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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
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 isi1 Verfasst am: 26. Aug 2010 11:54 Titel: Kurvenform einer hängenden Fahrradkette? |
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Ich beschäftige mich schon eine ganze Zeit lang mit folgender Aufgabe, ohne sie wirklich in den Griff zu bekommen. | Zitat: | Aufgabe: An einem Zahnrad mit waagrechter Achse hängt eine geschlossene Fahrradkette nach unten.
Gesucht ist die mathematische Kurvenform der hängenden Kette bei gegebener Winkelgeschwindigkeit des Zahnrads (Reibung vernachlässigen). |
Bei ω=0 ist es mir klar, die Kettenlinie cosh(..)
Bei ω=∞ ist es auch klar, die Gravitation ist vernachlässigbar gegenüber der Zentrifugalkraft --> also ein Kreis.
Aber dazwischen?
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
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| VeryApe Verfasst am: 29. Aug 2010 20:26 Titel: |
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Sollst du dabei die Verdrehungen der einzelnen Kettenteile berücksichtigen, oder reicht die Betrachtung also unendlich dünnes Seil.
Ich glaub auch nicht das sich durch ersteres viel verändert, ein wenig schon.
Ist das überhaupt noch aktuell?
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 29. Aug 2010 20:37 Titel: |
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Ich denke mal, daß wir hier eine "dynamische" Version der klassischen Kettenkurve haben mit beliebig beweglichen / nichtelastischen und zusammenhängenden Masseelementen. mfG
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
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| isi1 Verfasst am: 31. Aug 2010 21:30 Titel: |
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| VeryApe hat Folgendes geschrieben: | | Sollst du dabei die Verdrehungen der einzelnen Kettenteile berücksichtigen, oder reicht die Betrachtung also unendlich dünnes Seil? |
Erst einmal danke für die Antwort, VeryApe und Franz.
Ja, es reicht ein unendlich dünnes Seil, allerdings mit einem Massenbelag (sonst wäre es wahrscheinlich keine Kettenlinie, oder).
| Franz hat Folgendes geschrieben: | | Ich denke mal, daß wir hier eine "dynamische" Version der klassischen Kettenkurve haben mit beliebig beweglichen / nichtelastischen und zusammenhängenden Masseelementen. |
Ja, das sehe ich auch so.
Ich hatte schon überlegt, ob man die dynamischen Kräfte irgendwie in Leibnitz'/Bernoullis Ableitung der Kettenlinie einbauen könnte?
Aber leider komme ich (wohl wegen zu geringer Kenntnisse) auch nicht weiter.
http://www.systemdesign.ch/index.php?title=Kettenlinie
Hat niemand eine Idee hierzu, bitte?
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 31. Aug 2010 22:48 Titel: |
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Hmmm, das Problem sieht so "krumm" aus, dass man das starke Bedürfnis verspürt, es ganz kräftig durch entschiedene Wahl geeigneter Koordinatensysteme geradezubiegen 
Ein paar erste Gedanken dazu:
* Ein erster wichtiger Schritt, den man als vielleicht machbarstes Teilziel ansteuern könnte, wäre das Bestimmen der Lage der Punkte, an denen sich die Kette vom Zahnrad anfängt zu lösen.
* Die so ziemlich konstanteste Größe an der ganzen Sache könnte der Betrag der Bahngeschwindigkeit v der Kette sein (entlang der krummen Linie, die die Kette entlangläuft), die ist einfach gleich v = omega_Zahnrad * r_Zahnrad
* Um den gordischen Knoten gerader zu kriegen, würde ich als erstes vorschlagen, zu versuchen, ins mit dem Zahnrad mitrotierende Bezugssystem zu gehen. Mit dem Zahnradmittelpunkt als Drehzentrum. Dann hat man eine Zentrifugalkraft auf jedes Kettenelement, abhängig von seiner Entfernung vom Drehpunkt und von der Schrägheit der Ketten-Kurve an dieser Stelle.
* In diesem mitrotierenden Bezugssystem würde ich vorschlagen, Polarkoordinaten einzuführen. Dann wäre bei phi = 0 im mitrotierenden Bezugssystem die Richtung, in die die Gravitationskraft zieht. Und die mathematische Kurve, die die Kettenform beschreibt, wird am Ende in einer Form r(phi) aufgeschrieben werden können.
