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ZuWeitAusDemFensterGelehn
Gast
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 ZuWeitAusDemFensterGelehn Verfasst am: 16. Feb 2018 14:56 Titel: Massenschwerpunkt eines Stabes aus zwei Materialien |
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Meine Frage:
Ein Stab hat eine Gesamtlänge von 136,2 cm. An einem Ende ist das Material Messing. Der Rest ist aus Eisen. Der Teil aus Messing mit einer Dichte von 8,410 g/cm³ ist 11 cm lang, die Dichte des Eisens ist 7,874 g/cm³. Nach dem Teilen sollen beide Stücke die gleiche Masse haben. Ein Teil ist nach der Teilung nur aus Eisen. Der andere Teil ist aus Messing und Eisen.
Wieviele mm lang muss dazu im kombinierten Messing-Eisen-Teil der reine Eisenteil sein?
Meine Ideen:
Befindet sich der Stab in der "Waage" muss das auch der Punkt sein, wo er in zwei gleich schwere Stücke zerteilt wird. Ohne Durchmesser finde ich aber keinen Ansatz. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5865
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 17. Feb 2018 15:58 Titel: |
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Der Stab stehe senkrecht, Der untere Teil bestehe aus Fe der obere aus Ms.
M = Moment
s = Abstand Schwerpunkt zur Unterkante
A = Querschnittsfläche des Stabs = const.
Massen
Momente bezogen auf die Unterkante des Stabes
 )
 \cdot s)
Summe der Momente = 0
 }{ A\cdot \varrho_ {Fe}\cdot l_{Fe}+ A\cdot \varrho_ {Ms}\cdot l_{Ms}})
} )
Tippfehler korrigiert.
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 23. Feb 2018 18:04, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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ZuWeitAusDemFensterGelehn
Gast
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| ZuWeitAusDemFensterGelehn Verfasst am: 21. Feb 2018 21:48 Titel: Ich habs jetzt auch |
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Vielen Dank für deine Antwort. Sowas habe ich lange nicht rechnen müssen. Die Erinnerung kommt aber langsam zurück. Inzwischen habe auch ich eine einfachere, nicht so wissenschaftliche Lösung gefunden:
Die Gewichte sind für alle Durchmesser immer proportional zueinander?
Ich habe einfach das spezifische Gewicht mit der Länge multipliziert.
11 cm --> 92,51 kg
125,2 cm --> 985,82 kg
Zusammen: 1078,33 kg
Hälfte: 539,1674 kg --> Soviel wiegt der reine Eisenstab nach dem Teilen.
Jetzt noch ein bischen Dreisatz:
Länge: 68,47 cm
Gemischt: 67,72 cm
Messing abziehen: 56,72 cm Eisenstück
Ja, nicht ganz der richtige Lösungsweg und sicher nicht die tatsächlichen Gewichte. Aber die richtige Lösung.
Das hat mir jedenfalls der befreundete Geocacher gesagt, der mich um Hilfe gebeten hat. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5863
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| Myon Verfasst am: 21. Feb 2018 22:41 Titel: |
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Auch formelmässig ist es nicht schwieriger als mit einem Dreisatz: aus der Gleichung für die gleichen Massen der beiden Teile
\rho_\mathrm{E}=x\rho_\mathrm{E}+l_\mathrm{M}\rho_\mathrm{M})
folgt für die gesuchte Grösse
\rho_\mathrm{E}-l_\mathrm{M}\rho_\mathrm{M}}{2\rho_\mathrm{E}})
...was genau zu Deinem Ergebnis führt.
