Schwerpunkt berechnen - 3 Kugeln in einer Reihe

wing-ole · Anmeldungsdatum: 08.02.2020 Beiträge: 1

Meine Frage:
Guten Tag liebe Forumsmitglieder,

ich stehe vor folgender Aufgabe und komme nicht weiter.

Drei Kugeln mit einem Radius von jeweils r, 2r und 3r liegen wie in der oberen Skizze gezeichnet mit den Mittelpunkten auf einer Linie direkt nebeneinander. Sie bestehen alle aus dem gleichen homogenen Material. Wo liegt der Schwerpunkt dieser Anordnung?

Also die 3 Kugeln liegen einfach nebeneinander auf einer Verbindungsachse durch die jeweiligen Mittelpunkte.

Meine Ideen:
Laut meinem "Wissen" müsste der Schwerpunkt doch genau dort liegen wo die Gesamtheit der anliegenden Drehmomente = 0 ist, oder? Also T1+T2=0. Nun berechnet sich das Drehmoment ja aus der Masse & der anliegenden vertikalen Kraft, in dem Fall die Gravitationskraft m*g.

Insofern meine Annahme überhaupt richtig ist, weiß ich einfach nicht wie ich jetzt weiterkomme.

Das Ergebnis muss schlussendlich 7,67 r von linker Kante aus sein.

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18046

Also zunächst sehe ich keine Skizze.

Dann: der Schwerpunkt - besser: Massenmittelpunkt - berechnet sich gemäß des Volumenintegrals

wobei M für die Gesamtmasse und V für das jeweilige Volumen des Körpers steht.

Für disjunkte Kugeln resultiert daraus eine Summe über einzelne Integrale je n-ter Kugel

Und jedes dieser einzelnen Integrale liefert gerade den Schwerpunkt der jeweiligen n-ten Kugel ...

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Hi,

dein Ansatz ist doch schon mal sehr gut. Am besten legst du den Schwerpunkt dann mal in der Skizze an irgendeiner Stelle; zum Beispiel links vom Mittelpunkt der 3r-Kugel und vergibst den Abstand des Schwerpunkts vom Mittelpunkt einen Namen, z.B. d. Und jetzt einfach die Gleichung für das Drehmoment anwenden.

Vielleicht noch ein Tipp: die Rechnung wird etwas übersichtlicher, wenn man der Gewichtskraft der r-Kugel die Einheitskraft F zuordnet. Da die Masse einer Kugel proportional zur r³ ist, sind die Gewichtskräfte der 2r- und 3r-Kugel 8F und 27F.

Die Drehmomentgleichung sind dann so aus:

d*27F= (??)*8F + (??)*1F

Die Fragezeichen musst du rausfinden....

Nils