* Nun zerteilen wir die Kette in Elemente  . Die Zentrifugalkraft auf dieses Kettenelement wird abhängen von der Steigung r'(phi), die die tangentiale Geschwindigkeitskomponente von v sowie die Masse des Kettenelements in beeinflusst, sowie von dem Radius r(phi) selbst. Die Gewichtskraft auf dieses Kettenelement hängt von seiner Masse ab, die Richtung dieser Gewichtskraft im rotierenden Bezugssystem vom Winkel phi.
* Weil die Kettenelemente nun jeweils mit ihren Nachbarn zusammenhängen, werden alle "freihängenden Kettenelemente" (also alle, die nicht am Zahnrad anliegen) in einem Kräftegleichgewicht sein, sonst würde sich ja die Kettenform noch verändern. Als Randbedingung an den "Loslösstellen" werden dabei nur Kräfte in Kettenrichtung erlaubt sein. Ansonsten (bis auf die Kraftrichtungen, die durch diese Randbedingungen vorgegeben sind) wird man für die Gleichgewichtsbedingung an jeder Kettenstelle die Kräfte auf alle Kettenteile links davon und die Kräfte auf alle Kettenteile rechts davon vektoriell zusammenzählen und gleichsetzen können.
* Wahrscheinlich wird es für dieses Zusammenzählen (Aufintegrieren) der Kräfte praktisch sein, die Kraftvektoren vorher in ein kartesisches (aber immer noch mitrotierendes) Bezugssystem zurückzutransformieren, da könnte das anschaulicher und weniger Denkfehler-anfällig funktionieren.
Klingt das so, als ob das Problem damit greifbarer und machbarer wird? Wer traut sich, zu versuchen, solche Überlegungen in konkrete Formeln zu gießen? Aus den Kräftegleichgewicht-Bedingungen sollten sich Gleichungen für die Ketten-Kurve r(phi) ergeben, die wohl in so etwas wie eine Differentialgleichung zur Bestimmung von r(phi) münden könnten. 
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 31. Aug 2010 23:08 Titel: |
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Ergänzung:
Was ich oben noch als "Kräftegleichgewicht" bezeichnet habe, müsste in Anbetracht der Geschwindigkeit der Kette noch um die Beschleunigungskraft ergänzt werden, die nötig ist, damit das jeweilige Kettenelement passend der Krümmung der Kettenkurve folgt.
Dass da also noch eine höhere Ableitung der Kettenkurve r(phi) mit ins Spiel kommt, könnte die Differentialgleichung, die am Ende herauskommt, also noch ein bisschen interessanter machen
Die spannende Frage wird dafür dann am Ende vielleicht sein, ob man für diese DGL eine analytische Lösung finden kann / kennt, oder ob man die Lösung dieser DGL dann am Ende schlicht mit numerischen Methoden erschlagen muss.
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 01. Sep 2010 00:16 Titel: |
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http://www.systemdesign.ch/index.php?title=Kettenlinie
Ich würde der einfachheit halber Kugeln (Atome) betrachten die im Abstand ds auf der Kurvenform liegen die Kugeln haben selbigen Durchmesser ds. Deren Kräfte wirken jeweils von Massenmittelpunkt zu Massenmittelpunkt.
Alle Kugeln bewegen sich mit selben v auf der Kurve.
Gleiches Kraftbild wie der Link oben nur das sich jede Kugel mit v bewegt aus der Krümmung gibt sich die Radialbeschleunigung aus den Widerstand gegen die Beschleunigung ergibt sich die Zentrifugalkraft (Dalambertsche Trägheitskraft). sprich Kraftbild um Zentrifugalkraft erweitern.
habe momentan nicht die Zeit mich da hinzusetzen das aufzuzeichnen und zu lösen.
Zuletzt bearbeitet von VeryApe am 01. Sep 2010 01:07, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
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| isi1 Verfasst am: 01. Sep 2010 11:25 Titel: |
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Danke für die ausführlichen Antworten, dermarkus und VeryApe, werde das noch genauer studieren.
Was ich bisher verstanden habe:
Gegeben: Zahnraddurchmesser D, Kettenlänge s=5piD
Parameter: ω=0...∞
Gesucht: Kurvenform als Funktion von ω
Daraus: Geschwindigkeit der Kette: v=½*ω*D
Die Masse eines Kettenglieds sollte sich wegheben.
