Gedachter Würfel aus Elektronen + positive 2e-Ladung

drfhfhn · Gast

Meine Frage:
Gegeben sei eine Anordnung aus 8 Elektronen, die jeweils an den Eckpunkten eines gedachten Würfels mit der Kantenlänge b sitzen sollen, sowie einer einzelnen, doppelt positiven Elementarladung, die sich am Schnittpunkt der Raumdiagonalen dieses Würfels befinde. Berechnen Sie die Energie, die man gewinnen kann, wenn man diese 9 Teilchen in einen unendlich weiten Abstand voneinander bringt!

Meine Ideen:
Die Raumdiagonale hat die Länge

. In der Hälfte sitzt demnach die doppelt positive Elementarladung, bei

. Alle 8 Elektronen haben aber noch gegenseitige Wechselwirkungen, wie kann man die mit einberechnen? Meine Idee wäre das Superpositionsprinzip

, nur weiß ich nicht, was F1 und was F2 ist. Damit dann über die Arbeit gehen, indem man die Teilchen zuerst auf einen infinitesimalen Abstand bringt, dadurch ds hat und dann über die ds von 0 bis unendlich integriert?
Mir fehlt noch der richtige Ansatz zu dieser Aufgabe.

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

Die potentielle Energie eines Systems aus 2 elektrischen Ladungen

und

, die sich in einem Abstand

voneinander befinden, solltest du kennen:

Bei einem System aus

Ladungen ist einfach über alle Ladungspaare zu summieren:

Die Summe besteht aus

Summanden, bei

also aus

Summanden. Von denen sind aber viele gleich. Die 8 Paare innere Ladung zu den äußeren Ladungen sind alle gleich. Die Paare der äußeren Ladungen zerfallen in 3 Gruppen: Abstand zwischen den Ladungen gleich Seitenlänge des Würfels, Abstand gleich Flächendiagonale und Abstand gleich Raumdiagonale. Bei der Summation ist dann noch auf die Vorzeichen zu achten.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Evtl. ist es einfacher, über alle Ladungspaare bzgl. der Würfelecken doppelt zu summieren:

Du gehst aus von einer Ladung i = 1 an einer Ecke und nummerierst alle weiteren Ladungen q = -e bzw. Ecken dann mit j = 2,3,...,8 durch. Bei geeigneter Nummerierung hast du dann die genannten drei Gruppen bzgl. Ladung 1:
- Abstand zwischen den Ladungen gleich Seitenlänge des Würfels: j = 2,3,4
- Abstand gleich Flächendiagonale: j = 5,6,7
- und Abstand gleich Raumdiagonale: j = 8
Das ergibt den Beitrag der potentiellen Energie für Ladung i = 1. Den nimmst du mal 8 (8 Ecken) und dividierst durch 2 (sonst doppelt gezählt).

Nun addierst du noch den Beitrag für die zentrale Ladung q = +2e, d.h. 8 mal den Beitrag für die zentrale Ladung j = 9 bzgl. einer ausgewählten Ecke i = 1.

Das ganze liefert einen Term der Form

In dem Gamma stecken alle rein geometrischen Faktoren.

Den Fall unendlichen Abstandes kann man sofort ablesen.