Born, Bohm, Everett - pragmatisch, realistisch, abgefahren?

Cuby · Anmeldungsdatum: 21.11.2019 Beiträge: 29

Hallo,
ich habe die Aufgabe übernommen, einen vergleichenden Vortrag mit anschließender Diskussion über die drei Varianten der QM zu halten. Da ich kein Physiker bin (aber Grundkenntnisse in Diff.- & Integral-Rchg. habe), legte ich zunächst keinen großen Wert auf den mathematischen Formalismus, aber je tiefer ich mich einarbeitete, desto faszinierender, aber auch verwirrender fand ich die manchmal sogar verzweifelten Versuche, die Quantenwelt und ihren Formalismus zu verstehen, weshalb ich es hier zum Thema machen und mehr darüber erfahren möchte.
Ich bin zu folgendem „Überblick“ über die QM-en gekommen:
[Hier sollte eigentlich eine Tabelle stehen - but how to do?]

Wird eine Messung an einem präparierten QM-System durchgeführt, ist die Wahrscheinlichkeit, den Messwert a zu erhalten, gegeben durch die Born’sche Regel

, die nach eigenem Bekunden Borns in seiner Nobelpreisrede durch Analogieschluss aus Einsteins Lichtquantenhypothese entwickelt wurde;
=> theoretisch unbegründet aber gerechtfertigt durch Messresultate.

=> Das Problem: Unter der Dynamik der linearen Schrödinger-Gleichung sollte das Messgerät ebenfalls einen Überlagerungszustand und keinen Eigenzustand annehmen. Tatsächlich ist eine Überlagerung makroskopisch verschiedener Zustände empirisch nicht beobachtet worden. Dieses Problem ist formuliert in

Maudlins Trilemma, das folgende Postulate umfasst:

1. Die Quantenmechanik wird vollständig durch die ψ-Fkt. (Schrödinger-Glg.) beschrieben.
2. Die zeitliche Dynamik folgt der linearen, kontinuierlichen ψ-Fkt. in Form von Superpositionszuständen.
3. Die daraus erhaltenen Resultate sind definit und diskret.

Diese Postulate können nicht widerspruchsfrei alle drei zutreffen, eines muss abgelehnt werden.

A) Lösung 1: Ablehnung von (2) Kopenhagener Interpretation (KI)

- Der kontinuierlichen, deterministischen und zeitlich-reversiblen unitären Zeitentwicklung des Vektors |Ψ⟩ wird ein zweiter Formalismus hinzugefügt: eine spontane, diskontinuierliche, indeterministische und zeitlich-irreversible Zeitentwicklung von |Ψ⟩ auf einen Eigenvektor |Ψi⟩ bei einer Messung von Ô mit dem Messwert ai. Das ist die Projektion bzw. der Kollaps mit der objektiven Wahrscheinlichkeitsdichte

gemäß der Bornschen Regel.
- Strenge Trennung von QM-System & klassisch zu beschreibendem Messgerät (Heisenberg-Schnitt)

=> Das Problem: je nachdem, ob in der Bornschen Formulierung der Ausdruck „bei einer Messung“ akzentuiert wird, man ihm also wesentliche Bedeutung zumisst, oder ob auf ihn verzichtet werden kann, ergibt sich ein völlig anderes Realitätsbild:

Wird der Ausdruck nicht akzentuiert kann man realistisch interpretieren, dass dem quantenphysikalischen System sämtliche Eigenschaften zu jeder Zeit zukommen und dass es sich deterministisch entwickelt. Dann aber ist die Standard-Quantenmechanik unvollständig, da ontologisch offenbar mehr vorliegt, als epistemisch bestimmt werden kann, so dass sie durch verborgene Parameter ergänzt werden muss.

Wird der Ausdruck hingegen akzentuiert, lässt das formal die Auffassung zu, dass das mikroskopische Quantensystem in der Regel keineswegs schon zeitlich vor der Messung von Ô die entsprechende Eigenschaft ai hätte, sondern dass sie erst durch den Messakt sozusagen aus dem Hilbertraum extrahiert und zugeordnet wird; verallgemeinert heißt das, dass erst durch die Messung die Realität aus der Möglichkeit der Überlagerung in die Wirklichkeit gebracht wird.

B) Lösung 2: Ablehnung von (1): Bohm’sche QM

- Die QM ist unvollständig. Der Schrödinger-Glg. wird die zusätzliche Bewegungs-Glg.

der Teilchen hinzugefügt, so dass das System aus einem ψ-Führungsfeld (mit Phase S) und den klassischen Teilchen mi besteht: die Teilchen vollziehen die Dynamik und das über die Phase S gekoppelte Feld führt die Teilchen, die durch Anfangsort Q0 und Anfangszustand ψ0 als Bohmsche (nicht Newtonsche!) Trajektorie festgelegt ist: ein einmal

-verteiltes System bleibt erhalten (Q-Glg.-Hypothese, Konti-Glg.) mit der Konsequenz, dass:

- Bei der Durchführung eines Experiments zur Messung von z. B. der Spinkomponente der Ausgang durch die Wellenfunktion und den Anfangsort festgelegt wird. Die gemessenen Eigenschaften kommen dem Objekt somit intrinsisch zu.

Frage: Gibt es noch immer keine Möglichkeit, den Unterschied empirisch zu verifizieren?

- Die Wellenfunktion repräsentiert nicht eine Wahrscheinlichkeitsamplitude, sondern ein Potential, die die Bahn des quantenmechanischen Teilchens bestimmt.

F: Woran lässt sich das formal erkennen?

- Die hermiteschen Operatoren der üblichen Quantenmechanik spielen in der Bohmschen Mechanik keine fundamentale Rolle, sondern treten als mathematische Objekte auf, die Wahrscheinlichkeitsverteilungen kodieren.

