Form eines hängenden Seiles

Mydreams · Anmeldungsdatum: 08.05.2017 Beiträge: 19

Meine Frage:
Ich will mir die Form eines an zwei Hacken in der Höhe h(0) angehängtem Seil ausrechnen. Die Entfernung zwischen den Hacken ist d, und die Länge des Seiles ist s. Ich nehme zur Vereinfachung an, dass die Gravitationskraft überall konstant ist und in die gleiche Richtung zeigt, und dass die Massenverteilung des Seiles ebenfalls konstant ist.

Meine Ideen:
Ich bin von der Annahme ausgegangen, dass alle Systeme den Zustand geringster Energie anstreben. Das lässt mich, falls ich richtig und vollständig interpretiert habe, zwei Aussagen formulieren:

Sei l(x) die Funktion der Form des hängenden Seiles, wobei die Decke mit den Hacken parallel zur x-Achse ist, und sei l(x) = l(d) = 0 (das heißt, dass das Seil an den Punkten (0/0) und (d/0) aufgehängt ist)

Es gilt

1)

das beschreibt die Forderung, dass die Länge des Seiles konstant bleibt.

2)
Dass

den größten Wert von allen Funktionen l(x) einnimmt. Das entspricht der Aussage, dass die Fläche zwischen Decke und Seil maximiert ist, also dass die Addition der potenziellen Energiewerten

aller Punkten auf dem Seil das kleinstmögliche Ergebnis liefert.

Ich weiß aber leider nicht, wie ich die erste Integral-differentialgleichung (oder was auch immer es ist) lösen kann. Ein Hinweis wäre sehr erwünscht (oder eine Verbesserung). Danke im Voraus!

xb · Gast

oben an der Decke,also zB der x-Achse hast du ein dx
zu diesem dx musst du die potentielle Energie dE finden

Mydreams · Anmeldungsdatum: 08.05.2017 Beiträge: 19

Ok, aber wenn ich dE habe, dann setzt dass voraus dass ich dl auch kenne, da dE von dl abhängig ist. Und wenn ich dl hätte, so könnte ich es einfach integrieren und meine gesuchte Funktion l(x) finden. Gibt es eine Methode, sich aus der Aufgabenstellung dE oder dl auszurechnen, die ich nicht sehe? Oder habe ich an der Antwort etwas falsch verstanden?

xb · Gast

Zwischen den Aufhängepunkten betrachtet man ein dx
Am besten zeichnen
genau senkrecht unterhalb von dx befindet sich in einer Tiefe von l(x) das Seilstück der "Länge" ds

Was ist dann dE in Abhängigkeit von diese Längendifferential ds?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Vergiss' zunächst die Bedingung bzgl. der Länge. Du wirst als Ergebnis eine Kurvenschar erhalten; die jeweils passende Länge folgt durch geeignete Wahl des Scharparameters.

Für die Energie integrierst du entlang der unbekannten Kurve C über die unbekannten Funktion f(x)

Nun benötigst du die Variationsrechnung. Zu minimieren ist das Funktion E[f] bzgl. der Funktion f. Aus der Bedingung verschwindender Variation

folgt mittels Anwendung der Euler-Lagrange-Gleichung ...