PS: Und Dein Lösungsweg ist absolut richtig überlegt. Es können natürlich nicht die „richtigen“ Gewichte sein, der Querschnitt des Stabs ist ja nicht mal bekannt. Aber das spielt ja hier gar keine Rolle. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5863
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| Myon Verfasst am: 22. Feb 2018 15:56 Titel: |
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Noch eine Bemerkung: der Titel zu diesem Thread könnte zu Missverständnissen führen. Bei der obigen Aufgabe geht es nicht um den Schwerpunkt des Stabs, und der Schwerpunkt liegt auch nicht in der gesuchten Ebene, welche den Stab in zwei massegleiche Teile trennt. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5865
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 23. Feb 2018 10:42 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Noch eine Bemerkung: der Titel zu diesem Thread könnte zu Missverständnissen führen. Bei der obigen Aufgabe geht es nicht um den Schwerpunkt des Stabs, und der Schwerpunkt liegt auch nicht in der gesuchten Ebene, welche den Stab in zwei massegleiche Teile trennt. |
@Myon
Vielen Dank für Deinen Hinweis. Ich habe mich bei meiner Lösung durch den Titel leiten lassen und den Schwerpunkt berechnet.
Er liegt bei
oberhalb der "Eisenkante". |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5863
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| Myon Verfasst am: 23. Feb 2018 11:07 Titel: |
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Ja, ich habe mir dann nachträglich gedacht, dass Du den Schwerpunkt berechnet hast. Der Titel hat mich plötzlich etwas verwirrt. Was mich bei Deiner Lösung etwas wundern würde: eigentlich müsste der Schwerpunkt doch eher in der Stabhälfte mit dem Messing liegen, da Messing die höhere Dichte hat. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 23. Feb 2018 11:13 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | eigentlich müsste der Schwerpunkt doch eher in der Stabhälfte mit dem Messing liegen, da Messing die höhere Dichte hat. |
Liegt er doch auch. Denn der von Mathefix berechnete Schwerpunkt ist vom "Messingende" aus gemesssen. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5865
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 23. Feb 2018 12:28 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Ja, ich habe mir dann nachträglich gedacht, dass Du den Schwerpunkt berechnet hast. Der Titel hat mich plötzlich etwas verwirrt. Was mich bei Deiner Lösung etwas wundern würde: eigentlich müsste der Schwerpunkt doch eher in der Stabhälfte mit dem Messing liegen, da Messing die höhere Dichte hat. |
Lt. Aufgabenstellung hat der Messingteil eine Länge von 11 cm, der Eisenteil 125,2 cm. Der Massenanteil Eisen ist >> als der Messinganteil.
Ich hatte als Bezugsebene die "Eisenkante" gewählt.
Der Schwerpunkt liegt im "Eisenteil". |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 23. Feb 2018 14:04 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Ich hatte als Bezugsebene die "Eisenkante" gewählt. |
Dann ist allerdings der von Dir berechnete Schwerpunktsabstand von der Eisenkante von 57, .. cm falsch. denn der Schwerpunktabstand, von der Eisenkante aus gemessen, muss größer als die halbe Gesamtlänge der Stange sein, da das Messingende eine größere Dichte aufweist. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5863
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| Myon Verfasst am: 23. Feb 2018 14:37 Titel: |
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Also wenn ich jetzt vom Stabende, das aus Eisen besteht, messe, und den Schwerpunkt ganz einfach aus den gewichteten Schwerpunkten des Eisen- und des Messingteils bilde, also
\cdot l_\mathrm{M}\cdot\rho_\mathrm{M}}{l_\mathrm{E}\cdot\rho_\mathrm{E}+l_\mathrm{M}\cdot\rho_\mathrm{M}})
erhalte ich s=68.44 cm, was ein wenig näher beim Messing- als beim Eisenende liegt. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 23. Feb 2018 15:12 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | erhalte ich s=68.44 cm, was ein wenig näher beim Messing- als beim Eisenende liegt. |
So ist es.
Was den von Mathefix errechneten Wert angeht, liegt vermutlich ein Missverständnis vor - zunächst auch bei mir. Ich vermute jedenfalls, dass Mathefix den in der Aufgabenstellung gefragten Eisenanteil im Eisen-Messing-Stück errechnet hat, den allerdings um 1cm falsch.
Wenn der gesamte Stab in zwei Teile gleicher Masse zerlegt wird, muss er an der Stelle 68,44 - vom Eisenende aus gemessen - geschnitten werden. Dann hat das Eisen-Messing-Stück eine Länge von 136,2cm-68,44cm=67,76cm. Wenn davon der Messinganteil abgezogen wird, bleibt für den Eisenanteil 56,76cm übrig. Das ist der Wert, der in der Aufgabenstellung erfragt war.