F: Den Unterschied verstehe ich nicht ganz.

C) Lösung 3: Ablehnung von (3): Everetts VWI
- Das Messgerät (der Beobachter) wird als Teil des Q-Systems in den Vorgang integriert und befindet sich ebenfalls in der Überlagerung. Der Messakt (allg.: die Wechselwirkung) bringt die Wellenfunktion dazu, in makroskopisch getrennte (disjunkte) Zweige zu dekohärieren, die praktisch nicht mehr miteinander wechselwirken. Das Kollaps-Postulat ist überflüssig.
- Die Messung wird somit als spezielle Art der Interaktion zweier Quantensysteme behandelt und ist damit von den Axiomen her nicht mehr ausgezeichnet. Die Verzweigungen sind keine räumlich getrennten Welten, sondern getrennte relative Zustände im jeweiligen Hilbertraum, wobei kein Element der Überlagerung ignoriert, sondern jedes mögliche Messergebnis im eigenen Zweig realisiert wird.
- Die VWI enthält keinen Kollaps und erklärt dessen angebliches Erscheinen mit dem Mechanismus der Quanten-Dekohärenz, was die QM-Paradoxa wie EPR oder Schrödingers Katze erklärt, da jedes mögliche Resultat eines Ereignisses in seiner eigenen Historie des Zweiges definiert ist und tatsächlich existiert. In jedem Element der Superposition ist der Beobachterzustand mit dem entsprechenden Zustand des Systems korreliert.

- Ich verstehe die VWI so, dass „die Welt“ nicht vervielfacht, sondern aufgespalten wird. Jede Wechselwirkung führt in einen separierten (?) relativen Zustand, vllt. ähnlich der Kopenhagener „Extraktion“ mit dem Unterschied, dass die restlichen „Möglichkeiten resp. Wahrscheinlichkeiten“ nicht zu Null kollabieren, sondern in den Zweigen real fortbestehen.

F: Das kommt mir noch etwas abenteuerlich vor, obwohl offensichtlich viele daran glauben! Welche Stringenz führt zu dieser Auffassung?

Das wäre jetzt (kompakt) mein Verständnis dieser drei Theorien mit ein paar Verständnisfragen. Sind die o.a. QM-en im Prinzip soweit richtig wiedergegeben?

Dann möchte ich jetzt gerne am Beispiel des DS-Experimentes fortfahren.

1) Welche Unterschiede & Gemeinsamkeiten ergeben sich, wenn man mit den Varianten A-C ein DS-Experiment durchführt? Wie sähe das in einer mathematischen Formulierung aus?

ad A (KI): das Teilchen stößt auf den DS, „verwandelt“ sich in eine Welle, interferiert mit sich selbst, „verwandelt“ sich wieder in ein Teilchen und hinterlässt eine Markierung am D-Schirm. Oder: ein Teilchen kann an zwei Orten gleichzeitig sein und zudem mit sich selbst interferieren.
Frage: Welcher allgemeine Formalismus gilt vor und nach der Messung?

ad B (BM): das Teilchen folgt der durch die ergänzte Schrödingergleichung festgeschriebenen Bahn. Die ψ-Fkt. repräsentiert hier keine Wahrscheinlichkeitsamplitude, sondern ein Potential, das die Bahn des quantenmechanischen Teilchens bestimmt. Da die Bohmschen Trajektorien sich nicht schneiden, gelangt kein Teilchen an Stellen, an denen die Wellenfunktion durch destruktive Interferenz verschwindet.
Frage: Formalismus

ad C (VWI): Messprozess & Wechselwirkungsprozess unterscheiden sich prinzipiell nicht; bei jedem dynamischen Prozess gelangt ein Zweig in die reale Wirklichkeit, während alle anderen in die verborgene Wirklichkeit gehen. Messungen scheinen bei Everett nur einen definiten Ausgang zu haben, während tatsächlich die Wellenfunktion (mit ihren Überlagerungszuständen) die vollständige Beschreibung darstellt.

F: Hier erkenne ich wohl Intention und Konzept, mir ist aber nicht klar, was bzgl. der Messungen gemeint ist.

2) Welche Bedeutung haben mathematischen Entitäten in den Varianten A-C?

Hier würde ich gern eine tabellarische Übersicht der von den Theorien zugeschriebenen Eigenschaften der mathematischen Terme anfertigen zB. ψ(Bohm) = physikalisches Feld, ψ(KI) = W-Amplitude. Wäre das sinnvoll oder zu überambitioniert?

Fragen zum Grundverständnis:
Vorab: Ist es richtig, dass weder die Schrödinger-Glg. noch das Bornsche Postulat streng hergeleitet wurden, sondern aus pragmatischen Gründen auch mit viel Intuition im Hinblick auf das Resultat mehr oder weniger zugeschnitten wurden?

3) Wie ist es zu erklären, dass diese drei Varianten der QM, (die für meinen Geschmack etwas abstruse KI, die mir relativ klare & anschauliche BM und die etwas abgefahrene VWI) zu den gleichen Resultaten kommen, obwohl sie unter den maßgeblichen Entitäten tw. Gegensätzliches verstehen? Was macht sie alle drei gewissermaßen „richtig“? Nur das Resultat? Die Fokussierung auf Born’s Postulat? Spielt es doch keine Rolle, „ob wir von der Existenz einer vektorwertigen Funktion x(t) sprechen, oder ob wir von der Existenz einer Masse reden, deren Bewegung wir mittels einer vektorwertigen Funktion x(t) beschreiben“ (wie ich hier irgendwo gelesen habe), wenn es doch nur auf das Resultat ankommt?

