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Sito
Anmeldungsdatum: 14.07.2017
Beiträge: 31
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 Sito Verfasst am: 23. Nov 2017 18:02 Titel: Kohärente Zustände |
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Guten Abend zusammen,
Sei folgende Aufgabenstellung gegeben:
 http://fs5.directupload.net/images/171123/gy3z7597.png
Meine Idee:
Ich poste meine Idee in einem Bild, da der Latex-Editor aus irgendwelchen Gründen nicht zu funktionieren scheint...
http://fs1.directupload.net/images/171123/4d7d6irb.png
Um ehrlich zu sein bin ich nicht sehr vertraut mit der Dirac-Notation und kann daher nicht wirklich einschätzen ob das auch wirklich funktioniert... Wäre also für Rückmeldungen bzw. Korrekturvorschläge dankbar.
Gruss Sito |
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APWBDumbledore
Anmeldungsdatum: 24.10.2017
Beiträge: 16
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| APWBDumbledore Verfasst am: 23. Nov 2017 18:22 Titel: |
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Puh, okay...
Also ich sehe schonmal nicht, wo du die 0 her bekommst. Kann es sein, dass du  mit dem Skalarprodukt  verwechselt hast?
Ansonsten: Warum benutzt du nicht einfach  ? Insbesondere
 .
(und nebenbei: Du summierst nur bis n, nicht bis Unendlich... Wieso? In kohärenten Zuständen müssen alle Eigenzustände besetzt sein) |
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Sito
Anmeldungsdatum: 14.07.2017
Beiträge: 31
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| Sito Verfasst am: 23. Nov 2017 20:16 Titel: |
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Zuerst mal vielen Dank für die Antwort Dumbledore!
Also meine Überlegungen bzgl. der Null waren folgende: In meinem Kopf sieht das Momentan so aus: ^T ) und ) . Somit ergibt  ein Zahl und  eine Matrix.
Die  aus meinem Beitrag sind nun die "Basis", welche in diesem Fall orthogonal ist. Wenn man nun  rechnet, müsste das dann nicht die Nullmatrix ergeben? Diese Nullmatrix multipliziert man dann mit  und erhält einen Nullvektor (Spaltenvektor), multipliziert man diesen nun wieder mit  erhält man Null. Die Überlegung ist offensichtlich falsch, aber ich sehe im Moment noch nicht so ganz wieso...
| Zitat: | Warum benutzt du nicht einfach  ? |
Um ehrlich zu sein, weil ich die Beziehung noch nicht kannte... Damit erledigt sich das Ganze aber ziemlich schnell... An dieser Stelle noch einmal Danke für den Hinweis.
Was das summieren angeht, schlicht mein Fehler.. Hatte hier noch zu sehr ein LinAlg Bild im Kopf mit endlicher Basis...
Ich will mich dann auch gleich noch an den anderen Erwartungswerten versuchen, sollten weitere Fragen auftauchen melde ich mich nochmals...
Gruss Sito |
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Sito
Anmeldungsdatum: 14.07.2017
Beiträge: 31
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| Sito Verfasst am: 23. Nov 2017 20:46 Titel: |
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Eine kurze Frage zur Berechnung von  . Also hierfür gilt:  . Dies gibt mit =\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\rm{Re}(\alpha)) und ) gerade: - \frac{\hbar}{2m\omega} ((\alpha^*)^2+2\alpha^*\alpha+\alpha^2)}=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}(z^2-(z^*)^2)})
Funktioniert das so? |
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APWBDumbledore
Anmeldungsdatum: 24.10.2017
Beiträge: 16
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| APWBDumbledore Verfasst am: 25. Nov 2017 02:06 Titel: |
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| Sito hat Folgendes geschrieben: | | Die aus meinem Beitrag sind nun die "Basis", welche in diesem Fall orthogonal ist. Wenn man nun rechnet, müsste das dann nicht die Nullmatrix ergeben? |
Nein. Erinnere Dich: Die Darstellungsmatrix eines Operators A hat in der i-ten Spalte die Darstellung des Vektors a|i> bezüglich der Basis, d.h. in diesem Falle ergibt sich eine Matrix, die in der ersten Nebendiagonale (damit meine ich die Diagonale unter der Hauptdiagonalen) alles Einsen und sonst Nullen hat.