Mit Winkel t=0 oben in der Mitte, Zentrum des Zahnrads (x|y) = (0|0):
Obere Kurve: Zahnradkreis:
Untere Kurve:
}{f_y(t)})
Übergangspunkte (Ablösung vom Zahnrad): ?
Kräfte auf Massenpunkt m (Kettenglied):
Gewichtskraft: ..in -y-Richtung, rote Pfeile
Zentrifugalkraft:  ...normal zu  , blaue Pfeile
mit
^2 + \dot y(t)^2\big)^{3/2}}{\dot x(t) \ddot y(t) - \ddot x(t) \dot y(t)}
<br />
)
Zwangskraft wegen konstanter Kettenlänge:
 ...gelbe Pfeile
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 01. Sep 2010 12:11 Titel: |
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Warnungen:
* Was VeryApe und was ich geschrieben haben, sind zwei unterschiedliche Herangehensweisen, die kann man ziemlich sicher nicht so einfach gleichzeitig gehen oder etwas aufstellen, das zu beiden Ansätzen gleichzeitig passt.
* In dem, was ich oben geschrieben hatte, habe ich zum Integrieren die Kette nicht in Elemente gleicher Masse unterteilt, sondern in Teile, die das selbe Winkelelement bedecken. Je schräger die Kette in diesem Koordinatensystem steht, desto größer war also die Masse dm eines solchen Kettenelementes in meinem Ansatz.
* Was VeryApe als Zentripetalkraft bezeichnet, hat in keiner Weise etwas mit dem Bezug auf den einen Punkt zu tun, um den sich "mein" rotierendes Bezugssystem dreht. Ich glaube, er meint statt dessen etwas komplett anderes, nämlich schlicht die Beschleunigungskraft, die nötig ist, um das Kettenelement beim Umlauf auf seiner gekrümmten Bahn zu halten. Und die berechnet sich natürlich dann mit einer ganz anderen Formel, vor allem mit einem ganz anderen Krümmungsradius als dem Abstand zum Zahnradmittelpunkt.
(Genaugenommen schreibt er oben nun Zentrifugalkraft, das soll wohl also entsprechend eine Gegenkraft zur genannten Beschleunigungskraft sein - ich vermute, statt "Zentrifugalkraft" meint er also im physikalischen Sinn die Trägheitskraft im mit dem Kettenelement mitbewegten Bezugssystem.)
* Mir scheint, dass dir eine direktere Darstellung ohne "krumme Wahlen von Koordinatensystemen" als vertrauter und machbarer erscheint. Gut möglich, dass das auch so irgendwie machbar sein kann. Dann finde ich allerdings, muss man das Problem in rein kartesischen Koordinaten aber auch dementsprechend sauber formulieren.
(Für alle, denen die Schreib-/Bezeichnungs-/Darstellungsweisen, die VeryApe öfter mal gerne verwendet (ich glaube, das ist oft eine Mischung aus Ingenieursdarstellungen und selbstgebasteltem), nicht vertraut sind (ich persönlich kann mit ihnen oft nicht viel anfangen, ohne heftig guten Willen und Leseaufwand hineinzustecken), mag eine Behandlung mit Formulierungen und Methoden der Physik empfehlenswerter, übersichtlicher und weniger anfällig für Verständigungsschwierigkeiten oder Missverständnisse sein.)
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 01. Sep 2010 12:49 Titel: |
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| dermarkus hat Folgendes geschrieben: | | Warnungen |
Ja, dermarkus,
danke für die Klarstellung, das werde ich beachten.
Ich habe noch Verständnisschwierigkeiten, die Zwangsbedingung einzubinden. So ungefähr habe ich noch im Kopf, dass die Lagrangefunktion L=T-V dafür praktikabel sein soll. Da muss ich mich jedoch erst einlesen.
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 01. Sep 2010 14:07 Titel: |
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eine Ergänzung in Kurzform:
Für Ingenieure ist die Lösung so eines Problems gut nach Schema F machbar. Die einzige Erweiterung im Vergleich zum Vorgehen bei der Kettenlinie ist eine zusätzliche Kraft auf jedes Kettenelement. Diese zusätzliche Kraft ist die Trägheitskraft auf das Kettenelement im mit ihm mitbewegten Koordinatensystem, sie ist senkrecht zur Kettenkurve gerichtet und lässt sich aus dem Krümmungsradius der Kurve an der jeweiligen Stelle bestimmen.