4) Soweit ich sehe, sind alle Variationen der Quantentheorie Variationen der Schrödinger-Glg.. Sie und die Superposition scheinen das unumstößliche Fundament zu sein, obwohl sie nicht streng hergeleitet wurde, wie Schrödinger selbst äußerte.

Mir stößt in diesem Zus.-hang immer wieder das m.E. problematische Begriffspaar „Möglichkeit & Wirklichkeit“ auf. Man kann durchaus der Auffassung sein, dass mathematische Formalismen per sé nur Möglichkeiten darstellen, die durch konkrete Randbedingungen dann realisiert werden. Aber die Möglichkeit, einen freien Fall so einzurichten, dass ich mit der konkreten Geschwindigkeit vi auf den Boden aufschlage ist doch etwas anderes als diese „virtuellen Zustands-Schwebungen“ und auch die Wurfparabel als Überlagerung hat etwas "Anschauliches". Auf der anderen Seite scheint aber die ψ-Fkt. allen Falsifikationen zu trotzen – ist mir irgendwie unbegreiflich - nein, eher philosophisch unbefriedigend.

Wenn ich mal über den Rand schaue: Die Allgemeine Relativitätstheorie ist nicht-linear, dynamisch-chaotische Prozesse sind nicht-linear, unser Gehirn arbeitet nicht-linear – es sieht so aus, als sei die Natur selbst nicht-linear und damit – wenn ich es recht verstanden habe – eben nicht superpositional! Diese Nichtlinearität scheint mir das Fundamentale der Natur zu sein!

Dennoch kommt mir Naivling die Bohmsche QM noch am attraktivsten, weil am anschaulichsten vor - vorerst!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Hallo Cuby, zunächst mal herzlich willkommen im Forum - und meine Hochachtung zu deinem beachtenswerten Beitrag zum Einstieg. Viel Spaß bei uns im Forum!

Die Entwicklung des Themas anhand des Maudlin-Trilemmas ist dir m.E. sehr gut gelungen.

Bevor wir tiefer in die Diskussion einsteigen, zunächst ein paar Anmerkungen, Präzisierungen oder Nachfragen.

Zu A)

Cuby · Anmeldungsdatum: 21.11.2019 Beiträge: 29

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Cuby · Anmeldungsdatum: 21.11.2019 Beiträge: 29

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

So, bzgl. einiger Punkte sind wir auf der Zielgeraden.

„Realistische Auffassung“ verstehe ich immer so, dass der Formalismus die Realität *) in gewissen Aspekten „treu repräsentiert“.

Das kann man nun auf alle mögliche Formalismen anwenden:

1) beim Kollaps / KI läuft man m.E. in einen offensichtlich Widerspruch - s.o.
2) im Rahmen der Bohmschen Quantenmechanik würden Teilchen und Wellenfunktion die Realität *) beschrieben
3) im Falle der Everettschen Auffassung moderner Prägung würde der Zustandsvektor inkl. der Verzweigung die Realität *) beschrieben; weitere Eigenschaften wie Zweige, Messwerte je Zweig etc. wären emergente Elemente der Realität

*) „Realität“ bedeutet immer „Realität ohne bzw. unabhängig von Messung oder Beobachtung“.

Was du mit dem Skalarprodukt sagen möchtest ist mir unklar.

Bzgl. der „... reellen Eigenwerte selbstadjungierter bzw. hermitescher Operatoren, Ô|A⟩ = λ|A⟩, die man auch als Observable auffasst“ hast du völlig recht.

Kriterien für real existierende und den Quantenobjekten zukommende Eigenschaften sind schwierig. Ich halte z.B. wenig davon, Eigenwerte von selbstadjungierten Operatoren als Eigenschaften von Teilchen aufzufassen - nicht nur, weil dies im Falle mehrerer Operatoren i.A. nicht funktioniert, sondern weil „Teilchen“ bereits eine zumeist unzutreffende Interpretation ist.

Mit der „epistemische Interpretation moderner Prägung“ meine ich keinen speziellen Formalismus sondern eine präzise und tatsächlich rein epistemische Interpretation - s.o. den QBism. Bei „Kopenhagen“ ging m.M.n. viel durcheinander.

Cuby · Anmeldungsdatum: 21.11.2019 Beiträge: 29

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Fangen wir von hinten an: nein, den Hazelburn gab‘s ohne besonderen Anlass zusammen mit ein paar Freunden. Single Malt Whiskies sind ein großes Hobby ...

Zu den Fragen der Interpretation später mehr.

Zum Spin: der vektor-wertige Spinoperator besteht - als Vektor - aus drei Komponenten; diese entsprechen im wesentlichen den Pauli-Matrizen. Wenn du der i-ten Spinkomponente einen scharfen Wert zuweisen willst, dann muss die spinor-wertige Wellenfunktion eine Eigenfunktion zu diesem i-ten Spinoperator sein. Die drei Pauli-Matrizen haben jedoch nicht-verschwindende Kommutatoren, woraus folgt, dass es keine gemeinsame Eigenfunktion gibt. Andersherum: wenn z.B. für i = 3 eine Eigenfunktion vorliegt, der Spin also sicher in 3-Richtung zeigt, dann kann diese Eigenfunktion nicht auch Eigenfunktion zu i = 1 oder 2 sein. Demnach liegen für i =1 oder 2 keine Eigenwerte vor.

Cuby · Anmeldungsdatum: 21.11.2019 Beiträge: 29

Ein kurzes Fazit. Ich versuche mal, den 1. Teil bis hierher zusammenzufassen:

Das Maudlinsche Trilemma erlaubt eine Einordnung der o.a. unterschiedlichen QM-Interpretations-Varianten in Bezug darauf, welche Bedeutung der Schrödinger-Glg. zugemessen wird.

