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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 906
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 Sonnenwind Verfasst am: 05. Sep 2022 17:43 Titel: Relativistische Gymnastik |
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Kann mir bitte jemand helfen folgenden Term auszurechnen?
)
Wie gewöhnlich Summierung über gleichen Index oben und unten (hier das µ).
Natürlich erstmal Produktregel. Der kontravariante Teil ginge ja noch und würde auf das Kronecker-Symbol führen, aber wie leite ich einen kovarianten Vektor nach einer kontravarianten Koordinate ab?
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 05. Sep 2022 18:02 Titel: |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 906
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| Sonnenwind Verfasst am: 07. Sep 2022 14:36 Titel: |
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Ja, danke, damit komme ich weiter. An die konsequente kovariante Schreibweise muss ich mich erst gewöhnen.
Die nächste Frage betrifft die Beschleunigungsgleichung:
mit i von 1 bis 3.
 sei die (dreidimensionale) Kraft gemessen mit einem Newtonmeter.
Diese Gleichung scheint mir aber nicht kovariant formuliert, insbesondere da gamma nicht kovariant ausgedrückt ist:
mit  als der Dreiergeschwindigkeit.
Frage: Leben wir in einer Mischwelt zwischen Newton und Einstein?
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse.
Zuletzt bearbeitet von Sonnenwind am 08. Sep 2022 15:28, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 07. Sep 2022 15:44 Titel: |
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siehe hier: https://en.wikipedia.org/wiki/Four-force
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
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| Sonnenwind Verfasst am: 07. Sep 2022 16:19 Titel: |
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Das beantwortet leider nicht meine Frage, warum die Kraft, die ich mit einem Newtonmeter messe, mit einer Größe gamma eingekoppelt werden muss, die selbst nicht kovariant ist.
Der Lorentzfaktor gamma muss ja mittels der Dreiergeschwindigkeit errechnet werden.
Oder noch genauer, lässt sich  mit Hilfe der Vierergeschwindigkeit  darstellen und damit kovariant machen?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 07. Sep 2022 19:52 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Das beantwortet leider nicht meine Frage, warum die Kraft, die ich mit einem Newtonmeter messe, mit einer Größe gamma eingekoppelt werden muss, die selbst nicht kovariant ist. |
Du misst sicher eine invariante Größe, z.B. die Projektion der Viererkraft auf einen raumartigen Vierervektor in deinem Ruhesystem. Das ist nur in einem Spezialfall gleich der Komponente eines Vierervektors.
Mein Lieblingsbeispiel ist der relativistische Dopplereffekt. Gemessen wird eine Energie als Projektion des Viererimpulses auf eine zeitartige Vierergeschwindigkeit. Diese Observable ist beobachterabhängig über die Vierergeschwindigkeit, jedoch lorentzinvariant d.h. bzgl. Wechsel des Koordinatensystems. Und sie ist nur ein einem speziellen Koordinatensystem identisch mit der Nullkomponente des Viererimpulses.
https://www.physikerboard.de/ptopic,380306.html#380306
Bei der Messung einer Kraft müsstest du zunächst spezifizieren, wie du diese Kraft misst. Im Falle einer Federwaage misst du z.B. letztlich eine invariante Länge.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Oder noch genauer, lässt sich mit Hilfe der Vierergeschwindigkeit darstellen und damit kovariant machen? |
Nein, gamma alleine ist nicht kovariant.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
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| Sonnenwind Verfasst am: 10. Sep 2022 15:19 Titel: |
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Gibt es eine Kurzschreibweise für den folgenden Ausdruck?
Das entspricht einem Euklidischen Skalarprodukt.
Damit könnte man gamma nach einigen Verrenkungen ausdrücken. Zwar nicht kovariant, aber symmetrisch bezüglich der u_mü.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 10. Sep 2022 15:35 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | Gibt es eine Kurzschreibweise für den folgenden Ausdruck?
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 = |\vec{u}|^2 = \|u\|^2 = u^2 )
Mehr fällt mir nicht ein.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Das entspricht einem Euklidischen Skalarprodukt … |
… und kommt daher in der RT nie vor.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Damit könnte man gamma nach einigen Verrenkungen ausdrücken. |
Wie? Und warum?
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
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| Sonnenwind Verfasst am: 10. Okt 2023 11:09 Titel: |
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Ich nutze mal meinen alten Thread für eine neue Frage.
Wenn es ein Teilchen gäbe ohne Ruhemasse, aber mit einer (Elementar-)Ladung q, wie würde man dessen relativistische Mechanik in einem elektrischen Feld beschreiben?
Das mit der Minkowskikraft funktioniert ja nicht, weil das Teilchen wahrscheinlich immer mit Lichtgeschwindigkeit fliegen würde und die Eigenzeit nicht als Parameter dienen kann.
