Energie und Impuls

mbnh1 · Anmeldungsdatum: 21.06.2019 Beiträge: 1

Meine Frage:
Ich habe ein elementares Verständnisproblem:
Ein Körper wird, z.B im Weltraum, von einer Geschwindigkeit v0 beschleunigt. Dazu erzeugt ein Raketentriebwerk über eine definierte Zeit einen konstanten Schub. Die Masseänderung infolge der Verbrennung des Treibstoffes vernachlässigen wir jetzt einmal. Der Körper wird also über die definierte Zeit mit einer konstanten Kraft angetrieben und erreicht die Geschwindigkeit v1 = a x delta_t.
Nun wird das Triebwerk erneut gezündet und der Körper mit der gleichen Kraft über die gleiche Zeitspanne auf v2 = v1 + a x delta_t beschleunigt.
Für beide Beschleunigungsvorgänge wurde offensichtlich jeweils die gleiche Energiemenge eingesetzt. Der Körper besitzt nach dem zweiten Beschleunigungsvorgang die doppelte Geschwindigkeit, jedoch die vierfache kinetische Energie.
Wie ist es zu erklären, dass mit dem doppelten Energieeinsatz die vierfache kinetische Energie erreicht wurde? Wo liegt mein Denkfehler?

Meine Ideen:
Die Frage ist so elementar, dass ich mich nur traue, sie hier in der Anonymität zu stellen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18051

1) Die kinetische Energie ist offenbar bezugsystemabhängig.

Im Ruhesystem der Rakete nach dem n-ten Beschleunigungsvorgang wird der folgende (n+1)-te Beschleunigungsvorgang ausgehend von der kinetischen E‘_n = 0 mit v’_n = 0 betrachtet. Ausgehend von diesem Ruhesystem erreiche sie dann E‘_(n+1) mit v‘_(n+1). Alle diese Größen beziehen sich auf das jeweils n-te Ruhesystem.

Aus Sicht des ursprünglichen Startsystems n = 0 d.h. vor dem ersten Beschleunigungsvorgang wird der jeweils nächste (n+1)-te Beschleunigungsvorgang ausgehend von der kinetischen E_n mit v_n betrachtet. Ausgehend von diesem System erreiche sie dann E_(n+1) mit v_(n+1). Alle diese Größen beziehen sich immer auf das 0-te Ruhesystem = das Startsystem.

D.h. du musst bei jedem Beschleunigungsvorgang eine Transformation der Energie E’ und der Geschwindigkeit v’ vom jeweiligen n-ten Ruhesystem der Rakete zu E und v im Startsystem durchführen.

2) Die Rakete habe nach dem n-ten Beschleunigungsvorgang eine Masse m_n. D.h. beim (n+1)-ten Beschleunigungsvorgang wird eine geringere Masse beschleunigt, als bei n-ten.

3) Um eine Energiebilanz aufstellen zu können, musst du außerdem die beschleunigte Masse des Treibstoffs mit berücksichtigen. Dabei musst du festlegen, welche Masse überhaupt ausgestoßen wird und mit welcher Treibstoffgeschwindigkeit - immer bezogen auf das sich ständig ändernde Ruhesystem der beschleunigenden Rakete.

Wenn du einfach die Beschleunigung der Rakete verstehen willst, dann solltest du dir die Raketengrundgleichung näher anschauen.

Wenn du deine Aufgabenstellung mehrerer Beschleunigungsvorgänge verstehen willst, dann solltest du zunächst nicht mit einem kontinuierlichen Treibstoffausstoß rechnen, sondern eine diskrete Impulszunahme betrachten, z.B. eine Masse werde zu einem Zeitpunkt ausgestoßen:

Nun hast du noch die Wahl:

A) Soll diese ausgestoßene Masse aus Sicht des n-ten Ruhesystems der Rakete immer - d.h. für alle Beschleunigungsvorgänge - den selben Impuls tragen? Das entspricht dem Fall der Raketengrundgleichung, bei der je Zeit die selbe Masse an Treibstoff ausgestoßen wird, wobei die Treibstoffgeschwindigkeit bezogen auf das jeweils gültige Ruhesystem konstant ist. Daraus resultiert keine konstante Beschleunigung!

B) Oder soll die Zunahme der kinetischen Energie der Rakete aus Sicht des n-ten Ruhesystems der Rakete immer identisch sein?

C) Oder soll die Zunahme der kinetischen Energie der Rakete aus Sicht des 0-ten Ruhesystems der Rakete = des Startsystems immer identisch sein?

D) Oder soll die Geschwindigkeitsdifferenz für alle Beschleunigungsvorgänge konstant sein?

