinen nur rechtfertigen, wenn die Teilchenzahl eine Erhaltungsgröße ist. Im Gleichgewicht wird dann die Entropie maximal unter der Nebenbedingung
})
Dies führt dazu, daß die mittlere Teilchenzahl eine unabhängige thermodynamische Größe ist. Im Gleichgewicht führt die Änderung der Teilchenzahl zu einer Änderung der Besetzungswahrscheinlichkeiten  über den Wert des chemischen Potentials  .
Wenn die Teilchenzahl hingegen nicht erhalten ist, wie z.B. beim Photonengas, gibt es die Nebenbedingung (N) nicht. Mit anderen Worten  und die Besetzungswahrscheinlichkeiten sind unabhängig von N. In diesem Fall führt das Großkanonische Ensemble zurück auf das Kanonische Ensemble. Das bedeutet in der Zustandssumme (KE) fällt die Beschränkung auf ein fixes N weg und man summiert einfach unabhängig über alle 
 = \sum_{\{n_k\}}\left(e^{-\beta \epsilon_k}\right)^{n_k}) ,
was dasselbe liefert wie die großkanonische Zustandssume für z=1.
Anders als im großkanonischen Ensemble mit nichtverschwindendem chemischen Potential ist also für ein Photonengas die Teilchenzahl keine unabhängige Größe, sondern z.B. durch die Gleichgewichtswerte von Temperatur und Volumen bestimmt. |
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