Aber es könnte wohl bei einem senkrecht zur Bewegungsrichtung stehenden elektrischen Feld die Flugrichtung ändern.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 10. Okt 2023 14:12 Titel: |
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Zunächst mal spricht nichts dagegen, die Geodätengleichung um die elektrische Viererkraft zu erweitern.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 10. Okt 2023 16:17 Titel: |
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x, p bezeichnen 3er-Vektoren
Folgender Ansatz für ein elektrisches Feld in 3-Richtung
Lagrangefunktion in räumlichen Koordinaten
 = - m \sqrt{1 - \dot{x}^2} - q\Phi)
Hamiltonfunktion
 = \sqrt{p^2 + m^2} + q\Phi)
Die Hamiltonfunktion sowie die kanonischen Bewegungsgleichungen sind im Grenzfall m=0 regulär.
Ob das jetzt physikalisch sinnvoll ist, sei mal dahingestellt. Aber da wir keine masselosen geladenen Teilchen kennen, können wir das auch nicht beurteilen.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 906
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| Sonnenwind Verfasst am: 12. Okt 2023 12:12 Titel: |
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Die Gluonen sind so ähnlich. Sie haben angeblich keine Masse. Sie tragen zwar keine elektrische Ladung, aber dafür eine Farbladung.
Außerdem sind sie Bosonen, bei denen ich das Gefühl habe, dass das gar keine "richtigen" Teilchen sind.
Vielleicht ist das alles akademisch. Mich würde trotzdem interessieren, wie die Kinematik eines masselosen Teilchens unter nichtgravitativer Krafteinwirkung mathematisch beschrieben werden kann.
Wie lautet denn die Bewegungsgleichung x(t) oder sonst wie parametrisiert eines solchen Teilchens meinetwegen in einem konstanten elektrischen Feld?
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 12. Okt 2023 13:08 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: |
Wie lautet denn die Bewegungsgleichung x(t) oder sonst wie parametrisiert eines solchen Teilchens meinetwegen in einem konstanten elektrischen Feld? |
Hat Tom doch aufgeschrieben. Limit m -> 0 fehlt nur noch. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 12. Okt 2023 13:09 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ob das jetzt physikalisch sinnvoll ist, sei mal dahingestellt. Aber da wir keine masselosen geladenen Teilchen kennen, können wir das auch nicht beurteilen. |
Na ja, bevor das Higgs einen Vakuumerwrtungswert kriegt, sind doch alle anderen Teilchen (geladen oder nicht) des SM masselos. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 12. Okt 2023 13:26 Titel: |
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Jetzt müssen wir aufpassen, über was genau wir reden.
Gluonen existieren nicht als klassische freie Teilchen. Ihre Eigenschaften, in einem bestimmten Regime "masselos" und "frei" zu sein, ist eine sehr indirekte Argumentation im Rahmen der QCD, d.h. eben gerade nicht eine Eigenschaft von Teilchen.
Die Eigenschaft der Masse als Konsequenz einer Selbstwechselwirkung mit dem eigenen Feld ist ebenfalls nur eine Konsequenz der Quantenfeldtheorie; ich kenne jedenfalls keine konsistente Argumentation für klassische Felder oder Teilchen.
Bosonen können in gewisser Weise schon als Teilchen aufgefasst werden, siehe z.B. Photonen im Rahmen der geometrischen Optik, mit etwas Bauchschmerzen auch im Rahmen von Wechselwirkungen, siehe z.B. den Photoeffekt.
Lichtstrahlen und damit masselose Photonen folgen lichtartigen Geodäten. Ich sehe nicht, was es verbieten sollte, ein masseloses Teilchen mit einer Ladung zu versehen und an ein elektromagnetisches Feld zu koppeln. Nochmal zu diesem Modell:
Diese Gleichung folgt aus der o.g. Lagrangefunktion für q=0. Diese Lagrangefunktion ist für m=0 undefiniert. Bei Kopplung an ein el.-mag. Feld erhält man links die Geodätengleichung, rechts statt 0 einen Kopplungsterm ~ q/m. Nur deswegen habe ich die Hamiltonfunktion verwendet.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 906
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| Sonnenwind Verfasst am: 12. Okt 2023 14:08 Titel: |
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Ich glaube ich habe jetzt erstmal im Rahmen der SRT verstanden. Man muss über den Impuls gehen. Es genügt nicht der Geschwindigkeitsvektor, der vom Betrag immer gleich c ist, sondern man benötigt auch die "Wucht" in diese Richtung.
Der Geschwindigkeitsvektor ist dann immer in Richtung des Impulses normiert auf die Lichtgeschwindigkeit.
Bei der ART entsteht allerdings ein Term mit q/m und das geht ja nicht.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 12. Okt 2023 16:31 Titel: |
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Das geht schon, ist aber etwas trickreich.
Man startet mit der bekannten Wirkung des freien relativistischen Teilchens
wobei v für die normale Dreiergeschwindigkeit steht.
Das schreibt man um zu
eta bezeichnet die flache Metrik; in gekrümmten Raumzeiten wird der Formalismus aufwändiger, liefert aber für die Frage der Kopplung an ein externen Feld nichts wesentliches Neues.