Da einige Terme (Schrödinger-Glg, Bornsche Regel) zwar mathematisch konsistent, aber ihr Zus.-hang & Bezug zur Realität bzw. zu einer Messung und auch ihre theoretische Begründung unklar ist, muss interpretiert werden.

Die Interpretation bzw. die realistische oder nicht-realistische Auffassung einer Variante richtet sich insbesondere nach bestimmten philosophischen Annahmen & Voraussetzungen.

Def.: "Als „realistische Auffassung“ wird hier verstanden, dass der Formalismus die Realität in gewissen Aspekten „treu repräsentiert“ wobei „Realität“ immer als „Realität ohne bzw. unabhängig von Messung oder Beobachtung“ gedeutet wird."

Daraus ergibt sich u.a. die Frage, wer warum welchem mathematischen Term (zB der ψ-Fkt.) Realitätscharakter zuweist bzw. welche Rolle Observable für den Erkenntnisprozess spielen. Gibt es dafür – wider allem Anschein - strenge Kriterien?
- *** -

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Cuby · Anmeldungsdatum: 21.11.2019 Beiträge: 29

Ich würd mich gern nochmal im Formalismus üben:

Geg (1) das zu messende Quantensystem (S), und (2) das Messgerät (M), das mit dem Quantensystem in Mess-Wechselwirkung steht und schließlich durch ein Signal Auskunft über den Zustand von S gibt.
1. Der Anfangszustand des Quantensystems S sei eine Superposition ψ bezüglich der Eigenschaften {si}, die von M gemessen werden sollen:

Das Messgerät M selbst ist zunächst in einem neutralen Anfangszustand |φo〉M und nimmt die Zustände |φi〉M ein, wenn S im Zustand |si〉S ist. Die Alternativen {φi} entsprechen den verschiedenen Zeigerstellungen. Dann ist der Anfangszustand des Gesamtsystems:

2. Nun ﬁndet eine Wechselwirkung zwischen dem Quantensystem S und dem Messgerät statt, sodass der Zustand des Messgeräts (die Zeigerstellung) mit dem Zustand des Quantensystems korreliert ist. Quantensystem und Messgerät bilden einen gemeinsamen, verschränkten Zustand:

3. Nach den Postulaten der orthodoxen Quantenmechanik kommt es nun zu einer Reduktion des Quantenzustandes in den Zustand k und zwar mit der Wahrscheinlichkeit

:

Während der erste Schritt – durch die Wechselwirkung wird der Gesamtzustand von Quantenssytem und Messgerät verschränkt – im Rahmen der Quantentheorie leicht durch eine Schrödinger-Gleichung beschrieben werden kann, ist eine Beschreibung des zweiten Schritts – die Reduktion des Zustands – durch eine Schrödinger-Gleichung nicht möglich. Das wird schon alleine daran oﬀensichtlich, dass der zweite Schritt ein stochastischer ist, während die Schrödinger-Gleichung deterministisch ist.
Wäre das korrekt dargestellt?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Hab‘ deine Formeln ein wenig aufgeräumt ;-)

Ja, formal ist alles in Ordnung.

Bei 3. sollte „nach den Postulaten der orthodoxen Quantenmechanik ...“ stehen.

Cuby · Anmeldungsdatum: 21.11.2019 Beiträge: 29

Cuby · Anmeldungsdatum: 21.11.2019 Beiträge: 29

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Cuby · Anmeldungsdatum: 21.11.2019 Beiträge: 29

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Gehen wir die Punkte mal der Reihe nach an.

Cuby · Anmeldungsdatum: 21.11.2019 Beiträge: 29

Cuby · Anmeldungsdatum: 21.11.2019 Beiträge: 29

Ich habe mir das Wahrsch.-Theorem nochmal angesehen und ich glaube, auch ein bisschen besser verstanden.

a) Der Zustand eines quantenmechanischen Systems wird durch einen Vektor ψ ∈ H in einem Hilbertraum H repräsentiert.

b) Eine beobachtbare Größe oder Observable eines quantenmechanischen Systems wird durch einen selbstadjungierten Operator Ô im Hilbertraum H repräsentiert.

c) Die Menge aller möglichen Messergebnisse einer Observablen Ô wird durch das Spektrum σ(Ô) ⊆ R repräsentiert.

Mathematisch wichtiger Unterschied zur KM: einem zB klassischen Feld/Trajektorie wird jedem Punkt ein Wert zugeschrieben, einem quantenmechanischen aber eine „Superposition“ verschiedener Eigenzustände der zu messenden Observablen.

=> Die Quantenmechanik sagt das Messergebnis nicht exakt voraus, sondern gibt über die Bornsche Regel nur Wahrscheinlichkeiten dafür an, dass das Messergebnis in eine vorgegebene (messbare) Teilmenge des Spektrums σ (einer Superposition verschiedener Eigenzustände einer Observablen Ô) fällt und durch den Messakt zufällig ausgewählt wird.

Cuby · Anmeldungsdatum: 21.11.2019 Beiträge: 29

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Fangen wir mit dem letzten Beitrag an:

Zu 1.
Ein normierter Raum ist ein Prä-Hilbertraum, ein separabler normierter Raum ein Banachraum; du benötigst jedoch noch ein Skalarprodukt und damit einen separablen Hilbertraum.

Die Superposition wird erzwungen durch die Schrödingergleichung: da die Schrödingergleichung eine lineare Gleichung ist, sind Superpositionen immer zulässig, du kannst sie nicht ausschließen. Außerdem ist die Frage, ob eine Superposition vorliegt, einzig von der Wahl der Basis abhängig.

Zu 2.
In einem System mehrerer ununterscheidbarer Teilchen muss das System unter Austausch von Teilchen symmetrisch oder antisymmetrisch sein; d.h. ein Zustand muss unabhängig davon sein, ob Teilchen 1 Zustand a und Teilchen 2 Zustand b einnimmt, oder ob umgekehrt Teilchen 1 Zustand b und Teilchen 2 Zustand a einnimmt. Dies wird für zwei Teilchen realisiert mittels

Das Vorzeichen plus/minus gilt für Bosonen/Fermionen.

