Fluss des Vektorfelds

Wolvetooth · Anmeldungsdatum: 13.01.2019 Beiträge: 260

Meine Frage:
Hallo,

Ich habe folgende Aufgabe:

Berechnen Sie den Fluss des Vektorfelds durch die Oberfläche einer Kugel mit Radius R. (Siehe Abbildung)

Meine Ideen:
Wir könnten das lösen, indem wir sagen, dass der Fluss eines Vektorfeldes durch eine Oberfläche:

ist (Leider kann ich nicht ein S statt a und b mit Latex schreiben)

Dafür bräuchten wir eine Parametrisierung, die (ich glaube) in Kugelkoordinaten ist (weil das Vektorfeld in Kugelkoordinaten gegeben ist)

Und einen Normalenvektor, der senkrecht zur Kugeloberfläche steht.
Der Normalenvektor kann mit den partiellen Ableitungen der Parametrisierung und mit dem Kreuzprodukt berechnet werden.

Dann könnten wir weiter den Fluss berechnen, indem wir sagen, dass der Fluss des Vektorfeldes:

ist (Leider kann ich nicht ein S statt a und b mit Latex schreiben)

Aber dann wäre meine Frage:

Wie kann ich überhaupt diese Kraft parametrisieren?
Es sieht alles so schwer aus aber ich denke nicht, dass es eigentlich so schwer ist. Es wäre ganz cool, wenn jemand mir vielleicht helfen könnte smile

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6200

Ich glaube, Du denkst wirklich viel zu weit. Aus der Definition eines Flusses folgt ja, dass nur die Vektorkomponente senkrecht zur betrachteten Fläche, also parallel zum Flächennormalenvektor, relevant ist. Die senkrecht zum Normalenvektor stehenden Komponenten tragen nicht zum Fluss bei. Welche der drei Summanden von

sind also relevant (die Einheitsvektoren

bilden ein Orthonormalsystem, stehen also senkrecht aufeinander)?

Fürs Aufschreiben: der Normaleneinheitsvektor ist hier einfach

. Und dann brauchst Du nur noch die relevante Komponente über die Kugeloberfläche zu integrieren.

Wolvetooth · Anmeldungsdatum: 13.01.2019 Beiträge: 260

Hallo, vielen Dank noch einmal für die Hilfe

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6200

Um einen Anfang zu machen:

Nun kannst Du ausnützen, dass gilt

und

.

Wolvetooth · Anmeldungsdatum: 13.01.2019 Beiträge: 260

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6200

Die 2. Zeile ist nicht richtig, denn wegen

wird nur über den ersten Summanden integriert. Die beiden anderen tragen nicht zum Fluss bei, wie auch anschaulich klar sein sollte (die Feldlinien dieser Komponenten sind tangential zur Kugeloberfläche).
Das Vektorfeld muss bei r=R ausgewertet werden, weiter oben hätte ich vielleicht besser

im Integral schreiben sollen.