Warum Determinante bei Vektorprodukt?

Myownworld · Gast

Meine Frage:
Hallo! Da ich im Matheboard gerade keine Frage stellen kann, tu ich es hier, da es mich sehr "nervt".
Ich frage mich seit ein paar Stunden, warum kann ich das Vektorprodukt - z.b.

als Determinante berechnen?

Meine Ideen:
Ansätze habe ich leider keine, da lineare Algebra noch nicht zu meiner Freundin geworden ist. Mir würde es auch vollkommen reichen einen Link oder Literaturhinweis zu bekommen. Ich habe zwar schon ewig gegooglet, aber entweder bin ich zu blöd die Antwort zu erkennen oder ich bin nicht gut im Suchen.

Formeln in LaTeX gesetzt - Gruß Tom

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Siehe Wikipedia:

Myownworld · Gast

Also einfach nur der Analogie bzw Umformbarkeit wegen? Hätte gehofft es gibt einen mathematischeren Hintergrund.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Diese Eselsbrücke ist im Sinne der Algebra keine Determinate.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Man kann das Vektorprodukt formal mittels des total-antisymmetrischen Levi-Civita-Symbols schreiben als

Für das Spatprodukt

gilt

Das entspricht nun gerade

Man kann dies für eine beliebige quadratische Matrix A verallgemeinern zu

Die geometrische Verwandtschaft ist gerade das Volumen des Parallelepipeds, die algebraische Verwandtschaft steckt im Levi-Civita-Symbol

Dabei erhält man
+1, wenn die Indexwerte einer geraden Permutation von 1,2,3,... entsprechen
-1, wenn die Indexwerte einer ungeraden Permutation von 1,2,3,... entsprechen
0 sonst, d.h. wenn mindestens zwei Indexwerte gleich sind