Zu 3.

Die letzte Gleichung wird durch den o.g. Zeitentwicklungsoperator U(t) formal gelöst.

Zu 4.
Neben der formalen Definition von Selbstadjungiertheit hat jeder derartige Operator A die wesentliche Eigenschaft, dass er ein ausschließlich reelles Spektrum hat, das Messwerte repräsentieren kann.

Zu 5.
Vergiss das Thema diskretes vs. kontinuierliches Spektrum, nicht-beschränkte Operatoren, Resolvente usw.; das ist mathematisch recht kompliziert und führt uns hier zu keinerlei neuen Erkenntnissen. Betrachten wir beschränkte Operatoren bzw. noch einfacher einen endlich-dimensionalen Hilbertraum.

In diesem Fall entspricht das Spektrum der Gesamtheit der Eigenwerte a, d.h. der Gesamtheit aller Zahlen a, für die eine Lösung der Gleichung

existiert:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Spectral_theory
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Spectrum_(functional_analysis)
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Decomposition_of_spectrum_(functional_analysis)

Cuby · Anmeldungsdatum: 21.11.2019 Beiträge: 29

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

du hast recht

Cuby · Anmeldungsdatum: 21.11.2019 Beiträge: 29

Cuby · Anmeldungsdatum: 21.11.2019 Beiträge: 29

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Schwierig.

Wenn man die ART und die QM vergleicht, so hat man bei ersterer den Vorteil, dass man zumindest teilweise beim etablierten Weltbild bleiben kann: klassische Objekte - Materie- bzw. Energieansammlungen - sind Teile der Realität, sind lokalisierbar und tragen lokale Eigenschaften.

Das funktioniert bei der QM nicht mehr. Demzufolge ist es konsequent, dass dieser klassische Objektbegriff auch nicht in den mathematischen Formalismus übertragen wird bzw. übertragen werden kann. Man erkennt dabei übrigens den unvollständigen Schritt der Bohmschen Mechanik, die zwar wieder klassische Teilchen einführt, diesen jedoch nicht alle relevanten Eigenschaften zuschreiben kann, sondern das Quanten- bzw. Führungsfeld weiterhin als Träger von Eigenschaften benötigt. Siehe z.B. für den Spin:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/De_Broglie%E2%80%93Bohm_theory#Spin

Anders gefragt: welcher mathematischen Entität können wir denn einen Bezug zur Realität zusprechen, wenn nicht einer bekannten? wenn nicht den bekannten Entitäten, welchen dann?

Das hieße in letzter Konsequenz, dass du eine weitere, vollkommen neuartige mathematische Entität benutzen müsstest, um einerseits den Formalismus und die Ergebnisse der QM rekonstruieren zu können und andererseits eine dir genehme Ontologie zu konstruieren.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Cuby · Anmeldungsdatum: 21.11.2019 Beiträge: 29

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Cuby · Anmeldungsdatum: 21.11.2019 Beiträge: 29

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Cuby · Anmeldungsdatum: 21.11.2019 Beiträge: 29

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Cuby · Anmeldungsdatum: 21.11.2019 Beiträge: 29

Cuby · Anmeldungsdatum: 21.11.2019 Beiträge: 29

Hallo Tom, anbei der erste Entwurf bzgl. der KM. Ich habe hierbei nicht die Leitfragen zugrunde gelegt, weil es m.e. wenig Sinn macht; vielmehr wollte ich die grundsätzliche Semantik und den Formalismus herausstellen.
Aus der Intuition heraus ist, glaube ich, noch einiges zu präzisieren.
Zudem möchte ich noch Lagrange-Formalismus und Hamilton-Prinzip anschließen. Aber step by step.

DIE KLASSISCHE MECHANIK

A) Allgemeine Charakterisierung

1. Historisch ist sie die Synthese des mechanisch-physikalischen Wissens ihrer Zeit.

2. Methodisch ist sie die vollständige Mathematisierung der Physik in Form eines auf drei Axiomen beruhenden deduktiven Systems, aus dem die Lösungen mechanischer Probleme abgeleitet werden können. Die Axiome ihrerseits werden aus dem vorliegenden empirisch gewonnenen Datenbestand induktiv hergeleitet.

3. Philosophisch ist sie die Grundlage für das Mechanistische Paradigma (Weltbild).

B) Theorien-Hintergrund

1. Der absolute unbewegliche Raum, damit die Bewegung eines Systems als beschleunigt bzw. gradlinig gleichförmig definiert werden kann. Trägheitskräfte werden durch den absoluten Raum hervorgerufen „Beweis“: Newtons Eimer.

2. Die absolute gleichförmig fließende Zeit, damit die Bewegung eines Systems als gleichförmig definiert werden kann.

=> Absoluter Raum & Absolute Zeit gehen den Dingen ontologisch voran (ontologisches Primat).

3. Der relative gewöhnliche Raum.

4. Die relative scheinbare und gewöhnliche Zeit.

=> Relativer Raum und Relative Zeit dienen der Festlegung von Koordinaten- bzw. Bezugssystemen.

C) Grundannahmen, Grundbegriffe: Newton‘sches Axiomensystem

1. Der Trägheitssatz ... definiert das Inertialsystem

2.

... stellt die Verbindung der Grundgrößen her.

3.

... repräsentiert Wechselwirkung, actio = reactio.

4.

... schreibt vektorielle Addition der Kräfte vor (später zugefügt).

