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philip122
Gast
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 philip122 Verfasst am: 08. Jan 2019 22:28 Titel: Relativistische Relativgeschwindigkeit |
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Meine Frage:
Man betrachte ein Teilchen 1 und ein Teilchen 2 mit Geschwindigkeiten  und  bezüglich eines beliebigen Koordinatensystems (Inertialsystem) K.
Nun gehen wir ins Ruhesystem von Teilchen 2 und betrachten die darin gemessene Relativgeschwindigkeit  von Teilchen 1.
Nun zur Frage:
In einem Buch ("High Energy Radiation of Black Holes" von C. Dermer und G. Menon, Seite 22) wird wie aus dem nichts folgende Formel angeben:
 bezeichnet dabei die entsprechenden Viererimpulse der Teichen im System K und  den der Geschwindigkeit entsprechende Lorentzfaktor.
Wie kommt man auf diese Formel?
Meine Ideen:
Ich habe versucht sie aus der Formel von Wikipedia (https://en.wikipedia.org/wiki/Relative_velocity, letzte Formel der Seite) herzuleiten, bin aber gescheitert
Irgendwelche Ideen, oder Anregungen?
Vielen Dank im vorraus!! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 09. Jan 2019 05:43 Titel: |
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Die Geschwindigkeiten werden mit u,v,w bezeichnet. Ich beschränke mich für den Teil (2) unten auf das eindimensionale Problem.
Ich schreibe für den Viererimpuls kurz
)
Damit ist
 \cdot (1,v) = \gamma_u \gamma_v (1 - uv) )
Quadrieren liefert
^2 = \frac{(1-uv)^2}{(1-u^2)(1-v^2)} \qquad (1))
Für die relativistische Geschwindigkeitsaddition setze ich
Damit folgt für das Quadrat des gamma-Faktors
^2}{(1-uv)^2}} = \frac{(1-uv)^2}{(1-uv)^2 - (u-v)^2} \qquad (2) )
Man sieht leicht, dass die Nenner in (1) und (2) identisch sind.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Ich
Anmeldungsdatum: 11.05.2006
Beiträge: 913
Wohnort: Mintraching
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| Ich Verfasst am: 09. Jan 2019 09:42 Titel: |
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Oder, einfacher: Im System 1 ist p1 (m1,0) und p2 ist (γm2,...), damit ist das Skalarprodukt γm1m2. |
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philip122
Gast
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| philip122 Verfasst am: 09. Jan 2019 20:24 Titel: |
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Vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort. Ich habe allerdings noch zwei Fragen.
1)  ist bei die die relativistische Geschwindigkeitsaddition von  und . Ist das, dass gleiche wie die Relativgeschwindigkeit von Teilchen 1 im Ruhesystem von Teilchen 2, nach der ich eben hier suche?
2) Die Formel in dem Buch ist eigentlich in 3 Dimensionen |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 12. Jan 2019 14:12 Titel: |
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| philip122 hat Folgendes geschrieben: | Vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort. Ich habe allerdings noch zwei Fragen.
1) ist bei die die relativistische Geschwindigkeitsaddition von und . Ist das, dass gleiche wie die Relativgeschwindigkeit von Teilchen 1 im Ruhesystem von Teilchen 2, nach der ich eben hier suche?
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Ja, das Produkt der beiden Vierergeschwindigkeiten ergibt immer den  -Faktor der Relativgeschwindigkeit beider Teilchen. Das ist die geometrische Interpretation von und auch sonst ganz nützlich sich zu merken.
| Zitat: |
2) Die Formel in dem Buch ist eigentlich in 3 Dimensionen |
Zwei verschiedene Vierergeschwindigkeiten liegen immer in einer Ebene im Minkowskiraum. In derselben Ebene liegen auch die jeweiligen Relativgeschwindigkeiten des einen Teilchens bezogen auf das andere Teilchen. Eine zweidimensionale Betrachtung, mit einer Zeit und einer Raumdimension, ist also in diesem Fall ausreichend. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 12. Jan 2019 14:21 Titel: |
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Man kann das auch mit 3er-Vektoren explizit rechnen. Der Weg sollte identisch zu meiner Vorgehensweise sein - aber aufwändigster.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 12. Jan 2019 16:13 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Man kann das auch mit 3er-Vektoren explizit rechnen. Der Weg sollte identisch zu meiner Vorgehensweise sein - aber aufwändigster. |
Das wird höchstens dann aufwendiger, wenn man von vornherein in einem schlecht angepaßten Koordinatensystem rechnet. Das ist aber keine gute Strategie. Statt von 2er Tupeln auf 4er Tupel überzugehen, kann man genauso gut abstrakte Vektoralgebra verwenden. Dann wird die Behandlung zweier Teilchen niemals komplizierter als die Geometrie in der Minkowski-Ebene, was der Komplexität des Problems angemessen ist. Dem Zusammenhang zwischen Viererimpuls und Relativgeschwindigkeit in dieser Ebene,
,)
entspricht die abstrakte Relation
,)
die nicht weniger einfach ist, aber in beliebigen Raumdimensionen gilt. (Über  ist nur Orthogonalität zu  vorausgesetzt, aber die Dimension von  kann beliebig sein.)
Wählt man für die Vierergeschwindigkeit des Teilchens 2, dann ist  , die Relativgeschwindigkeit von Teilchen 1 bezogen auf Teilchen 2 und die gesuchte Beziehung folgt sofort ( )
=m_1 m_2\gamma_{\text{rel}}.)
(Das entspricht im wesentlichen der Überlegung von Ich weiter oben, nur von Koordinatentupeln in abstrakte Algebra übersetzt.) |
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