Berechne man die kanonisch konjugierten Impulse, so findet man
und natürlich
Allerdings können nicht alle vier Freiheitsgrade unabhängig sein, da die Wirkung invariant unter lokaler Reparametrisierung von tau ist:
)
Der Grund ist, dass die Wirkung gerade die invariante Länge beschreibt, und diese ist unabhängig von der Parametrisierung, also der Wahl des Kurvenparameters entlang der Weltlinie.
Das entspricht einer lokalen Eichinvarianz (nicht die des el.-mag Feldes!). Diese führt auf unphysikalische Freiheitsgrade und auf eine erhaltene "Ladung". Letztere findet man mittels
Nun führen wir einen zusätzlichen Freiheitsgrad e ein:
 )
e ist nicht dynamisch, da kein kinetischer Term und damit verschwindender kanonisch konjugierter vorliegt (dies darf jeweils erst am Ende einer Rechnung ausgewertet werden)
Kanonisch konjugierter Impuls und Bewegungsgleichung für x:
Bewegungsgleichung für e
also
Dieser Ansatz liefert also wiederum die Massenschalen-Bedingung.
Im Gegensatz zum kanonischen Ansatz oben ist dieser Ansatz manifest kovariant sowie reparametrisierungsinvariant.
Außerdem funktioniert er natürlich wieder für m=0.
Wir koppeln nun dieses Teilchen in bekannter Weise an ein elektromagnetischen Feld, d.h. an dessen Vierervektorpotential A
Dies liefert für die Bewegungsgleichung des Teilchens x bis auf den Faktor -q die Zusatzterme
also die bekannte elektromagnetische Lorentzkraft.
Dadurch modifiziert sich die obige Bewegungsgleichung
Die Bedingung aus e bleibt identisch:
m > 0
Aus den Constraints folgt
d.h. e ist aus der Vierergeschwindigkeit direkt bestimmbar.
Setzt man dies ein, so folgt letztlich die bekannte Bewegungsgleichung. Das funktioniert auch für gekrümmte Raumzeiten.
m = 0
d.h. beide Vektoren, sowohl die Vierergeschwindigkeit als auch der Vierererimpuls sind lichtartig.
Mit der o.g. Reparametrisierungsinvarianz kann man außerdem erreichen, dass
Damit kann e in die Ladung q absorbiert werden, d.h. es bleibt
 F_{\mu\nu}p^\nu = 0)
Multipliziert man mit p so folgt wegen der Antisymmetrie von F
Letzteres ist natürlich konsistent mit
Es fühlt sich irgendwie seltsam an, jedoch nicht falsch.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 906
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| Sonnenwind Verfasst am: 16. Okt 2024 21:47 Titel: |
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Angenommen eine Ladung q bewegt sich langsam (nichtrelativistisch) durch ein elektrisches Feld E. Dabei gewinnt es auf der Strecke s die Energie W = F•s = E•q•s. Sowohl im Laborsystem als auch im mitbewegten System der Ladung ist die Kraft F = E•q.
Bewegt sich die Ladung jedoch mit relativistischer Geschwindigkeit, so erscheint die Strecke aus Sicht der Ladung verkürzt: s' = s/gamma. Die gewonnene Energie muss aber für beide Systeme gleich sein: W = F•s = F'•s' = F'•s/gamma.
F•s = F'•s/gamma
F = F'/gamma
F' = F•gamma
Die Kraft aus Sicht der Ladung ist also größer als aus Sicht des Laborsystems.
Wie kann das sein? Kraft ist doch etwas, das man mit einem Newtonmeter messen könnte und die Anzeige muss doch invariant sein.
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 16. Okt 2024 21:55 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: |
Wie kann das sein? Kraft ist doch etwas, das man mit einem Newtonmeter messen könnte und die Anzeige muss doch invariant sein. |
Ohne mir alles durchzulesen: wieso müsste sie invariant sein? (sie ist es nicht) |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 906
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| Sonnenwind Verfasst am: 16. Okt 2024 22:03 Titel: |
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Ich stelle mir vor, die Kraft auf die Ladung mit einem an ihr befestigten Newtonmeter zu messen, indem ich die elektrische Kraft so kompensiere, dass die Ladung nicht mehr beschleunigt wird.
Die Ablesung am Newtonmeter ist ja offensichtlich invariant.
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 16. Okt 2024 22:04 Titel: |
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Elektrische (und magnetische) Felder sind aber auch nicht invariant unter Lorentz-Transformationen... |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 906
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| Sonnenwind Verfasst am: 16. Okt 2024 22:16 Titel: |
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Das elektrische Feld kürzt sich aber aus der Rechnung raus, wie man oben sieht, nur noch Kraft, Weg und Energie bzw. geleistete Arbeit werden verrechnet.
Entweder ist die gewonnene Energie invariant oder die Kraft.
Andererseits sollte von der Anschauung her beides invariant sein.