D) Zuordnung und Definitionen, Messung

1. Natürliche beobachtete Entitäten: Kräfte, Örter, Bewegung // Zeit, Gegenstände

2. Mathematische Entitäten: Vektoren (

) // Skalare (

)

3. Physikalische Größe, verbunden zum empirischen Grundgesetz nebst Definitionen:

Kraft

; Beschleunigung

; Geschwindigkeit

;

=> Eine natürliche Entität wird qua Zuordnung einer geeigneten mathematische Entität durch eine Physikalische Größe repräsentiert.

Operationalisierung:

,

sind messbare Größen, für die geeignete Messverfahren bzw. Normale anzugeben sind.
Auch kanonisch konjugierte Größen (wie Ort und Impuls) eines physikalischen Objekts sind prinzipiell zu jedem Zeitpunkt gleichzeitig mit beliebig hoher Genauigkeit bestimmbar.

E) Raumgeometrie / Kausalität / Determinismus

Die Trägheitsanalyse

führt auf die Geradenglg.:

Sind

und

zum Zeitpunkt

gegeben, liegt die Trajektorie

für alle Zeiten

fest.

Folgerungen

1. Der Raum ist flach und wird durch den 3-dimensionalen Euklidischen Raum repräsentiert.

2. Ontologisches Grundprinzip Kausalität : Ist der Zustand eines physikalischen Systems S' die Folge des vorhergehenden Zustandes S und durch einen physikalischen Mechanismus M erwirkt, dann ist S die Ursache von S'.

3. Epistemologisches Grundprinzip Determinismus: Entsprechend dem Ontologisches Grundprinzip der Kausalität lässt sich bei hinreichend genauer Kenntnis aller Gesetze und Parameter des physikalischen Systems S das Verhalten/der Zustand des Folgesystems S' exakt bestimmen und vorhersagen. Ausdruck dieses strengen Determinismus ist der Laplace‘sche Dämon.

4. Zeitfolgebestimmung auf Basis der Kausalität: ist der Zustand eines Systems S zum Zeitpunkt tS gegeben und bringt S S‘ zum Zeitpunkt tS‘ hervor, dann heißt tS zeitlich vor bzw. früher als tS‘:

F) Bezug zur Realität, Lokalität

Realismus: Die ermittelten Eigenschaften eines Systems kommen ihm unabhängig von Wechselwirkungen bzw. Messungen real intrinsisch zu.

Lokalität: Wechselwirkung der Objekte erfolgt über die mechanischen Größen Impuls und Energie.

=> Die KM ist eine realistische und lokale Theorie.

G) Relativitätsprinzip

Galilei-Transformation auf ein Bezugssystem mit

;

;

=> Das Grundgesetz der KM ist kovariant gegen GT, was zu

(!) führt.

H) Philosophie: Mechanistisches Paradigma (Kuhn)

Schlüsselbegriffe
Kraft, Masse, Trägheit, Beschleunigung

Materie-, Prozess- & Gesamtstruktur
diskret-atomistisch & nomologisch (gesetzmäßig),
grundlegender durchgehender Kausalnexus,
strenge Subjekt - Objekt - Trennung.

Ontologie
Naiver Realismus: ermittelte Eigenschaften und Strukturen kommen den Dingen selbst intrinsisch zu. Wahrnehmung entspricht prinzipiell der Realität.

Epistemologie
Prinzipiell vollständige Erkennbarkeit bei gegebenen Anfangsbedingungen & bekanntem Gesetz.

Mathematisch
Eindeutiger Bezug mathematischer Elemente zu den entsprechenden Elementen der Realität.

Konsequenzen

Der Mensch ist eine Maschine (de la Mettrie), der Kosmos je nach philosophischer Couleur ein Uhrwerk (Hooke), ein Sensorium Gottes (Newton), eine prästabilierte Harmonie (Leibniz) und über Allem schwebend hat Laplace‘ Dämon die Welt algorithmisch fest im Griff!

In der physikalischen Welt Newtons sind Entitäten wie Zufall, freier Wille und transzendente Gottheiten obsolet geworden; I. Kant - dt. Philosoph und engagierter Newtonianer - versucht sie in seinen Kritischen Schriften wieder zu restaurieren.

Philosophisch bezeichnet man die Auffassung, dass der Formalismus der Klassischen Mechanik die reale physikalische Welt repräsentiert und dass dessen Materie die grundlegende Entität ist, als Materialismus. Das nicht-materielle Ideelle, Geistige ist das ontologisch Sekundäre, das daraus Abgeleitete (kein Geist ohne materielle Grundsubstanzen & Prozesse des Hirns).

Im Gegenzug fasst der philosophische Idealismus das nicht-materielle Ideelle als ontologisch primär auf, aus dem das Materielle abgeleitet ist (kein Hirn ohne vorhergehende geistig-ideelle Schöpfung).

-***-

Cuby · Anmeldungsdatum: 21.11.2019 Beiträge: 29

Nach der Trockenübung jetzt die QM in ihrer
Kopenhagener Interpretation.

Leitfragen

Methodologisch. Welchen mathematischen Formalismus benutzt die Interpretation mit welcher Bedeutung & Begründung zB der Schlüsselterme und deren Stellung im strukturellen Gesamtzusammenhang?

Ontologisch. Wie und unter welchen Rahmenbedingungen werden das Quantensystem und die Vorgänge in ihm abgebildet (DS, St-G) insbes. der Messprozess? In welchem Verhältnis stehen die Elemente der Mathematik zu denen der Realität?

