biegemoment herleitung

leylanur · Anmeldungsdatum: 05.01.2019 Beiträge: 1

Meine Frage:
Wieso bestimme ich das Biegemoment durch die Doppelintegration von q?? was habe ich wenn ich die Kraft nur einmal integriere?

Meine Ideen:
Ist q die Kraft, die auf jeden Punkt wirkt?

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Vielleicht doch mal längerer Text.

Stell da mal ein Brett vor mit Länge L und Breite B.

Auf den Brett liegt überall gleich hoch Schnee gleicher Dichte.
Das heißt auf den Brett lastet über die gesamte Fläche der gleiche Druck.

Jetzt könnten wir ja hergehen und die Länge L des Brettes betrachten und sagen auf jeden Meter dieser Länge wirkt diesselbe Kraft, denn hinter jeden Meter dieser Länge steht ja auch die selbe Breite und somit die selbe Fläche und gleicher Druck.

z.B. auf jeden Meter wirken z.B. 100 Newton, also 100 Newton pro Meter

Das nennen wir Streckenlast

Wenn wir jetzt die Kraft über die gesamte Länge wissen wollen, bräuchten wir einfach nur Rechnen

Jetzt führen wir eine Koordinate x auf der Länge ein. x geht von 0 bis L

und tragen in einem F - x Diagramm den Wert der Kraft für jede Länge von 0 bis x auf, das wäre ja einfach

wenn x=L hätten wir zum Schluss die gesamte Kraft aufs Brett.
Wir hätten also ein Gerade in diesem Diagramm und die Steigung wäre die Streckenlast q.

Wenn wir jetzt einen Auschnitt betrachten zum Beispiel von x1 auf x2

und die Differnz bilden

dann wäre das

ja nichts anders, als umwieviel die Kraft des Brettes über den Bereich

zunimmt und das ist gleichbedeutend, wie die Kraft die über diesen Längenabschnitt wirkt.

Dieses

können wir jetzt unendlich klein machen

und schreiben dx und das multipliziert mit q liefert uns eine unendliche kleine Kraftdifferenz im Diagramm über diesen Abschnitt, die gleichbedeutend ist mit der Kraft die über diesen unendlich kleinen Abschnitt wirkt.

Nächster Schritt.

Wenn wir jetzt die Länge L in lauter unendlich kleine Abschnitte aufteilen, dann kann es ja durchaus sein das über jeden unendlich kleinen Abschnitt nicht diesselbe Kraft wirkt und somit sich nicht dieselbe Kraftdifferenz im F-x Diagramm über dx einstellt, weil zum Beispiel der schnee nicht überall gleich hoch ist, sondern der Schnee über das Brett von links nach rechts immer höher wird.

Wir hätten also dann über jeden kleinen Abschnitt nicht denselben q Wert sondern der würde über x zunehmen. wir hätten also eine von x abhängige Streckenlast q(x).

wenn wir ein q -x Diagramm zeichnen, dann wäre wenn der Schnee überall die gleiche Höhe hat, q über die gesamte Länge x konstant. Also eine horizontal Gerade.
Wenn er von links nach rechts an Höhe gewinnt, wäre es keine horizontale Gerade mehr, sondern eine Steigende Gerade oder sogar ne Kurve abhängig wie er zunimmt.

die Fläche q*dx in diesem Diagramm ergibt uns dF die Kraft die in diesem Abschnitt wirkt, und im F-x Diagramm umwieviel der Kraftwert über diesem Abschnitt dx zunimmt.

und die Summe aller q*dx im Bereich x1 bis x2 ergibt uns die Kraft die im Abschnitt x1 bis x2 wirkt
Also wir teilen die Länge von x1 bis x2 in unendlich kleine Abschnitte auf und summieren diese

und für die gesamte Kraft über die Länge L

Nächster Schritt Drehmoment.

Drehmomente berechnet man bezüglich Bezugspunkte
Wir legen die x Koordinate wieder am Start der Länge, wie vorher und das sei unser Bezugspunkt für das Drehmoment.
Wir wissen jetzt das die Kraft dF die über einen unendlich kleinen Abschnitt wirkt sich wie folgt berechnet.

betrachten wir einen Abschnitt dx an der Stelle x, dann wäre das Kraftmoment (Drehmoment, Biegemoment) dieser Kraft die im Abschnitt dx wirkt auf unseren Bezugspunkt einfach

das wäre das Kraftmoment das über diesen Abschnitt von der Kraft des Abschnitts erzeugt wird.

Summieren wir wieder über alle Kraftmomente der unendlich kleinen Abschnitte von x1 bis x2 auf , dann hätten wir das gesamte Kraftmoment was die vielen unendlich kleinen Kräfte in diesem Abschnitt auf den Bezugspunkt erzeugen.

und wollen wir das Drehmoment das die Kräfte über das gesamte Brett erzeugen.