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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
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 Sonnenwind Verfasst am: 05. Sep 2022 17:43 Titel: Relativistische Gymnastik |
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Kann mir bitte jemand helfen folgenden Term auszurechnen?
)
Wie gewöhnlich Summierung über gleichen Index oben und unten (hier das µ).
Natürlich erstmal Produktregel. Der kontravariante Teil ginge ja noch und würde auf das Kronecker-Symbol führen, aber wie leite ich einen kovarianten Vektor nach einer kontravarianten Koordinate ab?
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 05. Sep 2022 18:02 Titel: |
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 677
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| Sonnenwind Verfasst am: 07. Sep 2022 14:36 Titel: |
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Ja, danke, damit komme ich weiter. An die konsequente kovariante Schreibweise muss ich mich erst gewöhnen.
Die nächste Frage betrifft die Beschleunigungsgleichung:
mit i von 1 bis 3.
 sei die (dreidimensionale) Kraft gemessen mit einem Newtonmeter.
Diese Gleichung scheint mir aber nicht kovariant formuliert, insbesondere da gamma nicht kovariant ausgedrückt ist:
mit  als der Dreiergeschwindigkeit.
Frage: Leben wir in einer Mischwelt zwischen Newton und Einstein?
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse.
Zuletzt bearbeitet von Sonnenwind am 08. Sep 2022 15:28, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 07. Sep 2022 15:44 Titel: |
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siehe hier: https://en.wikipedia.org/wiki/Four-force
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 677
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| Sonnenwind Verfasst am: 07. Sep 2022 16:19 Titel: |
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Das beantwortet leider nicht meine Frage, warum die Kraft, die ich mit einem Newtonmeter messe, mit einer Größe gamma eingekoppelt werden muss, die selbst nicht kovariant ist.
Der Lorentzfaktor gamma muss ja mittels der Dreiergeschwindigkeit errechnet werden.
Oder noch genauer, lässt sich  mit Hilfe der Vierergeschwindigkeit  darstellen und damit kovariant machen?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18027
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| TomS Verfasst am: 07. Sep 2022 19:52 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Das beantwortet leider nicht meine Frage, warum die Kraft, die ich mit einem Newtonmeter messe, mit einer Größe gamma eingekoppelt werden muss, die selbst nicht kovariant ist. |
Du misst sicher eine invariante Größe, z.B. die Projektion der Viererkraft auf einen raumartigen Vierervektor in deinem Ruhesystem. Das ist nur in einem Spezialfall gleich der Komponente eines Vierervektors.
Mein Lieblingsbeispiel ist der relativistische Dopplereffekt. Gemessen wird eine Energie als Projektion des Viererimpulses auf eine zeitartige Vierergeschwindigkeit. Diese Observable ist beobachterabhängig über die Vierergeschwindigkeit, jedoch lorentzinvariant d.h. bzgl. Wechsel des Koordinatensystems. Und sie ist nur ein einem speziellen Koordinatensystem identisch mit der Nullkomponente des Viererimpulses.
https://www.physikerboard.de/ptopic,380306.html#380306
Bei der Messung einer Kraft müsstest du zunächst spezifizieren, wie du diese Kraft misst. Im Falle einer Federwaage misst du z.B. letztlich eine invariante Länge.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Oder noch genauer, lässt sich mit Hilfe der Vierergeschwindigkeit darstellen und damit kovariant machen? |
Nein, gamma alleine ist nicht kovariant.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 677
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| Sonnenwind Verfasst am: 10. Sep 2022 15:19 Titel: |
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Gibt es eine Kurzschreibweise für den folgenden Ausdruck?
Das entspricht einem Euklidischen Skalarprodukt.
Damit könnte man gamma nach einigen Verrenkungen ausdrücken. Zwar nicht kovariant, aber symmetrisch bezüglich der u_mü.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 10. Sep 2022 15:35 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | Gibt es eine Kurzschreibweise für den folgenden Ausdruck?
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 = |\vec{u}|^2 = \|u\|^2 = u^2 )
Mehr fällt mir nicht ein.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Das entspricht einem Euklidischen Skalarprodukt … |
… und kommt daher in der RT nie vor.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Damit könnte man gamma nach einigen Verrenkungen ausdrücken. |
Wie? Und warum?