Was stimmt nun, Rechnung oder Anschauung?
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 16. Okt 2024 22:23 Titel: |
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Weder Energie noch Kraft sind invariante Größen.... Relativitätstheorie 101... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 16. Okt 2024 22:25 Titel: |
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@ Sonnenwind
bzw.
} \, F)
ist sicher keine Lorentz-invariante Größe.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 906
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| Sonnenwind Verfasst am: 16. Okt 2024 22:28 Titel: |
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Könnte bitte mal jemand auf mein konkretes Beispiel eingehen und mir zeigen, was an meinen paar Formeln nicht stimmt?
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 16. Okt 2024 22:29 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Weder Energie noch Kraft sind invariante Größen.... Relativitätstheorie 101... |
Was willst du noch hören? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 16. Okt 2024 22:34 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Könnte bitte mal jemand auf mein konkretes Beispiel eingehen und mir zeigen, was an meinen paar Formeln nicht stimmt? |
Du argumentierst mit Lorentz-Invarianz, aber weder W und F erfüllen diese Bedingung.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 906
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| Sonnenwind Verfasst am: 16. Okt 2024 22:36 Titel: |
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Wie es mit der geleisteten Arbeit und Kraft im beschriebenen konkreten Beispiel aussieht.
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 16. Okt 2024 22:40 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | Sowohl im Laborsystem als auch im mitbewegten System der Ladung ist die Kraft F = E•q.
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falsch | Zitat: |
Die gewonnene Energie muss aber für beide Systeme gleich sein: W = F•s = F'•s' = F'•s/gamma.
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falsch | Zitat: |
Kraft ist doch etwas, das man mit einem Newtonmeter messen könnte und die Anzeige muss doch invariant sein. |
falsch. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 16. Okt 2024 22:41 Titel: |
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Übrigens, die Kraft, die du am Kraftmesser abliest, verrichtet keine Arbeit, da der Weg Null ist.
Was ist dein Ziel? Eine relativistische Verallgemeinerung von W = F • s?
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 906
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| Sonnenwind Verfasst am: 16. Okt 2024 23:04 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Übrigens, die Kraft, die du am Kraftmesser abliest, verrichtet keine Arbeit, da der Weg Null ist. |
Natürlich wird an der Bremse des Newtonmeters Arbeit verrichtet, wenn sich die Ladung bewegt. Die Beschleunigung der Ladung soll beim Messen ja verhindert werden. Aber v<>0.
Wenn Du Auto fährst und gleichzeitig Gas gibst und bremst (so dass die Geschwindigkeit konstant bleibt), dann wird ja wohl die Bremse heiß.
| Zitat: | | Was ist dein Ziel? Eine relativistische Verallgemeinerung von W = F • s? |
Diese Formel aus Sicht der relativistisch bewegten Ladung und die Antwort, ob W oder F gleich ist. Und zwar exakt in meinem Beispiel ohne Allgemeinplätze.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 17. Okt 2024 06:29 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Natürlich wird an der Bremse des Newtonmeters Arbeit verrichtet, wenn sich die Ladung bewegt. Die Beschleunigung der Ladung soll beim Messen ja verhindert werden. Aber v<>0. |
Dazu müsstest du das Messgerät genauer spezifizieren.
Im Falle bewegter elektrischer Ladungen in elektromagnetischen Felder funktioniert das jedenfalls nicht so einfach.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Was ist dein Ziel? Eine relativistische Verallgemeinerung von W = F • s? |
Diese Formel aus Sicht der relativistisch bewegten Ladung und die Antwort, ob W oder F gleich ist. Und zwar exakt in meinem Beispiel ohne Allgemeinplätze. |
Für die Bewegung einer elektrischen Ladung im elektromagnetischen Feld ist in
bzw.
keine der beteiligten Größen invariant; die Formulierung ist nicht mal kovariant.
Das Konzept der mechanischen Arbeit spielt in der RT zunächst überhaupt keine Rolle. Das Problem des Konzeptes der mechanischen Arbeit ist, dass dabei zwei völlig verschiedene Betrachtungsweisen angewandt werden, die man zunächst sauber identifizieren und sauber miteinander in Beziehung setzen muss:
1. Die Arbeit, die von einem Feld an einem Körper verrichtet wird, wenn er sich unter dem Einfluss des Feldes bewegt – d.h., wenn er einer Trajektorie folgt, die die entsprechende Bewegungsgleichung löst.
2. Die gedachte Arbeit, die man selbst an einem Körper verrichten muss, um ihn entgegen der durch das Feld verursacht Kraft zu bewegen.
Im Falle von Kräften, die nicht rein mittels Gradient aus einem Potential folgen, bzw. die von der Geschwindigkeit abhängen, ist das nutzlos.
Man muss das andersherum aufzäumen, nämlich ausgehend von der Bewegungsgleichung im elektromagnetischen Feld her, also von der Lorentzkraft.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Die Ablesung am Newtonmeter ist ja offensichtlich invariant. |
Stimmt.