(danach kommen dann noch die entsprechend zu berücksichtigenden Randbedingungen.)
VeryApe ist näher dran an Ingenieursphysik als ich, und hat das deshalb deutlich schneller erkannt als ich. Es ist eben nur wegen den oben schon angesprochenen Dingen oft nicht so einfach (für mich? für Physiker?, ...), seine Bezeichnungsweisen zu sortieren und seinen Gedanken zu folgen.
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 01. Sep 2010 18:36 Titel: |
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| VeryApe hat Folgendes geschrieben: | Vielleicht doch ne Skizze
wenn man die Kurve in Ausschnitte von Punkt1 bis Punkt2. DAs heißt du kannsd die Kurve ausschnittsweise betrachten mußt also nicht die ganze Kurve betrachten. |
Noch eine Verständnisfrage, VeryApe,
a) die roten Pfeile sollten alle gleich lang sein, oder?
b) die grünen Pfeile sind dem Buchstaben nach eine Beschleunigung. Ist das so gedacht, dass
 ...?
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 01. Sep 2010 21:47 Titel: |
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Also ich hör von der Kettenlinie zum ersten Mal, also dementsprechend kann ich dir nicht sagen welche Methode besser wäre.
hab aber deine Gleichungen gesehen als Funktionen der Zeit. Die Zeit braucht man hier nicht das ganze System bewegt sich mit v und steht im dynamischen Kräftegleichgewicht.
ja die roten Pfeile sollen alle gleichlang sein das entsprich dm*g.. das über der Bogenlänge pro ds liegt.
Deine Formel für a ist falsch.
der Körper soll ja radial beschleunigen damit er das kann muß auf ihn eine resultiernde Kraft wirken, die aus der vektoriellen Addition von FK1 und Fk2 und abzug der Gewichtskräften entsteht. Dieser resultiernden Kraft wirkt die Dalambertsche Trägheitskraft , Widerstand gegen Beschleunigung entgegen und setzt das ins Gleichgewicht.
Diese kann man hier Zentrifugalkraft taufen, es ist zwar keine Kreisbewegung sondern eine krumme Bahn aber eben über einen unendlich kleinen Abstand betrachtet doch eine Kreisbewegung die sich aus vielen Krümmungskreisen zusammensetzt.
Physikalisch gesehen gibt es diese Trägheitskraft im Inertialsystem nicht. hier mußt FK1 und FK2 abzüglich der Gewichtskräfte Resultierende Kräfte erzeugen die die Massekugeln nach innen beschleunigen.
a ist daher. Fz/dm
Man benötigt die Krümmungsradien der Kurve in jeden Punkt
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 07. Sep 2010 09:20 Titel: |
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Ich bin noch am Lernen der Systemdynamik, dauert also noch etwas.
Aber bitte noch zwei Fragen:
1. Haltet ihr es für wahrscheinlich (oder sogar sicher), dass bei hoher Zahnraddrehzahl die Kette einen Kreis bildet?
2. Kann man von einer Symmetrie zur Y-Achse für alle Drehzahlen ausgehen?
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 07. Sep 2010 10:23 Titel: |
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| isi1 hat Folgendes geschrieben: |
Aber bitte noch zwei Fragen:
1. Haltet ihr es für wahrscheinlich (oder sogar sicher), dass bei hoher Zahnraddrehzahl die Kette einen Kreis bildet?
2. Kann man von einer Symmetrie zur Y-Achse für alle Drehzahlen ausgehen? |
Ja, bei beidem bin ich mir sicher.
Möglich wären auch Schwingungen der Kettenform, aber die sollen hier ja wohl erstmal nicht betrachtet werden.
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 07. Sep 2010 10:29 Titel: |
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Ich kann nur für die Ingenieursmechanik sprechen.
Daraus folgt eine y Symmetrie sofort aus dem Dynamischen Gleichgewicht, da die Gewichtskräfte senkrecht wirken und somit die Dalembertschen Trägheitskräfte die einzigen Kräfte die Komponenten in x Richtung haben, diese müssen sich natürlich über die Gesamtkette zu null addieren und das geht nur bei einer y Symmetrie. Ansonsten hättest du eine resultierende Trägheitskraft und müßtest für das neue Gleichgewicht eine horizontale Kraft von aussen zu führen zum Beispiel durch in Formzwingung durch Umlenkrollen.