Mathefix hat fälschlicherweise 57,787cm errechnet, wobei ich die Differenz in den Nachkommastellen als Rundungsfehler ansehe. Aber die 56cm vor dem Komma sind definitiv falsch. Das müssen 56cm sein. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5863
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| Myon Verfasst am: 23. Feb 2018 15:26 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Wenn der gesamte Stab in zwei Teile gleicher Masse zerlegt wird, muss er an der Stelle 68,44 - vom Eisenende aus gemessen - geschnitten werden. |
Ich glaube, das ist nicht richtig. Der Schwerpunkt liegt nicht auf der Schnittlinie, welche den Stab in zwei massegleiche Teile trennt. Muss jetzt aber eine Pause machen. Akku leer und eine Verpflichtung ruft... |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5865
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 23. Feb 2018 18:06 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Also wenn ich jetzt vom Stabende, das aus Eisen besteht, messe, und den Schwerpunkt ganz einfach aus den gewichteten Schwerpunkten des Eisen- und des Messingteils bilde, also
erhalte ich s=68.44 cm, was ein wenig näher beim Messing- als beim Eisenende liegt. |
ok
Unser Formelergebnis ist identisch. Hatte mich verrechnet.
Schönes Wochenende. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 23. Feb 2018 18:50 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Der Schwerpunkt liegt nicht auf der Schnittlinie, welche den Stab in zwei massegleiche Teile trennt. |
Das verstehe ich, ehrlich gesagt, überhaupt nicht. Wir gehen doch davon aus, dass sich der hier behandelte Stab in einem homogenen Gravitationsfeld befindet, oder nicht? Dann fallen Gravizentrum und Massenmittelpunkt in einem Punkt zusammen, der im Allgemeinen als Schwerpunkt bezeichnet wird. Oder irre ich mich da? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5863
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| Myon Verfasst am: 23. Feb 2018 20:22 Titel: |
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Bei der Aufgabe ging es um die Fläche, welche den Stab in zwei massegleiche Teile trennt. Der Schwerpunkt liegt nicht auf dieser Fläche. Konkret liegt der Schwerpunkt 68.44 cm vom Eisenende entfernt, die Schnittfläche, welche den Stab in massegleiche teile trennt, hingegen bei 68.47 cm. Die Differenz ist hier nicht gross, aber die Punkte sind nicht identisch.
Der Begriff Massenmittelpunkt, der mir gar nicht so geläufig war, kann beim Stab etwas Falsches suggerieren. Bezogen auf ihn heben sich die Drehmomente durch die Schwerkraft auf. Man könnte den Stab also an dieser Stelle hochheben. Aber er teilt den Stab nicht in Teile mit gleicher Masse auf. Die Gleichungen (gleiche Drehmomente/gleiche Massen) sind ja auch nicht identisch, in die Gleichung für die Drehmomente fliessen die Hebelarme ein, in die Gleichung für die Massen nicht. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 23. Feb 2018 21:34 Titel: |
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@Myon
Oh ja, Du hast recht. Da habe ich zu kurz gedacht. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5865
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 24. Feb 2018 13:46 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Myon hat Folgendes geschrieben: | | Der Schwerpunkt liegt nicht auf der Schnittlinie, welche den Stab in zwei massegleiche Teile trennt. |
Das verstehe ich, ehrlich gesagt, überhaupt nicht. Wir gehen doch davon aus, dass sich der hier behandelte Stab in einem homogenen Gravitationsfeld befindet, oder nicht? Dann fallen Gravizentrum und Massenmittelpunkt in einem Punkt zusammen, der im Allgemeinen als Schwerpunkt bezeichnet wird. Oder irre ich mich da? |
Myon liegt richtig. Beim Massenmittelpunkt spielt die räumliche Verteilung der Masse keine Rolle, beim Massenschwerpunkt schon.
Beispiel Dreiecksquerschnitt
Massenschwerpunkt
Massenmittelpunkt
 \approx h\cdot 0,293) |
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