Aber um das zu verwenden, musst du erst den Zusammenhang zwischen den dynamischen Größen und der abgelesenen Größe konstruieren. Nachdem keine der dynamischen Größen eine lorenzinvariant ist, die abgelesene Größe jedoch eine solche sein soll, ist der Zusammenhang offensichtlich nicht trivial. Ich weiß nicht, ob wir das für deinen Fall vernünftig hinbekommen, im folgenden ein einfaches Beispiel, wie das funktionieren könnte:
Betrachten wir ein Photon mit Viererimpuls p sowie einen Beobachter mit Vierergeschwindigkeit v. Die Lorentz-invariante Messgröße, nämlich die Energie, die dieser Beobachter diesem Photon und zuschreibt, lautet
 = v_\mu p^\mu)
Das ist aber nicht identisch mit der 0-Komponente p° des Vierervektor p, die man gemeinhin als Energie des Fotos bezeichnen würde, denn diese ist gerade nicht invariant.
Du müsstest also ausgehend von der kovarianten Form der Lorenzkraft eine derartige invariante Messgröße, die man auf einem Newtonmeter abschließt, konstruieren. Dabei geht vermutlich wiederum die Vierergeschwindigkeit v des Beobachters ein.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 906
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| Sonnenwind Verfasst am: 17. Okt 2024 11:52 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Für die Bewegung einer elektrischen Ladung im elektromagnetischen Feld ist in
bzw.
keine der beteiligten Größen invariant; die Formulierung ist nicht mal kovariant. |
Warum muss man immer mit Kanonen auf Spatzen schießen?
In einem elektrostatischen Feld bewege man eine Ladung von P nach Q.
Dann ist ja wohl die vollbrachte Arbeit W unabhängig von Weg und Anfangsgeschwindigkeit (mit Ausnahme der Bremsstrahlung, die wir unberücksichtigt lassen wollen).
Man kann auch noch das elektrische Feld E räumlich konstant und eindimensional betrachten.
Wie verhält sich W, F und s im Laborsystem und im mitbewegten Ladungssystem?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 17. Okt 2024 12:20 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Für die Bewegung einer elektrischen Ladung im elektromagnetischen Feld ist in
bzw.
keine der beteiligten Größen invariant; die Formulierung ist nicht mal kovariant. |
Warum muss man immer mit Kanonen auf Spatzen schießen? |
Weil das hier
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Die gewonnene Energie muss aber für beide Systeme gleich sein ... Kraft ist doch etwas, das man mit einem Newtonmeter messen könnte und die Anzeige muss doch invariant sein. |
zeigt, dass es anders nicht geht.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | In einem elektrostatischen Feld bewege man eine Ladung von P nach Q.
Dann ist ja wohl die vollbrachte Arbeit W unabhängig von Weg und Anfangsgeschwindigkeit |
Ja. In einem festen Bezugsystem, mit einer nicht-relativistischen Definition von Arbeit.
Aber sie ist nicht unabhängig vom Bezugsystem, was du ja oben ohne Definition, Konstruktion und Beweis behauptest.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Wie verhält sich W, F und s im Laborsystem und im mitbewegten Ladungssystem? |
Nicht kovariant, solange du das nicht kovariant definierst.
Also entweder tust du das, oder du lässt es bleiben. |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 906
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| Sonnenwind Verfasst am: 17. Okt 2024 12:47 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | In einem elektrostatischen Feld bewege man eine Ladung von P nach Q.
Dann ist ja wohl die vollbrachte Arbeit W unabhängig von Weg und Anfangsgeschwindigkeit |
Ja. In einem festen Bezugsystem, mit einer nicht-relativistischen Definition von Arbeit.
Aber sie ist nicht unabhängig vom Bezugsystem, was du ja oben ohne Definition, Konstruktion und Beweis behauptest. |
Wenn ich die Ladung mit einem Newtonmeter entgegen der elektrostatisch bedingten Kraft auf der konstanten Geschwindigkeit v halte, dann erbringt das elektrische Feld Arbeit.
Diese Arbeit kann ich z.B. mittels Strömungswiderstand in Wasser einleiten und damit das Newtonmeter auf konst. v halten. Du möchtest doch nicht ernsthaft behaupten, die eingeleitete Wärmemenge wäre von Bezugssystem abhängig.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 17. Okt 2024 22:35 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | In einem elektrostatischen Feld bewege man eine Ladung von P nach Q.
Dann ist ja wohl die vollbrachte Arbeit W unabhängig von Weg und Anfangsgeschwindigkeit |
Ja. In einem festen Bezugsystem, mit einer nicht-relativistischen Definition von Arbeit.
Aber sie ist nicht unabhängig vom Bezugsystem, was du ja oben ohne Definition, Konstruktion und Beweis behauptest. |
Wenn ich die Ladung mit einem Newtonmeter entgegen der elektrostatisch bedingten Kraft auf der konstanten Geschwindigkeit v halte, dann erbringt das elektrische Feld Arbeit. |
Ja.