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 07. Sep 2010 20:37 Titel: |
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Hat hier jemand eine Lösung?
Ich habe einen klassischen Ansatz (nach der "VeryApe" Variante) gemacht (differenzielles Kräftegleichgewicht), komme aber auf ein ziemlich verkapptes Differentialgleichungssystem, das nur für v=0 in die einfacheren Gleichungen der Kettenlinie übergeht. Hinschreiben ist leicht, lösen was anderes...
@isi1: Gibt es eine dir bekannte analytische Lösung bzw. Lösungsweg?
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 10. Sep 2010 16:27 Titel: |
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| Veryape hat Folgendes geschrieben: |
ich komme auf den Grundansatz:
F1x ist FH wie in der Herleitung der KEttenlinie. wobei dies veränderlich über x ist. also eine Funktion von x
³}= F1_{x} \cdot y'' + \frac {\mu \cdot v \cdot y'' \cdot y'²}{(1+y'²)³} )
³} - \frac {\mu \cdot v \cdot y'²}{(1+y'²)³}= F1_{x} )
³} * dx )
FX die horizontale Kraft im untersten Scheitelpunkt.
³})
Diesen Term nochmals differenzieren ermöglicht das gleichsetzen mit df1x/dx
³} - \frac {\mu \cdot v \cdot y'²}{(1+y'²)³})
Ich bekomme eine Differentialgleichung dritter Ordnung.
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Lauter Fehler drinnen.
Zuletzt bearbeitet von VeryApe am 14. Sep 2010 03:38, insgesamt einmal bearbeitet |
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 10. Sep 2010 17:10 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | | @isi1: Gibt es eine dir bekannte analytische Lösung bzw. Lösungsweg? |
Mir ist leider noch keine Lösung bekannt, außer bei 
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 10. Sep 2010 17:23 Titel: |
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woher hast du die Aufgabe?
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 11. Sep 2010 21:17 Titel: |
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Dein Ansatz ist "OK", es haben sich aber 2 kleine Fehler eingeschlichen (?) :
Die Zentrifugalkraft ist (als Betrag im Kurvenpunkt)
^{1/2}}_{\dd s} \cdot \frac{\mu v^2 y''}{(1+y'^2)^{3/2}} )
Die x-Komponente davon ist
^{1/2} \cdot \frac{\mu v^2 y''}{(1+y'^2)^{3/2}} \cdot \frac{y'}{(1+y'^2)^{1/2}} = \dd x \, \frac{\mu v^2 y'' y'}{(1+y'^2)^{3/2}} )
und die y-Komponente
^{3/2}} )
Du hast rausbekommen
^{3}} )
Kannst du das nochmals anschauen?
Trotz allem (so oder so) ist die Lösung dieser DG nicht gerade ermutigend...
Ich frage mich schon länger, ob man das Problem nicht durch ein geeignetes Variationsprinzip lösen könnte. Leider habe ich noch keinen Ansatz dafür...
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
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| VeryApe Verfasst am: 11. Sep 2010 23:22 Titel: |
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hast recht ich habe für die radialbeschleunigung:
genommen, aber sags nicht weiter. hrhr
Ich würd mich jetzt wundern wenn man die Differentialgleichung dritter Ordnung so einfach per anderer Art lösen könnte.
Vielleicht kann das ja mal wer durch den Computer jagen Derive Mathematica.
Ich schau meine Handzettel nochmal durch und schreib die komplette Differentialgleichung auf.
Vielleicht könnte ja ein Systemdynamiker mit diesen Wundersystem was bewirken wenn er das einfach lösen kann, dann fang ich sofort an mit Systemdynamik.
Ausser er fischt jetzt einen Energieansatz hervor. Über den würd ich mir jetzt als nächstes Gedanken machen.
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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| schnudl Verfasst am: 12. Sep 2010 06:51 Titel: |
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| VeryApe hat Folgendes geschrieben: | hast recht ich habe für die radialbeschleunigung:
genommen, aber sags nicht weiter. hrhr
Das hat mich nicht gestört, da es ein offensichtlicher Flüchtigkeitsfehler war...
Was ich kritisierte, war die Zerlegung von Fz in x und y Komponenten.
Ich würd mich jetzt wundern wenn man die Differentialgleichung dritter Ordnung so einfach per anderer Art lösen könnte.