Du musst nun jeweils Energie- und Impulsbilanz der Rakete beim n-ten Beschleunigungsvorgang aufstellen, die Bedingungen (A - D) formulieren und die Transformation vom n-ten Ruhesystem in das 0-te Ruhesystem durchführen. Dabei wirst du feststellen, dass sich die Bedingungen (A - D) durch den Wechsel des Bezugsystems ändern.

Einfaches Beispiel für A) Wenn je Beschleunigungsvorgang eine immer identische Treibstoffmenge mit immer identischer Treibstoffgeschwindigkeit einen immer identischen Impuls bezogen auf das n-te Ruhesystem der Rakete trägt, dann werden Impuls und Geschwindigkeit des n-ten Treibstoffs bezogen auf das Startsystem nicht identisch sein!

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5863

Willkommen in diesem Forum!

Diese Frage hättest Du getrost mit vollem Namen unterschreiben können;) Was die kinetische Energie der Rakete betrifft, liegt auch kein Denkfehler vor. Was Du nicht berücksichtigt hast, ist aber die kinetische Energie des ausgestossenen Treibstoffs.

Betrachten wir das Ganze in einem Inertialsystem, in dem die Rakete zu Beginn ruht. Der Treibstoff werde mit der konstanten Relativgeschwindigkeit u zur Rakete ausgestossen, die Leistung des Triebwerks

(

sei die pro Zeiteinheit ausgestossene Treibstoffmasse) ist konstant. Zu Beginn geht praktisch die gesamte Leistung des Triebwerks in die kinetische Energie des ausgestossenen Treibstoffs (immer im erwähnten Inertialsystem betrachtet): die Geschwindigkeit der schweren Rakete ist gering, der Treibstoff hat nach dem Ausstoss betragsmässig die Geschwindigkeit u.

Ab einem bestimmten Zeitpunkt, wenn die Geschwindigkeit der Rakete v=u/2 erreicht hat, ist die kinetische Energie des Treibstoffs nach dem Ausstoss geringer als vor dem Ausstoss, die kinetische Energie der Rakete wird also stärker erhöht als alleine durch die Leistung des Triebwerks. Bei v=u ist die kinetische Energie nach dem Ausstoss =0, bei v>u nimmt die kinetsiche Energie des Treibstoffs beim Ausstoss noch stärker ab, im Inertialsystem betrachtet wird der Treibstoff ja mit konstanter Rate abgebremst.

Für eine genauere Rechnung und damit die Energie- und Impulserhaltung tatsächlich aufgeht muss man natürlich die Annahme einer konstanten Raketenmasse aufgeben.

mbnh_1 · Gast

Tut mir leid, aber diese Ideen hatte ich auch schon, und sie befriedigen meiner Meinung nach nicht die elementare Frage, die da lautet: Vierfache Endenergie mit nur doppeltem Energieeinsatz - Wie ist das möglich?

Zum Bezugssystem:

Dann lasse ich die Rakete halt an einem Seil laufen, das am raumfesten Punkt Null festgebunden ist. Am Ende der Beschleunigungsvorgänge kann ich dann die Energie im gleichen Ausgangssystem durch Abbremsen der Rakete über das Seil zurückgewinnen.

Zur Treibstoffmasse:

Dann rüste ich meinen Flugkörper halt mit einem Sonnensegel aus und beschleunige ihn mit einem Laserstrahl vom Punkt Null aus. Die Masse des Flugkörpers ändert sich dann überhaupt nicht. Aber auch die Vernachlässigung der Massenänderung eines Raketenantriebes wäre zulässig. Ich kann ja mit sehr kleinen Energien arbeiten, so dass die Massenänderung gegenüber der Masse des Flugkörpers nicht ins Gewicht fällt.

Ich freue mich auf eure Antworten!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18051

Also gut, nochmal zum Kern.

Der Körper wird durch eine externe Kraft F mit einer konstanten Beschleunigung

beschleunigt, und zwar zweimal:

Dabei erreicht der Körper jeweils eine Energie

Die Beschleunigung erfolgt jeweils über die selbe Zeit T.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18051

Wir betrachten die Energiezunahme je Beschleunigungsvorgang mit konstantem m, a über eine zunächst unbekannte Strecke S

Partielle Integration liefert

Ausführen des Integrals und anschließendes Eliminieren von aT mittels

liefert

Aus der zweiten Berechnung folgt sofort das von dir bezweifelte Ergebnis, dass die selbe Beschleunigung über die selbe Zeit unterschiedliche Energiezunahmen liefern kann.