Aber warum sollte diese Arbeit unabhängig vom Beobachter bzw. Bezugsystem sein?
Lassen wir doch das homogene Feld die Arbeit verrichten und die Ladung beschleunigen:
Mit der 3er-Geschwindigkeit v gilt
 )
Damit sind die Änderung der kinetischen Energie und somit die verrichtete Arbeit sicher nicht lorentzinvariant.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Diese Arbeit kann ich z.B. mittels Strömungswiderstand in Wasser einleiten und damit das Newtonmeter auf konst. v halten. Du möchtest doch nicht ernsthaft behaupten, die eingeleitete Wärmemenge wäre von Bezugssystem abhängig. |
Ich möchte nicht mittels relativistischer thermodynamischer Größen wie Temperatur und Wärme argumentieren. Das ist heikel und nach meinem Kenntnisstand noch strittig.
Tatsache ist aber folgendes: Betrachten wir einen kleinen Körper, der eine größere endliche Wasserkugel durchdringt und dabei abgebremst wird. Dabei wird Energie auf die Wasserkugel übertragen, diese also beschleunigt, deformiert und erwärmt. Der Gesamtenergieübertrag von dem kleinen Körper auf die Wasserkugel ist wiederum nicht unabhängig vom Beobachter.
Eine invariante Definition der Arbeit analog zum Falle des Photons oben wäre zu diskutieren; diese hängt sicher von einem externen Beobachter ab.
Eine intrinsische Definition ist nicht sinnvoll. Betrachten wir dazu
mit
Dann ist entlang der Weltlinie
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Die Ablesung am Newtonmeter ist ja offensichtlich invariant. |
Ja.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Kraft ist doch etwas, das man mit einem Newtonmeter messen könnte und die Anzeige muss doch invariant sein. |
Dazu fehlt bisher eine geeignete mathematische Definition sowie deren Verknüpfung mit der Messung.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Sowohl im Laborsystem als auch im mitbewegten System der Ladung ist die Kraft … Bewegt sich die Ladung jedoch mit relativistischer Geschwindigkeit … Die gewonnene Energie muss aber für beide Systeme gleich sein |
Nein, s.o.
Wenn du verstanden hast, wie und warum es nicht geht, können wir eine Lösung konstruieren.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 906
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| Sonnenwind Verfasst am: 18. Okt 2024 08:14 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Tatsache ist aber folgendes: Betrachten wir einen kleinen Körper, der eine größere endliche Wasserkugel durchdringt und dabei abgebremst wird. Dabei wird Energie auf die Wasserkugel übertragen, diese also beschleunigt, deformiert und erwärmt. Der Gesamtenergieübertrag von dem kleinen Körper auf die Wasserkugel ist wiederum nicht unabhängig vom Beobachter. |
Dieser Versuchsaufbau ist etwas ungünstig, da das Wasser wegspritzt und auch Impuls aufnimmt.
Nehmen wir besser folgenden Versuch: Jemand schießt in einem geschlossenen Raum durch eine enge Öffnung in einen Wassertank. Nachdem sich das Wasser beruhigt hat, misst man seine Temperatur.
Der Impuls und auch der Rückstoß des Geschosses wird dabei vom Boden des Raumes aufgenommen und stört die Überlegung nicht.
Ich glaube niemals, dass die Temperaturzunahme des Wassers davon abhängt, wie sich derjenige bewegt, der das Thermometer abliest.
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 18. Okt 2024 12:11 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Tatsache ist aber folgendes: Betrachten wir einen kleinen Körper, der eine größere endliche Wasserkugel durchdringt und dabei abgebremst wird. Dabei wird Energie auf die Wasserkugel übertragen, diese also beschleunigt, deformiert und erwärmt. Der Gesamtenergieübertrag von dem kleinen Körper auf die Wasserkugel ist wiederum nicht unabhängig vom Beobachter. |
Dieser Versuchsaufbau ist etwas ungünstig, da das Wasser wegspritzt und auch Impuls aufnimmt.
Nehmen wir besser folgenden Versuch: Jemand schießt in einem geschlossenen Raum durch eine enge Öffnung in einen Wassertank. Nachdem sich das Wasser beruhigt hat, misst man seine Temperatur.
Der Impuls und auch der Rückstoß des Geschosses wird dabei vom Boden des Raumes aufgenommen und stört die Überlegung nicht.
Ich glaube niemals, dass die Temperaturzunahme des Wassers davon abhängt, wie sich derjenige bewegt, der das Thermometer abliest. |
Ich schon.
Nehmen wir ein Spektrometer, das das Strahlungsspektrum (des als ideal schwarzen Körper angenommenen Tanks) misst.