Möglicherweise lässt sich das durch Umformung/Substitution vereinfachen. Trotzdem ...
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 14. Sep 2010 03:41 Titel: |
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Diesmal schön langsam mit Skizze
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| Angeschaut: |
3418 mal |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 14. Sep 2010 04:29 Titel: |
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Dynamisches Gleichgewicht:
}=0=F1_{x} \cdot dy-F1_{y}\cdot dx-dFg \cdot \frac {dx}{2}-dFz_{x} \cdot \frac {dy}{2}-dFz_{y} \cdot \frac {dx}{2} )
Die Terme:
sind unendlich klein zum Quadrat -> in die Mülltone.
daraus folgt:
}=0=F1_{x} \cdot dy-F1_{y}\cdot dx )
*****************************************************
(1) 
(2) 
(3) 
*****************************************************
y''... Die Steigung der Steigung sprich
=y'' \cdot dx \cdot (F1_{x}-dFz_{x}))
unendlich klein zum Quadrat 
*********************************************************
Grundansatz:
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 14. Sep 2010 05:06 Titel: |
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rho... Krümmungsradius
mü....Masse pro Meter
^{\frac{3}{2}}}{y''})
^{\frac{3}{2}}})
^{\frac{3}{2}}})
^{\frac{3}{2}}})
************************************************
Grundansatz:
^{\frac{3}{2}}}+\frac {\mu \cdot v² \cdot y'² \cdot y'' \cdot dx}{(1+y'²)^{\frac{3}{2}}}=y'' \cdot dx \cdot F1_{x} )
^{\frac{3}{2}}}+\mu \cdot v² \cdot \frac { y'² }{(1+y'²)^{\frac{3}{2}}}=F1_{x} )
F1x ist natürlich auch eine Funktion von x.
Wie man sieht haben sich im vorigen Thread ein paar Fehler eingeschlichen jetzt müsste es passen. Weiter ein anderes mal.
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 14. Sep 2010 09:29 Titel: |
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Sieht sagenhaft gut aus, VeryApe,
vielen, vielen Dank.
Hatten wir jetzt schon öfter: aus Wien kommen immer wieder pfiffige Ansätze für die kompliziertesten Aufgaben.
Soweit habe ich das verstanden.
Wir haben also nun für F1x den von Dir berechneten Zusammenhang:
(1) =\mu g \frac {\sqrt {1+y'^2}}{y''}+\mu v^2 \frac {1 }{\sqrt{1+y'^2}})
Mit der Kraft FX am unteren Scheitelpunkt schriebst Du dann:
=FX - \int dF_{z_x} =FX - \mu v^2 \int{\frac{y'' y'}{(1+y'^2)^{3/2}}} dx )
differenziert sieht das so aus:
(2) }{dx}=-\mu v^2 \frac{ y'' y'}{(1+y'^2)^{3/2}})
Wie gehts jetzt weiter, bitte? Die Gleichung (1) differenzieren und gleichsetzen?
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 14. Sep 2010 22:13 Titel: |
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Also wie du selbst erkannt hast, hast du jetzt zwei Gleichung bei der einen handelt es sich um eine Gleichung für F1x und bei der anderen um die Ableitung. Damit wir das gleichsetzen können, müssen wir entweder die eine integrieren oder die andere differenzieren.
Ich bin für differenzieren
Vorsicht du glaubst wir haben schon die Lösung im Koffer. Selbst wenn wir die differentialgleichung lösen haben wir noch eine Ecke an arbeit.
Erstens können wir mit dieser Gleichung nur den unteren Teil bis zur 90 Grad tangente beschreiben in Abhängigkeit der Scheitelkraft FX.
FX wird natürlich bestimmt durch die Länge der Kette und das Gewicht und die Geschwindigkeit.
Wir müssen uns also dann über den oberen Teil Gedanken machen und dann noch den Ansatz für FX hinschreiben.
Ist also noch ne Ecke arbeit.
Ich helf dir jetzt bei der Differentialgleichung. Vielleicht kannsd du den Rest dann selber.
Weil so aufregend ist das Thema auch nicht, wie die Kurvenform einer hängenden Kette ausschaut, da interessiern mich eher die Kurvenformen von Blondinen.