Dass es nicht die Nullmatrix sein kann, ist ziemlich offensichtlich:
(Möglicherweise hast Du Dich davon fehlleiten lassen, dass alle Diagonaleinträge verschwinden)
| Zitat: |
| Zitat: | | Warum benutzt du nicht einfach ? |
Um ehrlich zu sein, weil ich die Beziehung noch nicht kannte... Damit erledigt sich das Ganze aber ziemlich schnell... An dieser Stelle noch einmal Danke für den Hinweis. |
Okay, vielleicht habe ich das nur zu kompakt aufgeschrieben. Es ist schlicht und ergreifend die Definition des adjungierten Operators:
Jedenfalls wird der adjungierte Operator in der Mathematik so eingeführt (jedenfalls, wenn man funktionalanalytische Details mal ausblendet). Eventuell wurde auch nur die Kurzfassung eingeführt: Die Matrixelemente des adjungierten Operators entstehen durch Transposition und Konjugation der ursprünglichen Matrixelemente. Du kannst Dich aber überzeugen, dass beide Aussagen äquivalent sind. In der linearen Algebra ist möglicherweise etwas anderes gemacht worden: Zu einem Operator  gibt es einen dualen Operator  , definiert als )(v) := w^*(T v)) , der durch die transponierte Matrix dargestellt wird. In einem Hilbertraum kann man aber die Vektorräume über das Skalarprodukt kanonisch mit ihren Dualen identifizieren. Auf diese Weise gelangt man systematisch zur Definition des adjungierten Operators.
Die Gleichung, die ich Dir geschrieben habe, entsteht einfach durch komplexe Konjugation auf einer Seite und Verwendung von  .
[LaTeX-Editor will nicht... ... Verwendung der Hermitizität: Vertauschen der Faktoren gibt eine komplexe Konjugation]
Oh, und
| Zitat: | Was das summieren angeht, schlicht mein Fehler.. Hatte hier noch zu sehr ein LinAlg Bild im Kopf mit endlicher Basis...
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Nebenbemerkung: Für die Quantenmechanik maßgeblich ist die Funktionalanalysis, nicht die lineare Algebra. Es gibt gewisse Analogien, aber streng genommen ist der Basis-Begriff der linearen Algebra (sog. Hamel-Basis) ein anderer als der der Funktionalanalysis (Orthonormalbasis=Hilbert-Basis, ein Spezialfall der Schauder-Basis). Möglicherweise ist in der linearen Algebra mit dem Zornschen Lemma bewiesen worden, dass jeder Vektorraum eine Hamel-Basis hat. Man kann allerdings zeigen, dass ein Hilbertraum entweder eine endliche oder eine überabzählbare Hamel-Basis haben muss, bezüglich man dann aber eben jeden Vektor als endliche Linearkombination schreiben kann. Praktischer ist in einem Hilbertraum eine Hilbert-Basis, bezüglich man jeden Vektor als abzählbare Linearkombination schreiben kann (d.h. Summe mit Grenzwert, also eine Reihe), dafür ist die Basis selbst nicht überabzählbar (zumindest in einem separablen Hilbertraum wie dem L²(R³)).
Zuletzt bearbeitet von APWBDumbledore am 25. Nov 2017 02:30, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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APWBDumbledore
Anmeldungsdatum: 24.10.2017
Beiträge: 16
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| APWBDumbledore Verfasst am: 25. Nov 2017 02:17 Titel: |
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Wegen der Berechnung der Varianz: Insgesamt habe ich (bis auf den Vorfaktor) den Operator ^2 + a^2 + a a^\dagger + a^\dagger a) , das entspricht den Erwartungswerten ^2 + \alpha^2 + \alpha \alpha^* + \alpha^* \alpha = (\alpha + \alpha^*)^2 = 4 (\operatorname{Re} \alpha)^2) . Demnach wäre  ...
Nebenbei: Beachte, dass  =
<br />
2 (\operatorname{Re} \alpha)(\operatorname{Im} \alpha ) \neq 0) im Allgemeinen, d.h. Du hättest einen nicht-reellen Erwartungswert für x². Das kann nicht sein.
---- Was ist nur mit dem LaTeX-Editor los?  Schau Dir am besten einfach den Quelltext an, z.B. mit Klick auf den quote-Button... |
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