 \sim \frac{1}{e^{E / kT} - 1})
(Ich verzichte der Einfachheit halber auf eine mögliche Winkelabhängigkeit)
Die gemessene Energie E ist jedoch abhängig von der Bewegung des Thermoelements. Diese transformiert sich entsprechend der Doppler-Verschiebung gemäß
wobei Lambda die Lorentz-Transformation und v die Relativgeschwindigkeit bezeichnet. Man erhält
Die vom Spektrometer gemessene Temperatur verschiebt sich demnach gemäß
q.e.d.
https://en.wikipedia.org/wiki/Black-body_radiation#Doppler_effect
Du begehst m.E. mehrere Denkfehler:
1. du unterscheidest nicht zwischen Lorentz-Invarianz und Beobachter-Abhängigkeit
2. du machst dir den Unterschied zwischen den tatsächlich invarianten Messgrößen und den verwendeten dynamischen Größen nicht klar
3. du vergisst, dass Messgrößen vom Beobachter und von der Messmethode abhängen
4. du rechnest nichts
Gehen wir das mal im Detail durch.
Ein Photonengas in einem Behälter hat eine innere Energie U und demnach eine invariante Masse M mit
Gleichzeitig muss der Behälter strahlen, hat also eine "intrinsische" Temperatur T, die der des Gases entspricht.
Als Messgröße zur Bestimmung der Temperatur dient die Energie einzelner Photonen im Bezugsystem des Beobachters.
In irgendeinem Bezugsystem gilt für den Photon-Viererimpuls
)
und für die Vierer-Geschwindigkeit des Beobachters
)
Die invariante Messgröße je Beobachter lautet
Ausgewertet im Ruhesystem des Beobachters gilt
)
 = p^0 )
Ein Wechsel des Koordinatensystems ändert diese Messgröße nicht, da
Jedoch aufgrund der Eigenschaft von Lambda
 = v_\mu p^\mu \to v^\prime_\mu {p^\prime}^\mu = E_v(p))
D.h. die Berechnung ist unabhängig davon, in welchem Koordinatensystem sie durchgeführt wird; die Messgröße E ist also Lorentz-invariant.
Sie ist aber nicht Beobachter-unabhängig. Ein anderer Beobachter
misst für das selbe Photon
die neue Messgröße
 =\bar{v}_\mu p^\mu \neq E_v(p) )
Beachte, dass das selbe algebraische Objekt Lambda in zwei verschiedenen Rollen auftritt. im ersten Fall werden alle Größen einer Lorentz-Transformation unterworfen. Im zweiten Fall definiert man einen anderen Beobachter mittels Boost, während alle anderen Größen nicht Lorentz-transformiert werden.
Deswegen sind die Messgrößen Lorentz-invariant jedoch Beobachter-abhängig.
Dass man das normalerweise nirgendwo zu lesen bekommt und beides immer in einen Topf geworfen wird, ist m.E. pädagogisch Bullshit!
Warum ist eine Messgröße immer eine Invariante? Weil das Messgerät diese in eine Anzeige übersetzt, z.B. 5 kg, 20 Nm, 100 kJ, 0.8 ms usw. und diese Anzeige ist natürlich Lorentz-invariant.
Nehmen wir die beiden unterschiedlichen Beobachter B1 und B2, die jeweils ein Photon aus der selben monochromatischen Lichtquelle z.B. einem Laser messen. B1 befinde sich zum Laser relativ in Ruhe, B2 bewege sich relativ zu B1 und zum Laser mit einer gewissen Geschwindigkeit. Der Laser emittiere laut Datenblatt Photonen im UV-Bereich, sagen wir 1.1 eV. B1 misst also 1.1 eV, B2 z.B. 1.2 eV. Liest B2 nun das Messgerät von B1 ab, so steht dort 1.1 eV, umgekehrt liest B1 am Messgerät von B2 1.2 eV. ab. Da sie die beiden Gleichungen oben kennen, können sie das ineinander umrechnen und stimmen darüber überein, dass zwei verschiedene jeweils Lorentz-invariante jedoch Beobachter-abhängige Messgrößen vorliegen.
Zurück zum Photonengas:
Ausgehend von den Messgrößen für viele einzelne Photonen mit Viererimpulsen p
 = v_\mu p^\mu \stackrel{\beta = 0}{\longrightarrow} p^0 )
 = \bar{v}_\mu p^\mu \stackrel{\bar{\beta}}{\longrightarrow} \Lambda_{\bar{\beta}} \, p^0 )
leiten die Beobachter mittels Thermoelementen anhand des Spektrums sowie der Beziehungen
}{kT} \to \frac{p^0}{kT})
}{kT} \to \frac{\Lambda_{\bar{\beta}} \, p^0}{kT})
die Temperaturen d.h. indirekte und wiederum Lorentz-invarianten Messgrößen
ab.
(Ich betrachte für die Transformation des Spektrums nur die Anzahl der Photonen pro Energieintervall, eigtl. müsste man noch Zeitintervalle, Winkel d.h. Photonen pro Raumwinkel usw. berücksichtigen; dadurch ändert sich nichts an der wesentlichen Aussage, die Transformation wird nur unübersichtlicher).