Philosophisch. Ist die Interpretation mit ihrem Formalismus als Fundamental-Theorie geeignet? Welche Konsequenzen hins. des Verständnisses von dem, was Realität genannt wird, ergeben sich daraus?
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Anlass der Entstehung der Quantenmechanik

Probleme bei der Erklärung neuer Phänomene der Wechselwirkung von Materie und Strahlung: Atomspektren, chemische Eigenschaften, diverse Experimente, das Phänomen der ganzen Zahlen, etc. Es galt, folgende Probleme zu lösen:

1. Der Tatsache, dass quantenmechanische Teilchen (Quanten) sowohl Teilchen- alsauch Welleneigenschaften haben, standen zunächst hilflos zwei getrennte Zuständigkeiten gegenüber: klassische Mechanik und Wellentheorie.

2. Die Tatsache, dass Materiewellen Interferenzen erzeugen.

3. Die Tatsache, dass bei Experimenten die Reihenfolge der Messung nicht beliebig ist (Ort, Impuls).

4. Die Tatsache, dass nicht die Schrödinger-Glg. das Messergebnis bringt, sondern erst deren Quadrat, die als Wahrscheinlichkeit festgelegt wird.

Schlüsselbegriffe

1. Welle-Teilchen-Dualismus, Komplementarität
2. Superposition, Materiewellen, Schrödinger-Glg. ψ (t)
3. Unschärferelationen, Nichtkommutativität konjugierter Operatoren,
4. Stochastik / Born‘sche Regel
5. Kollaps / von-Neumann-Postulat

ad 1.) Welle-Teilchen-Dualismus, Komplementarität

Wegen der Nicht-Vertauschbarkeit bei zB Ort- & Impulsmessungen, der Unvereinbarkeit von simultanen Wellen- & Teilcheneigenschaften sowie der allgemeinen Subjekt-Objekt-Problematik bestand Bohr darauf, die Komplementarität - als sich gegenseitig ausschließende aber dennoch bedingende Prinzipien - in die Theorie zu implementieren (zB die Experimentalanordnung - vor allem das Messgerät - als komplementären Bestandteil in die Beschreibung mit aufzunehmen).

ad 2.) Superposition, Schrödinger-Glg.

Zusammenhängende Systeme, wie sie sich im Quantenbereich zeigten, werden nicht durch Produktzustände, sondern durch Superposition von Produktzuständen repräsentiert. Das Phänomen der Superposition verlangt den mathematischen Formalismus der Vektorraum-Theorie. Als geeignet für die spezielle Struktur eines quantenmechanischen Vektorraums stellte sich der Hilbert-Raum mit seinem unendlichem Vorrat an Vektoren heraus, denn an den Zustandsvektor bzw. die Dgl. ψ (r, t) werden folgende Anforderungen gestellt:

1. Sie muss eine Dgl. 1. Ordnung sein, damit ψ (r, t=0) durch die Anfangsverteilung bestimmt ist.
2. Sie muss wegen der Fähigkeit zur Superposition linear sein.
3. Sie muss wegen der Normierung homogen sein.

Der dafür geeignete Zustandsvektor ist die Schrödinger-Funktion ψ.

Schrödinger fand sie mehr ratend, indem er die klassische Wellengleichung, die Hamilton-Jacobi-Gleichung und de-Broglies Materiewellen kombinierte.

Formal kann sie aus dem Hamilton-Formalismus unter Berücksichtigung der Korrespondenzregeln hergeleitet werden.

Mit ihr ist es möglich, u.a. die Energieniveaus der Elektronenhüllen zu beschreiben aber nicht den beim Experiment erfolgenden Übergang von einer kontinuierlichen Zeitentwicklung zu einem diskreten Vorgang, der Messung.

Beim Übergang ψ (t) zu ψa zum Zeitpunkt der Messung t‘ ergibt sich:

Für t < t‘: kontin.-determ. Zeitentwicklung ψ (t)

Für t‘ = t: nicht definiert (Kollaps)

Füt t > t‘: instantane (?) Zeitentwicklung, ψa (t‘)

Also zwei unterschiedliche Prozesse ψ (t) und ψa (t‘) und ein indefiniter, wobei der Prozess t > t‘ nicht unbedingt instantan sein muss, oder? Allerdings ist das Ereignis, das Moment der Wechselwirkung, bei t‘ instantan.

=> Die Schrödinger-Funktion – theoretisch unverstanden & unbegründet - ist keine Fundamental-Glg., sondern ein Postulat, das sich nur durch seinen Erfolg legitimiert.

ad 3.) Nichtkommutativität konjugierter Operatoren, UR

Wegen der Nicht-Vertauschbarkeit von kanonisch-konjugierten Größen bei Experimenten sah sich Heisenberg genötigt, die entsprechenden mathematischen Elemente aus der Matrizenrechnung – nichtvertauschende Kommutatoren – zu wählen, mit denen er die Unschärferelationen herleitete.
Er begründete sie zunächst empirisch mit einer nicht-störungsfreien Messung, dann mathematisch mit dem Matrizen- und schließlich mit den Fourier-Formalismus.

„Die Unschärfe ist somit nicht in erster Linie Folge einer nicht-störungsfreien Messung, sondern eine intrinsische Eigenschaft des Quantensystems selbst.“ (Heisenberg).
Das wäre eine ontologische Deutung.

„Die Unschärfe ist die Folge des Versuches, das Wellenpaket in klassischer Teilchenterminologie beschreiben zu wollen.“ (Bohr).
Das wäre eine epistemische Deutung.

„Die Unschärferelationen sind statistische Streurelationen, die eine Aussage darüber machen, wie bei einer Messung die Impulse streuen, wenn die Orte in einem bestimmten Intervall liegen.“ (C. Friebe, Popper)
Das wäre eine wohl eher (epistemisch-) metrologische Deutung.

„Die Unschärferelation folgt aus der Geometrie des in der QM verwendeten Hilbertraums sowie den speziellen Eigenschaften der Operatoren, die Ort und Impuls repräsentieren“ (TomS).
Das wäre die neutrale mathematische Formulierung.

