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Physik2018
Anmeldungsdatum: 27.05.2018
Beiträge: 35
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 Physik2018 Verfasst am: 30. Jun 2018 22:14 Titel: Lineare harmonische ungedämpfte Schwingung |
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Meine Frage:
Eine mit Sand gefüllte Waagschale mit der Masse  hängt an einer Schraubenfeder mit einer Federkonstante von  Eine Kugel der Masse  fällt aus einer Höhe  in die Schale und bleibt nach dem Aufschlag dort liegen.
a) Wie groß ist die Geschwindigkeit der (Waagschale+Kugel) unmittelbar nach dem Aufschlag und die Schwingungsdauer der entstandenen ungedämpften harmonischen Schwingung? Wie weit liegen die alte Ruhelage und der neue Mittelpunkt der Schwingung voneinander entfernt?
b) Wie lauten die Gleichungen für die Abhängigkeit des Ortes und der Geschwindigkeit der Waagschale von der Zeit, wenn der Zeitnullpunktt beim Aufschlag der Kugel liegen soll?
c) Die Kugel liege frei auf der Waagschale. Bleibt sie während der Schwingung liegen oder hebt sie ab?
Meine Ideen:
Ich denke mal, ich kann a) mit der Impulserhaltung rechnen, richtig? Dann gilt also =0,15kg \cdot v_2\Rightarrow v_2=\approx 0,467\frac{m}{s}.) Ist das richtig?
Zu b)
Die allgemeine Bewegungsgleichung =\hat x \cos(\omega_0 t+\phi) ) mit Randbedingungen: =v_0) . Die Geschwindigkeit  ist doch die aus Teil a).
Zu c)
Hier können wir einfach die Beschleunigungen aus b), also ) , mit der Erdbeschleunigung vergleichen. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 6200
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| Myon Verfasst am: 30. Jun 2018 23:32 Titel: |
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a) ist richtig. Gefragt ist auch noch die Periode und die Verschiebung der Ruhelage.
b) Aus der Angabe mit dem Zeitnullpunkt in der Aufgabe ergibt sich eine zweite Randbedingung. Man muss aber etwas aufpassen, schreibt man den Ort x(t) so wie angegeben und bezieht sich damit auf die neue Ruhelage, so gilt x(0)=0 nicht. Die Amplitude der Schwingung kann man z.B. über die Energie berechnen.
Bei der Gleichung für den Ort müsste man vielleicht noch notieren, auf welchen Punkt sich die Koordinate x(t) bezieht. Man könnte ja auch von der ursprünglichen Ruhelage (ist vielleicht sogar so gemeint) oder gar vom Ort der entspannten Feder aus messen.
c) ja, das ist richtig. |
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Physik2018
Anmeldungsdatum: 27.05.2018
Beiträge: 35
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| Physik2018 Verfasst am: 01. Jul 2018 10:25 Titel: |
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Zu a) Die Schwingzeit berechnet sich einfach durch  Wenn ich die Werte einsetze, komme ich zu  Wie rechne ich den Unterschied in der Ruhelage aus?
Zu b) Wie meinst du das mit der Randbedingungen? Wie berechne ich dann die Gleichungen? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 6200
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| Myon Verfasst am: 01. Jul 2018 16:12 Titel: |
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Ich erhalte für die Schwingungsperiode T=1.09s. Vielleicht hast Du irgendwo etwas sehr stark gerundet.
Die Auslenkung der Feder ist proportional zur Kraft, die an ihr zieht, F=k*x. Ist  die alte Ruhelage und  der neue Mittelpunkt der Schwingung, so gilt also (wenn die x-Koordinate nach unten gerichtet ist)
Die Feder wird harmonisch um schwingen:
=x_0'+A\cos(\omega t+\varphi))
Die Amplitude A und der Phasenwinkel  ergeben sich aus den beiden Bedingungen
=v_0)
und
=x_0)
Wahrscheinlich bestimmt man am einfachsten zuerst die Amplitude über die Energie. Es gilt ja
v_0^2+\frac{1}{2}k(x_0-x_0')^2)
Rechts steht die kinetische und potentielle Energie der Schwingung bei t=0.
Zuletzt bearbeitet von Myon am 01. Jul 2018 16:23, insgesamt einmal bearbeitet |
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Physik2018
Anmeldungsdatum: 27.05.2018
Beiträge: 35
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| Physik2018 Verfasst am: 01. Jul 2018 16:18 Titel: |
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Du hast natürlich recht, da konnte ich wohl meine eigene Schrift nicht lesen. Ich rechne die anderen Informationen mal aus und schreibe sie dann hier.