(u * v)'=u'*v+v'u
wir haben:
^{\frac{1}{2}} \cdot y''^{-1} )
^{\frac{1}{2}})
^{-\frac{1}{2}} \cdot 2y' \cdot y'')
^{-\frac{1}{2}} \cdot 2y' \cdot y'' \cdot y''^{-1} + -y''^{-2} \cdot y''' \cdot (1+y'²)^{\frac{1}{2}} )
****************************
^{\frac{1}{2}}} - \frac {(1+y'²)^{\frac{1}{2}} \cdot y'''}{y''^{2}} )
******************************
dann haben wir:
^{-\frac{3}{2}})
***************************
^{-\frac{5}{2}} \cdot 2y' \cdot y'' =- \frac{3y' \cdot y''} {(1+y'²)^{\frac{5}{2}}})
***************************
und zu allerletzt:
^{-\frac{3}{2}} )
^{-\frac{3}{2}})
^{-\frac{5}{2}} \cdot 2y' \cdot y'')
^{-\frac{3}{2}}+ -\frac{3}{2} \cdot (1+y'²)^{-\frac{5}{2}} \cdot 2y' \cdot y'' \cdot y'² )
**************************
^{\frac{3}{2}}}-\frac {3y'³ \cdot y''} {(1+y'²)^{\frac{5}{2}}})
**************************
^{\frac{3}{2}}}+\mu \cdot v² \cdot \frac { y'² }{(1+y'²)^{\frac{3}{2}}} )
^{\frac{1}{2}}} - \frac {(1+y'²)^{\frac{1}{2}} \cdot y'''}{y''^{2}}] - \mu \cdot v² \cdot [\frac{3y' \cdot y''} {(1+y'²)^{\frac{5}{2}}}]+\mu \cdot v² \cdot [\frac {2y' \cdot y''}{(1+y'²)^{\frac{3}{2}}}-\frac {3y'³ \cdot y''} {(1+y'²)^{\frac{5}{2}}}] )
auf der anderen Seite wissen wir das aus Summe aller Fx gilt:
^{3/2}} )
Mir wird schon schlecht vor lauter y' und 1+y'² das einzige was sich herauskürzt ist mü super, jetzt brauch ich mal nen Handzettel. verdammtes Latex des dauert alles.
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 14. Sep 2010 23:39 Titel: |
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^{3/2}} =g \cdot [\frac {y'}{(1+y'²)^{\frac{1}{2}}} - \frac {(1+y'²)^{\frac{1}{2}} \cdot y'''}{y''^{2}}] - v² \cdot [\frac{3y' \cdot y''} {(1+y'²)^{\frac{5}{2}}}]+v² \cdot [\frac {2y' \cdot y''}{(1+y'²)^{\frac{3}{2}}}-\frac {3y'³ \cdot y''} {(1+y'²)^{\frac{5}{2}}}] )
den ganzen schas durch v² und mal (1+y'²)^(3/2)
 - \frac {(1+y'²)² \cdot y'''}{y''^{2}}] - [\frac{3y' \cdot y''} {1+y'²}]+[2y' \cdot y''-\frac {3y'³ \cdot y''} {1+y'²}] )
ich glaub durch y' und y'' bringt auch noch was:
}{y''} - \frac {(1+y'²)² \cdot y'''}{y' \cdot y''^{3}}] - \frac{3} {1+y'²}+2-\frac {3y'²} {1+y'²} )
}{y''} - \frac {(1+y'²)² \cdot y'''}{y' \cdot y''^{3}}] - 3 [\frac{1+y'²} {1+y'²}] )
}{y''} - \frac {(1+y'²)² \cdot y'''}{y' \cdot y''^{3}}] )
}{y''} = \frac {(1+y'²)² \cdot y'''}{y' \cdot y''^{3}})
 \cdot y'''}{y' \cdot y''^{2}})
Man jetzt kürzt sich g v² raus das kann doch nicht stimmen, kann das wer kontrollieren für heute pfeiff ich drauf. das hängt ned von g und nicht von v gibts doch gar nicht.
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 15. Sep 2010 00:40 Titel: |
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Ich glaube aber das das doch stimmen kann weil ich keinen Fehler gefunden.
Denn beim Lösen dieser Differentialgleichung
erhält man drei Integrationskonstanten von denen 2 davon x abhängig sein werden.
eine davon muß FX sein und die hängt ganz sicher von mü g und v ab-
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
Wohnort: München
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 15. Sep 2010 18:12 Titel: |
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da müssen doch 2 integrationskonstanten mit x vorkommen oder nicht.
