Zwillingsparadoxon Spezielle Relativitätstheorie

FATTOMCAT · Anmeldungsdatum: 03.01.2020 Beiträge: 5

Meine Frage:
Ich schreibe gerade einen Aufsatz zur Relativitätstheorie.
Die Formeln sind mir so weit schlüssig, allerdings habe ich gerade ein kleines Verständnissproblem zu dem Zwillingsparadoxon.
Es wird ja allgemein angenommen, dass eine mit hoher Geschwindigkeit gereiste Person mit einem geringeren Alter wiederkehrt als sein Zwilling, der auf der Erde geblieben ist.
Wenn man ein Minkowskidiagramm zeichnet scheint diese Aussage auch zu stimmen. Allerdings komm ich durch anwendung der Lorentztransformation der Zeit auf ein anderes Ergebnis.

Meine Ideen:
Ich habe als Formel für die in t' verstrichene Zeit folgendes gefunden.
[latex]
t' = \frac{t-xv}{\sqrt{1-v^2}}
[\latex]
Wobei Einheiten so gewählt sind, dass c=1.

(Das Vorzeichen der Geschwindigkeit ist in den meisten Quellen umgekehrt, das liegt daran, dass meistens t(t') dargestellt ist. Hier ist es t'(t).
Dies hat allerdings keine auswirkungen auf das Folgende.)

Anschliesend habe ich eine Tabelle angelegt die verschidenen Momente der Reise darstellt:
Im Folgenden ist L der Lorentzfaktor

Ruhe : x=0 v=+0.0 t=0 t'=0
Start : x=0 v=+0.5 t=0 t'=0
Ende : x=1 v=+0.5 t=2 t'=(2-0.5)*L
Wende : x=1 v=-0.5 t=2 t'=(2+0.5)*L
Ende : x=0 v=-0.5 t=4 t'=(4-0)*L
Stop : x=0 v=+0.0 t=4 t'=4

Ich gehe hier von einem plötzlichen Wechsel des Bezugssystems aus.
Bei dieser Tabelle lässt sich erkennen, dass die Zeit t am ende mit der Zeit t' übereinstimmt.
Ich habe bereits in erwägung gezogen, dass die Vorgeschichte relevant für die Betrachtung ist. Allerdings habe ich diesen Gedanken wieder verworfen denn Einstein selbst sprach in einer der Vier Vorlesungen von Princeton davon, dass die Vorgeschichte eines Körpers keine Rolle spielen dürfe.
Ich frage mich wo der Fehler in meiner Überlegung liegt / ob ich die Lorentztransformationen richtig angewandt habe.

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 296

Du verwendest hier die Formel der Lorentz-transformierten Zeitkoordinate. Das entspricht nicht der verstrichenen Zeit in diesem System sondern nur der Transformation eines einzelnen Zeitpunkts.

Um die verstrichene Zeit des bewegten Zwillings zu berechnen, ist es am einfachsten das Längenquadrat seiner Raumzeitkurve

zu berechnen. Dieses

berechnest du in dem System des ruhenden Zwillings (einfach für die beiden Abschnitte der Reise berechnen und addieren ). Da s per Definition Lorentzinvariant ist, gilt s=s'. Für den bewegten Zwilling der sich in seinem System immer am Ort x'=0 befindet entspricht

dann der für ihn vergangenen Zeit.

FATTOMCAT · Anmeldungsdatum: 03.01.2020 Beiträge: 5

Vielen Dank für die Antwort, das hat mir wirklich sehr geholfen.
Das bedeutet also, dass der letzte Eintrag in meiner "Tabelle" nicht aussagt, dass die vergangenen Zeiten gleich groß sind. Sondern, dass beide die Ankunft gleichzeitig Wahrnehmen.

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 296