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
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| Sonnenwind Verfasst am: 10. Okt 2023 11:09 Titel: |
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Ich nutze mal meinen alten Thread für eine neue Frage.
Wenn es ein Teilchen gäbe ohne Ruhemasse, aber mit einer (Elementar-)Ladung q, wie würde man dessen relativistische Mechanik in einem elektrischen Feld beschreiben?
Das mit der Minkowskikraft funktioniert ja nicht, weil das Teilchen wahrscheinlich immer mit Lichtgeschwindigkeit fliegen würde und die Eigenzeit nicht als Parameter dienen kann.
Aber es könnte wohl bei einem senkrecht zur Bewegungsrichtung stehenden elektrischen Feld die Flugrichtung ändern.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18027
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| TomS Verfasst am: 10. Okt 2023 14:12 Titel: |
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Zunächst mal spricht nichts dagegen, die Geodätengleichung um die elektrische Viererkraft zu erweitern.
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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18027
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| TomS Verfasst am: 10. Okt 2023 16:17 Titel: |
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x, p bezeichnen 3er-Vektoren
Folgender Ansatz für ein elektrisches Feld in 3-Richtung
Lagrangefunktion in räumlichen Koordinaten
 = - m \sqrt{1 - \dot{x}^2} - q\Phi)
Hamiltonfunktion
 = \sqrt{p^2 + m^2} + q\Phi)
Die Hamiltonfunktion sowie die kanonischen Bewegungsgleichungen sind im Grenzfall m=0 regulär.
Ob das jetzt physikalisch sinnvoll ist, sei mal dahingestellt. Aber da wir keine masselosen geladenen Teilchen kennen, können wir das auch nicht beurteilen.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 677
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| Sonnenwind Verfasst am: 12. Okt 2023 12:12 Titel: |
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Die Gluonen sind so ähnlich. Sie haben angeblich keine Masse. Sie tragen zwar keine elektrische Ladung, aber dafür eine Farbladung.
Außerdem sind sie Bosonen, bei denen ich das Gefühl habe, dass das gar keine "richtigen" Teilchen sind.
Vielleicht ist das alles akademisch. Mich würde trotzdem interessieren, wie die Kinematik eines masselosen Teilchens unter nichtgravitativer Krafteinwirkung mathematisch beschrieben werden kann.
Wie lautet denn die Bewegungsgleichung x(t) oder sonst wie parametrisiert eines solchen Teilchens meinetwegen in einem konstanten elektrischen Feld?
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 12. Okt 2023 13:08 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: |
Wie lautet denn die Bewegungsgleichung x(t) oder sonst wie parametrisiert eines solchen Teilchens meinetwegen in einem konstanten elektrischen Feld? |
Hat Tom doch aufgeschrieben. Limit m -> 0 fehlt nur noch. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 12. Okt 2023 13:09 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ob das jetzt physikalisch sinnvoll ist, sei mal dahingestellt. Aber da wir keine masselosen geladenen Teilchen kennen, können wir das auch nicht beurteilen. |
Na ja, bevor das Higgs einen Vakuumerwrtungswert kriegt, sind doch alle anderen Teilchen (geladen oder nicht) des SM masselos. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18027
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| TomS Verfasst am: 12. Okt 2023 13:26 Titel: |
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Jetzt müssen wir aufpassen, über was genau wir reden.
Gluonen existieren nicht als klassische freie Teilchen. Ihre Eigenschaften, in einem bestimmten Regime "masselos" und "frei" zu sein, ist eine sehr indirekte Argumentation im Rahmen der QCD, d.h. eben gerade nicht eine Eigenschaft von Teilchen.
Die Eigenschaft der Masse als Konsequenz einer Selbstwechselwirkung mit dem eigenen Feld ist ebenfalls nur eine Konsequenz der Quantenfeldtheorie; ich kenne jedenfalls keine konsistente Argumentation für klassische Felder oder Teilchen.
Bosonen können in gewisser Weise schon als Teilchen aufgefasst werden, siehe z.B. Photonen im Rahmen der geometrischen Optik, mit etwas Bauchschmerzen auch im Rahmen von Wechselwirkungen, siehe z.B. den Photoeffekt.