Aus dem ersten Ergebnis geht unmittelbar hervor, dass nicht die Zeit T relevant ist, über die die konstante Beschleunigung erfolgt, sondern die zurückgelegte Strecke S. Aber diese zurückgelegte Strecke hängt natürlich von der Anfangsgeschwindigkeit ab; für den zweiten Beschleunigungsvorgang sind die Anfangsgeschwindigkeit und damit die zurückgelegte Stecke größer als für den ersten.

Die Berechnung des dt-Integrals liefert genau diese zurückgelegten Strecke

Daher ist deine rot markierte Annahme

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5863

Ich denke, zuerst ging mbnh1 von einem Schubtriebwerk mit konstanter Leistung aus, deshalb die Bemerkung mit der gleichen Energiemenge. Wenn man dann noch die Raketenmasse als konstant annimmt, wäre die Beschleunigung konstant, und es tritt der erwähnte scheinbare Widerspruch auf, dass die Zunahme der kinetischen Energie der Rakete -immer im gleichen Bezugssystem betrachtet- zunimmt. Dies ist auch der Fall, wenn man die Masse nicht konstant lässt, und löst sich erst auf, wenn man die kinetische Energie des ausgestossenen Treibstoffs einbezieht. Darauf bist Du, mbnh1, aber nicht eingegangen.

Ebenfalls @mbnh1, zum Sonnensegel: hier wäre die Energieaufnahme durch das Sonnensegel (wieder immer im gleichen Bezugssystem) nicht konstant. Es müssen Energie- und Impulserhaltung gelten für die Rakete und die Photonen, vgl. Compton-Effekt, falls die Photonen elastisch am Sonnensegel gestreut werden. Bei höherer Geschwindigkeit des Sonnensegels müsste die Frequenzänderung (Verringerung) der Photonen grösser sein. Auch hier reicht es nicht, ausschliesslich die kinetische Energie der Rakete zu betrachten.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Man könnte die Masse der Rakete konstant lassen, indem man sich vorstellt man transportiere den Treibstoff separat in einer Rakete mit paralleler Flugbahn, die den Treibstoff rüber liefert.

Eine Kraft ist keine einseitige Geschichte sondern stehts eine Wechselwirkung.
Das Triebwerk hat eine gewisse Leistung.

Am Start nimmt die Rakete sehr wenig Energie auf, weil für das in Bewegung setzen von 0 auf dv keine Arbeit erforderlich ist geht gegen null und somit auch die Energieaufnahme.
Die ganze Triebwerkleistung geht vorwiegend in Beschleunigung und kinetische Energie des ausgestossenen Treibstoffes.

Wenn die Rakete schon eine imposante Geschwindigkeit hat, hat sie der Treibstoff auch. nun wird aber beim ausstoss der Treibstoff gebremst und nicht mehr wie am Start beschleunigt.
Zusätzlich zur chemischen Leistung des Triebwerks wird nun den Treibstoff noch kinetische Energie entzogen, denn er wird ja nun von Raketengeschwindigkeit abgebremst und diese Energie plus die Leistung des Triebwerks geht jetzt auf die Rakete über.

Die Energiebilanz über eine Wechselwirkung führt über alle Bezugssysteme hinweg zur selben Leistung des Raketentriebwerks.

mbnh__1 · Gast

Tut mir leid, ich muss insistieren:

TomS hat mir umständlich über das Wegintegral nachgewiesen, dass sich die Energiemenge des Körpers vervierfacht. Das ist das Ergebnis, welches ich an meinem Seil zweifelsfrei messen kann.

Im Vergleich dazu schaue ich mir nun jedoch meinen Energieeinsatz an, und der beträgt: konstante Laserleistung über jeweils gleiche Zeit, also E1 = E2. Und es bleibt dabei:

vierfache Energie mit doppeltem Energieeinsatz

zu Myon:

Ich behaupte, dass die Antriebskraft, und damit die Beschleunigung konstant ist und damit der Körper über die gleiche Zeit auch die gleiche Geschwindigkeitszunahme erfährt.

Schalte ich meinen Laser mit immer gleicher Leistung ein, so trifft die gleiche Photonenanzahl pro Zeiteinheit mit der gleichen Relativgeschwindigkeit auf das Sonnensegel und erzeugt somit den gleichen Schub, also die gleiche Beschleunigung. Gleiche Relativgeschwindigkeit deshalb, weil die Geschwindigkeit des Körpers gegenüber der Lichtgeschwindigkeit vernachlässigbar ist.

Die Argumentation würde natürlich auch mit einem Raketenantrieb funktionieren, wenn man einen gegenüber der Gesamtmasse vernachlässigbaren Treibstoffmasseausstoß unterstellt. Ich kann dann ja v1 = 0,01 m/s und v2 = 0,02 m/s betrachten, das Ergebnis ist das gleiche:

vierfache Energie mit doppeltem Energieeinsatz

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5042

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18051