Nimmt nun ein Körper Energie in Form von Wärme auf, wodurch sich seine "intrinsische" Temperatur T erhöht (und wobei wir Verformung, Rückstoß etc. ignorieren), so gilt
 = T_{\bar{\beta}} + \Delta T_{\bar{\beta}} )
Ich hoffe, das ist jetzt klar.
Eine ähnliche Überlegung ist für die Arbeit (oder auch für die Kraft) notwendig, also z.B.
 = dx_\mu \, F^\mu \* \to^\ast \; d\tau \, v_\mu \, F^\mu)
wobei * die nur gilt, wenn dx zeitartig ist und damit mit einer Vierergeschwindigkeit assoziiert werden kann. Jedes Linienelement dx definiert eine eigene Observable, zunächst als mathematische Größe; für diese gilt es dann, eine experimentell realisierbare Messvorschrift zu finden.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 906
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| Sonnenwind Verfasst am: 18. Okt 2024 13:27 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Tatsache ist aber folgendes: Betrachten wir einen kleinen Körper, der eine größere endliche Wasserkugel durchdringt und dabei abgebremst wird. Dabei wird Energie auf die Wasserkugel übertragen, diese also beschleunigt, deformiert und erwärmt. Der Gesamtenergieübertrag von dem kleinen Körper auf die Wasserkugel ist wiederum nicht unabhängig vom Beobachter. |
Dieser Versuchsaufbau ist etwas ungünstig, da das Wasser wegspritzt und auch Impuls aufnimmt.
Nehmen wir besser folgenden Versuch: Jemand schießt in einem geschlossenen Raum durch eine enge Öffnung in einen Wassertank. Nachdem sich das Wasser beruhigt hat, misst man seine Temperatur.
Der Impuls und auch der Rückstoß des Geschosses wird dabei vom Boden des Raumes aufgenommen und stört die Überlegung nicht.
Ich glaube niemals, dass die Temperaturzunahme des Wassers davon abhängt, wie sich derjenige bewegt, der das Thermometer abliest. |
Ich schon.
Nehmen wir ein Spektrometer, das das Strahlungsspektrum (des als ideal schwarzen Körper angenommenen Tanks) misst.
(Ich verzichte der Einfachheit halber auf eine mögliche Winkelabhängigkeit)
Die gemessene Energie E ist jedoch abhängig von der Bewegung des Thermoelements. Diese transformiert sich entsprechend der Doppler-Verschiebung gemäß
wobei Lambda die Lorentz-Transformation und v die Relativgeschwindigkeit bezeichnet. Man erhält
Die vom Spektrometer gemessene Temperatur verschiebt sich demnach gemäß
q.e.d.
https://en.wikipedia.org/wiki/Black-body_radiation#Doppler_effect |
Ich steige schon an dieser Stelle aus. Wenn ich messen will, wieviel Wärme bzw. Energie der Wassertank aufgenommen hat und benutze ein Spektrometer, so muss ich als bewegter Messbeauftragter selbstverständlich den Doppler-Effekt wieder herausrechnen.
Wenn ich das Abstrahlspektrum von Sternen messe, dann muss ich das ja auch tun. Oder wird der Stern etwa kälter, weil er sich von uns wegbewegt?
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 18. Okt 2024 14:15 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Ich steige schon an dieser Stelle aus. Wenn ich messen will, wieviel Wärme bzw. Energie der Wassertank aufgenommen hat und benutze ein Spektrometer, so muss ich als bewegter Messbeauftragter selbstverständlich den Doppler-Effekt wieder herausrechnen. |
Das kannst du tun,
1. sobald du dir die Herleitung klar gemacht hast
2. wenn du das möchtest – wobei das nichts an der eigentlichen Messgröße ändert
3. wenn es überhaupt möglich ist – für ein einzelne Photon ohne Kenntnis der Quelle und deren Relativgeschwindigkeit ist es unmöglich.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Wenn ich das Abstrahlspektrum von Sternen messe, dann muss ich das ja auch tun. Oder wird der Stern etwa kälter, weil er sich von uns wegbewegt? |
Wie willst du denn die Relativbewegung des Sterns aus dem Spektrum herausrechnen, wenn du erst auf Basis dieser Messung zusammen mit Modellen und weiteren Annahmen diese Relativbewegung ermitteln kannst?
Die von mir o.g. lokalen, Lorentz-invarianten und Beobachter-abhängigen Observablen
 = dx_\mu F^\mu)
(und weitere für andere Größen) sind das theoretische Minimum – ohne Annahmen oder Modelle zu irgendetwas anderem irgendwo anders; und du wirst das ganze nur verstehen, wenn du von diesem theoretischen Minimum her denkst.
Außerdem sind die fundamentalen dynamischen Größen wie der Viererimpuls p oder die Kraft F keine Observablen, da sie nicht Lorentz-invariant sind.
(und natürlich muss man für andere Fragestellung weitere Größen betrachten, z.B. für den Elektromagnetismus) |
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