Lichtstrahlen und damit masselose Photonen folgen lichtartigen Geodäten. Ich sehe nicht, was es verbieten sollte, ein masseloses Teilchen mit einer Ladung zu versehen und an ein elektromagnetisches Feld zu koppeln. Nochmal zu diesem Modell:
Diese Gleichung folgt aus der o.g. Lagrangefunktion für q=0. Diese Lagrangefunktion ist für m=0 undefiniert. Bei Kopplung an ein el.-mag. Feld erhält man links die Geodätengleichung, rechts statt 0 einen Kopplungsterm ~ q/m. Nur deswegen habe ich die Hamiltonfunktion verwendet.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
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| Sonnenwind Verfasst am: 12. Okt 2023 14:08 Titel: |
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Ich glaube ich habe jetzt erstmal im Rahmen der SRT verstanden. Man muss über den Impuls gehen. Es genügt nicht der Geschwindigkeitsvektor, der vom Betrag immer gleich c ist, sondern man benötigt auch die "Wucht" in diese Richtung.
Der Geschwindigkeitsvektor ist dann immer in Richtung des Impulses normiert auf die Lichtgeschwindigkeit.
Bei der ART entsteht allerdings ein Term mit q/m und das geht ja nicht.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18027
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| TomS Verfasst am: 12. Okt 2023 16:31 Titel: |
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Das geht schon, ist aber etwas trickreich.
Man startet mit der bekannten Wirkung des freien relativistischen Teilchens
wobei v für die normale Dreiergeschwindigkeit steht.
Das schreibt man um zu
eta bezeichnet die flache Metrik; in gekrümmten Raumzeiten wird der Formalismus aufwändiger, liefert aber für die Frage der Kopplung an ein externen Feld nichts wesentliches Neues.
Berechne man die kanonisch konjugierten Impulse, so findet man
und natürlich
Allerdings können nicht alle vier Freiheitsgrade unabhängig sein, da die Wirkung invariant unter lokaler Reparametrisierung von tau ist:
)
Der Grund ist, dass die Wirkung gerade die invariante Länge beschreibt, und diese ist unabhängig von der Parametrisierung, also der Wahl des Kurvenparameters entlang der Weltlinie.
Das entspricht einer lokalen Eichinvarianz (nicht die des el.-mag Feldes!). Diese führt auf unphysikalische Freiheitsgrade und auf eine erhaltene "Ladung". Letztere findet man mittels
Nun führen wir einen zusätzlichen Freiheitsgrad e ein:
 )
e ist nicht dynamisch, da kein kinetischer Term und damit verschwindender kanonisch konjugierter vorliegt (dies darf jeweils erst am Ende einer Rechnung ausgewertet werden)
Kanonisch konjugierter Impuls und Bewegungsgleichung für x:
Bewegungsgleichung für e
also
Dieser Ansatz liefert also wiederum die Massenschalen-Bedingung.
Im Gegensatz zum kanonischen Ansatz oben ist dieser Ansatz manifest kovariant sowie reparametrisierungsinvariant.
Außerdem funktioniert er natürlich wieder für m=0.
Wir koppeln nun dieses Teilchen in bekannter Weise an ein elektromagnetischen Feld, d.h. an dessen Vierervektorpotential A
Dies liefert für die Bewegungsgleichung des Teilchens x bis auf den Faktor -q die Zusatzterme
also die bekannte elektromagnetische Lorentzkraft.
Dadurch modifiziert sich die obige Bewegungsgleichung
Die Bedingung aus e bleibt identisch:
m > 0
Aus den Constraints folgt
d.h. e ist aus der Vierergeschwindigkeit direkt bestimmbar.
Setzt man dies ein, so folgt letztlich die bekannte Bewegungsgleichung. Das funktioniert auch für gekrümmte Raumzeiten.
m = 0
d.h. beide Vektoren, sowohl die Vierergeschwindigkeit als auch der Vierererimpuls sind lichtartig.
Mit der o.g. Reparametrisierungsinvarianz kann man außerdem erreichen, dass
Damit kann e in die Ladung q absorbiert werden, d.h. es bleibt
 F_{\mu\nu}p^\nu = 0)
Multipliziert man mit p so folgt wegen der Antisymmetrie von F
Letzteres ist natürlich konsistent mit
Es fühlt sich irgendwie seltsam an, jedoch nicht falsch.
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