Vielleicht hab ich da oben auch einen Hund drinnen. Kannsd du da nicht nochmal drüber schauen ob ich beim differenzieren und beim gleichsetzen Mist gebaut habe.
Oder es bedeutet das das seil aufjedenFall Biegemomente übertragen muß
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 15. Sep 2010 20:54 Titel: |
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In Abwesenheit von Gravitation (g=0) muss eine mögliche Lösung ein Kreis mit irgendeinem Radius R sein. Dieser hat einen konstanten Krümmungsradius:
^{3/2}})
^{3/2} = y'')
Ableiten nach x:
^{1/2} \cdot 2 y' y'' = y''' = 3 \kappa y'y'' (1+y'^2)^{1/2})
Wenn man das  aus der ersten Gleichung einsetzt
Wir diskutieren aber die Gleichung
wo ein Faktor 3 fehlt. Kann es sein, dass dieser irgendwo verloren ging ? Nachgerechnet habe ich eigentlich nichts, aber das kann jedenfalls nicht sein...
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 15. Sep 2010 21:13 Titel: |
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Also wenn ich gewettet hätte. Hätte ich 100% auf eine Art Ellipsengemisch gewettet die oben schmäler ist und unten breiter
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 15. Sep 2010 21:32 Titel: |
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also ich habe jetzt den SChwerkraft anteil weggelassen und bekomme für die gleichen Ansätze 1=1 heraus lol sprich das sieht mir nach folgenden aus,
ich habe y=2x und als zweite gleichung nehm ich y/2=x da bekomm ich auch 1=1 heraus. da hab ich also zweimal den selben Gleichungsansatz drinnen.
F1x'=-dFzx funktioniert anscheinend nicht.
Isi lass mal die Schwerkraft weg und probier wie du nur mit den Zentrifugaltermen die Kreisgleichung ableiten kannsd.
Nachtrag:
also ich bin jetzt draufgekommen.
Resultat das ich nie mehr wieder was spät abends mache.
ich habe folgende Gleichung:
isi schreibt da noch:
und ich hab das übersehen das man ja den Zentrifugalteil so zusammenfassen kann, hätt ich mir was erspart jetzt gibt aber die Zentrifugalkraft term einmal abgeleitet genau das selbe mit den wir es dann aus der Summe aller Fx Gleichung einsetzen,,,,,sprich 1=1
Wir brauchen noch eine andere Gleichung
Zuletzt bearbeitet von VeryApe am 15. Sep 2010 22:49, insgesamt einmal bearbeitet |
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 16. Sep 2010 09:51 Titel: |
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Schnudls Bemerkung, versuchsweise nur den Zentrifugalanteil zu berechnen, bringt mich auf folgende Überlegung:
Die Kette tendiert sicherlich dazu, die größtmögliche Rotationsenergie aufzunehmen.
Als Kreis hat sie W = ½m v² = ½m ω²r², wenn sie aber gestreckt mit ω rotiert, kann sie die Energie W ≈ ½m ω² l²/12, mit l =5 π D = 10 π r wird das grob gerechnet W ≈ 40 m ω² r².
Demnach würde die Kette mit ω um das Zahnrad herum geschleudert. (Na ja, ohne Reibung bleibt es vielleicht doch beim Kreis.)
_________________
Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 22. Sep 2010 19:33 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: |
Ich habe einen klassischen Ansatz [...] gemacht (differenzielles Kräftegleichgewicht), komme aber auf ein ziemlich verkapptes Differentialgleichungssystem, das nur für v=0 in die einfacheren Gleichungen der Kettenlinie übergeht. Hinschreiben ist leicht, lösen was anderes...
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Ich denke, so etwas wird der Weg zum Ziel sein. Zur Not kann man am Ende die Differentialgleichung bzw. das Differentialgleichungssystem numerisch lösen lassen, im Zweifelsfall einfach für konkrete Werte zum Beispiel für die Kettengeschwindigkeit im Vergleich zu ihrer Masse pro Länge.
(Es gibt öfter mal Differentialgleichungen, die man nicht analytisch lösen kann, weil man selber keine analytische Lösung findet, oder weil selbst Differentialgleichungs-Spezialisten keine analytische Lösung finden. Das ist heutzutage ja aber weniger schlimm, weil man im Zweifelsfall ja die Option hat, die DGL numerisch zu erschlagen.)
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