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Nachricht |
piknockyou
Anmeldungsdatum: 14.10.2014
Beiträge: 76
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 piknockyou Verfasst am: 22. März 2018 11:24 Titel: "Freier Fall" bei Rotation - Dauer berechnen |
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Hallo,
Ich habe mir folgende stark vereinfachte Aufgabe gestellt (siehe Abbildung), damit ich ungefähr die Berechnungszeit einer FEM-Simulation einschätzen kann:
Eine massebehaftete, somit auch massenträgheitsbehaftete Kugel ist mit einer masselosen, starren Stange festverbunden.
Die masselose Stange ist am untere Ende drehgelagert.
Der Abstand von der Drehlagerachse bis zum Massenschwerpunkt der Kugel beträgt R.
Die Kugel wird von einer bestimmten Höhe fallen gelassen und dem freien Fall ausgesetzt.
Jegliche Art von Reibung wird vernachlässigt.
Welche Zeit vergeht, bis der Drehwinkel Theta bzw. die Fallhöhe h erreicht wird?
LG
EDIT: Alle Parameter auf der Abbildung außer die Zeit t sind bekannt und müssen daher nicht berechnet werden.
| Beschreibung: |
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Rotation.PNG |
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307 mal |
Zuletzt bearbeitet von piknockyou am 24. März 2018 12:05, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 6119
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 22. März 2018 14:27 Titel: |
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Nach EES:
r = Radius der Kugel
m = Masse der Kugel
R = Länge der Stange
 )
führt zu der Integralgleichung
 } }=\sqrt{\frac{2\cdot g\cdot R}{\frac{2}{5} \cdot r^{2} + R^{2} }} \cdot \int \dd t )
Elementar nicht lösbar.  Wenigstens nicht von mir. 
Näherungslösung durch Reihenentwicklung.
Google unter "Mathematisches Pendel" Abschnitt exakte Lösung
https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Pendel
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piknockyou
Anmeldungsdatum: 14.10.2014
Beiträge: 76
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| piknockyou Verfasst am: 23. März 2018 11:18 Titel: |
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Vielen Dank für die ausführliche Herleitung!
Warum schreibst du für die Höhe zur Berechnung von E_pot: ) ?
Möchtest du damit h berechnen? Das ist doch kein rechtwinkliges Dreieck. Damit kriegst du doch eine ganz andere Höhe heraus als h. (oder?)
Was ich wohl noch dazu hätte sagen sollen:
Alle Parameter auf der Abbildung außer die Zeit t sind bekannt.
Das Massenträgheitsmoment um die Drehachse J und die senkrechte Höhe h müssen daher nicht berechnet werden.
Im übrigen handelt es sich um einen viel komplexeren Körper als nur eine Kugel.
Wärst du so nett, noch einmal mit diesem Wissen, die Integralgleichung aufzustellen? 
Zuletzt bearbeitet von piknockyou am 24. März 2018 07:33, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 6119
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 23. März 2018 13:23 Titel: |
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| piknockyou hat Folgendes geschrieben: | Vielen Dank für die ausführliche Herleitung!
Warum schreibst du für die Höhe zur Berechnung von E_pot: ?
Möchtest du damit h berechnen? Das ist doch kein rechtwinkliges Dreieck. Damit kriegst du doch eine ganz andere Höhe heraus als h. (oder?)
Was ich wohl noch dazu hätte sagen sollen:
Alle Parameter auf der Abbildung außer die Zeit t sind bekannt.
Das Massenträgheitsmoment um die Drehachse J und die senkrechte Höhe h müssen daher nicht berechnet werden.
Im übrigen handelt es sich um einen viel komplexeren Körper als nur eine
Wärst du so nett, noch einmal mit diesem Wissen, die Integralgleichung aufzustellen? |
Ich hatte den gestrichelten Radius als Andeutung einer Bewegung und nicht als Ende des Drehwinkels interpretiert.
Bekannt sein muss der Winkel zwischen Stange und Ebene durch den Drehpunkt als Ausgangsposition. Ich nenne ihn 
Wenn die Stange sich im Uhrzeigersinn um den Winkel aus der Ausgangsposition gedreht hat, gilt für die Höhe h
 - \sin(\alpha - \theta_{B}) ))
Die Integralgleichung lautet dann
 - \sin(\alpha - \theta_{B} ) } }=\sqrt{\frac{2\cdot g\cdot R}{\frac{2}{5} \cdot r^{2} + R^{2} }} \cdot \int \dd t )
und ist damit noch unerfreulicher.
Wenn I = I_S unter Beachtung von Steiner bekannt ist, lautet die Integralgleichung
 - \sin(\alpha - \theta_{B} ) } }=\sqrt{\frac{2\cdot m\cdot g\cdot R}{I_S} } \cdot t )
 - \sin(\alpha - \theta_{b} ) } })
Wie bereits gesagt, eine elementare Lösung ist mir nicht bekannt.
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piknockyou
Anmeldungsdatum: 14.10.2014
Beiträge: 76
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| piknockyou Verfasst am: 24. März 2018 12:14 Titel: |
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Aaaah, jetzt verstehe ich!
Die Höhe h kannst du nicht ohne Weiteres in die Gleichung einsetzen, weil es von Theta abhängig ist und beim Integrieren berücksichtigt werden muss!
Was wären in meinem Fall den die Grenzen Theta_2 und Theta_1?
Vielen vielen Dank!
Das kann ich wohl ohne Weiteres über WolframAlpha numerisch lösen.
Wenn etwas nicht klappt, sage ich Bescheid.
Zusatzfrage: Meinst du intuitiv oder sogar sicher, dass ich die gleiche Gleichung verwenden kann, wenn ich sogar die Zeit berechnen möchte, wenn die Masse über die Horizontale oder gar im untersten Punkt über die Vertikale schwingt?
Herzlichen Dank nochmal!
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 6119
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 24. März 2018 13:55 Titel: |
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| piknockyou hat Folgendes geschrieben: | Aaaah, jetzt verstehe ich!
Die Höhe h kannst du nicht ohne Weiteres in die Gleichung einsetzen, weil es von Theta abhängig ist und beim Integrieren berücksichtigt werden muss!
Was wären in meinem Fall den die Grenzen Theta_2 und Theta_1?
Vielen vielen Dank!
Das kann ich wohl ohne Weiteres über WolframAlpha numerisch lösen.
Wenn etwas nicht klappt, sage ich Bescheid.
Zusatzfrage: Meinst du intuitiv oder sogar sicher, dass ich die gleiche Gleichung verwenden kann, wenn ich sogar die Zeit berechnen möchte, wenn die Masse über die Horizontale oder gar im untersten Punkt über die Vertikale schwingt?
Herzlichen Dank nochmal! |
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Antwort zur Zusatzfrage:
Ja.  kannst Du frei wählen. Beachte die Regel, wenn  ist.
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