F: Kannst du das etwas näher erläutern (Geometrie, spezielle E.)

ad 4.) Die Born‘sche Regel (s. Q4)

Ausgangssituation: Experimentell wird

-entsprechend ermittelt, nicht

!
=> was zählt, ist die Messung d.h. ihr wird der ontologische und methodische Primat eingeräumt. Das macht eine Ergänzung/Änderung des Formalismus erforderlich und führt auf die Born‘sche Regel

Born fand sie durch Analogieschluss in Einsteins Amplitudenquadrat in dessen Lichtquantenhypothese und führte mit ihr die Stochastik in die Quantenmechanik ein.

F: Das sieht mir auch mehr nach intuitiver Verzweiflungstat und Zuschnitt auf das Resultat aus. Warum

-verteilt?

=> Die Born’sche Regel ist theoretisch unbegründet und legitimiert sich ebenfalls nur durch das Resultat.

ad 5.) Das von-Neumann-Postulat (s. Q5)

Die Messung induziert eine Entwicklung, die einen Zustand

auf einen seiner Eigenvektoren

mit der Wahrscheinlichkeit

projiziert (Kollaps, Reduktion der Wellenfunktion).

Das verallgemeinerte Kollapspostulat besagt, dass nach der Messung der Zustand des Gesamtsystems durch ψa gegeben ist, falls der Wert a gemessen wurde. Das stellt sicher, dass bei nochmaligem Ablesen der Zeigerkonﬁguration Y wieder ein Wert in Λj herauskommt.

F: Die "Sicherstellung" verstehe ich nicht. Warum "wieder ein Wert..."?

=> Das von-Neumann-Postulat ist theoretisch unbegründet und legitimiert sich ebenfalls nur durch das Resultat.
F: Bin mir aber nicht sicher?

Damit ergeben sich

Die Postulate der Quantenmechanik

Q1. Ein quantenmechanisches System

ist repräsentiert durch den Hilbertraum

und sein Zustand zu Zeit t durch den Vektor ψ(t) ∈

.

Q2. Eine quantenmechanische Größe A wird repräsentiert durch einen selbstadjungierten (alle reellen Werte enthaltenden) Operator A in

, die möglichen Messwerte (seine Eigenwerte) a durch das Spektrum σ von A.

Q3. Sei ψ (to) der Zustand von

zur Zeit t=0 dann ist der Zustand ψ (t) für alle Zeiten t gegeben durch den unitären Zeitoperator U: ψ (t) = U (t) ψ (to);

Q4. Sei ψa ein Zustand von

für den gilt: A ψa = a ψa und sei A eine Observable mit dem Wert a, dann ist die Wahrscheinlichkeit P(a), den Messwert a zu erhalten, gegeben durch die Born’sche Regel P(a) = |ψ(t) ψa|.

Q5. Sei a der gemessene Wert von A dann ist der Zustand von

beschrieben durch ψa.

Verständnisfragen

„Es ist unmöglich, durchgängig anzunehmen, dass es zur Zeit t mehr Eigenschaften am Quantensystem gibt, als sich aus ψ ableiten lassen (Gleason, Bell, Kochen, Specker).“ Stöckler in: Esfeld)
F: Wie lässt sich so etwas beweisen?

"Q1 - Q4 ist für die Erzeugung von Wahrscheinlichkeiten nicht geeignet weil ihm der konkrete Vektor ψ (t0) fehlt, der die Präparation beschreibt "(Stöckler in: Esfeld)
F: Was bedeutet „fehlender Vektor“? Wer oder was bestimmt, was sich in Hilberts Räumlichkeiten alles befindet?

Kommentar

Kann es sein, dass die Quantenmechanik weniger ein spezielles Messproblem hat, als vielmehr das allgemeine Problem, spontane Wechselwirkungsprozesse zu beschreiben, die die Kontinuität der Schrödinger-Glg. unterbrechen?

Merkwürdig finde ich, dass in einer Theorie, die sich Quantentheorie nennt, der Begriff "Quanten, Quantum" (zB als Objekt, das sowohl Wellen- alsauch Teilchencharakter hat) weder definiert noch im Gebrauch ist, sondern immer noch der klassische Ausdruck "Teilchen" - das aber nicht mehr als klassisches Teilchen angesehen werden darf, worauf man hinzuweisen nicht müde wird! Wäre da ein definiertes "Quant/um" nicht effektiver?

Es scheint, als finden sich eine Menge unbegründeter Postulate in der QM der KI - vom Anfang an! Es ist eigentlich so etwas wie ein Markenzeichen von ihr.

Ich kann mich des Eindrucks nicht erwehren, dass in der Formulierung der QM unbedingt jeder seiner "Markierung" hinterlassen musste: Heisenberg seine Unschärfe (nachdem ihm Schrödingers Dgl. den Rang ablief), Born seine Stochastik (die für ihn den "freien Willen" restaurierte) und Bohr seine Komplementarität (und mit dieser Kierkegaardschen Philosophie der QM den dänischen Stempel verpasst).

Aus wissenschaftstheoretischer Sicht gilt eine Theorie dann als begründet, wenn der essenzielle Formalismus (hier: ψ) begründet ist. Da das hier nicht der Fall ist, haben wir die paradoxe Situation, dass eine nicht begründete Theorie äußerst erfolgreich arbeitet! Das mag für den Instrumentalisten hinreichend sein (insofern nicht paradox), aber philosophisch ist das doch eine sehr unbefriedigende Situation, oder?

Schätze ich das richtig ein, wenn ich behaupte, dass der QM aber - nach ihren Darstellungen zu schließen - noch immer der Geruch einer Labor-Theorie anhaftet?

Es sieht so aus, als könnte noch die eine oder andere Überraschung kommen, oder ist der künftige Weg abzusehen?

-***-

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067