Zuletzt bearbeitet von Physik2018 am 01. Jul 2018 18:54, insgesamt einmal bearbeitet |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 6200
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| Myon Verfasst am: 01. Jul 2018 16:21 Titel: |
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Nein, ich habe mit der gesamten Masse von 150g gerechnet. Oder mach ich sonst irgendwo einen Rechenfehler? Ich erhalte jedenfalls immer noch T=1.09s. |
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Physik2018
Anmeldungsdatum: 27.05.2018
Beiträge: 35
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| Physik2018 Verfasst am: 01. Jul 2018 20:35 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Ich erhalte für die Schwingungsperiode T=1.09s. Vielleicht hast Du irgendwo etwas sehr stark gerundet.
Die Auslenkung der Feder ist proportional zur Kraft, die an ihr zieht, F=k*x. Ist die alte Ruhelage und der neue Mittelpunkt der Schwingung, so gilt also (wenn die x-Koordinate nach unten gerichtet ist)
Die Feder wird harmonisch um schwingen:
Die Amplitude A und der Phasenwinkel ergeben sich aus den beiden Bedingungen
und
Wahrscheinlich bestimmt man am einfachsten zuerst die Amplitude über die Energie. Es gilt ja
Rechts steht die kinetische und potentielle Energie der Schwingung bei t=0. |
Wie definierst du denn die Position der "alten Ruhelage"? Welchen Wert würdest du denn dafür wählen? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 6200
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| Myon Verfasst am: 01. Jul 2018 22:26 Titel: |
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Die alte Ruhelage ist dort, wo die Waagschale in Ruhe ist, bevor die Kugel reinfällt. Man kann den Nullpunkt der x-Koordinate so wählen, wie man möchte (z.B.  oder  ), ebenso, ob die positive x-Richtung nach oben oder nach unten zeigt. |
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Physik2018
Anmeldungsdatum: 27.05.2018
Beiträge: 35
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| Physik2018 Verfasst am: 02. Jul 2018 13:27 Titel: |
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Wenn ich also setze, komme ich zu 
Dann ist v_0^2+\frac{1}{2}k(x_0-\hat{x_0})^2\approx 0,04042J.) Wenn ich das nach  umforme, komme ich zu  . Weiterhin gilt =-A\sin(\omega t+\phi)\cdot \omega = v_0.) Umgeformt nach  erhalte ich ) .  ist hier dann die Kreisfrequenz mit  . Wenn ich alles einsetze, erhalte ich  , wobei die Größe in Grad angegeben sind.\\
Wenn ich ) berechne, komme ich zu \approx 0,467\frac{m}{s}) , was auch gewünscht ist. \approx )
Wenn ich das alles zusammensetze, komme ich zu
=0,0981m+0,4042m\cdot \cos (10t-6,634)) . Stimmt das alles soweit? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 6200
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| Myon Verfasst am: 02. Jul 2018 15:25 Titel: |
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Bei  erhalte ich dasselbe, bei der Energie ebenfalls. Für die Amplitude erhalte ich aber A=0.127m, für den Nullphasenwinkel
=2.45)
Ist aber gut möglich, dass auch mir ein Rechenfehler passiert ist. Bei Deiner Gleichung für x(t) erhalte ich aber nicht x(0)=0, wie es sein müsste. Für die Frequenz erhalte ich übrigens auch etwas anderes - es schwingt die gesamte Masse M+m, nicht nur m. |
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Physik2018
Anmeldungsdatum: 27.05.2018
Beiträge: 35
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| Physik2018 Verfasst am: 02. Jul 2018 17:32 Titel: |
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Ich habe das nochmal in Ruhe durchgerechnet und ich komme auf die gleichen Werte wie du. Jetzt werden auch alle Randbedingungen erfüllt. Ein Problem ist nur, dass bei =-0,468 ) ist.
Zu c) ich muss also sehen, ob  ) größer ode kleiner als die Erdfallbeschleunigung ist. Aber die Größe variiert doch, dann kann ich doch keine Aussage treffen. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 6200
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| Myon Verfasst am: 02. Jul 2018 21:20 Titel: |
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| Physik2018 hat Folgendes geschrieben: | | ...Ein Problem ist nur, dass bei ist. |
Ja, da hast Du recht, das ist tatsächlich ein Problem. Die Ursache liegt darin, dass der Cosinus nicht injektiv und der Arcuscosinus deshalb nicht eindeutig ist. Wählt man  , sollte alles aufgehen.
| Zitat: | | Zu c) ich muss also sehen, ob größer ode kleiner als die Erdfallbeschleunigung ist. Aber die Größe variiert doch, dann kann ich doch keine Aussage treffen. |
Die Frage in der Aufgabe lautet ja nur, ob die Kugel während der Schwingung liegen bleibt oder abhebt. Und sie hebt genau dann ab, wenn ) irgendwann im Lauf einer Periode grösser als g wird (was nicht der Fall ist, da  ). |
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