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Nachricht |
Mc2
Gast
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 Mc2 Verfasst am: 14. Jun 2017 12:51 Titel: Energieerhaltung & Tunneleffekt |
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Meine Frage:
Hallo zusammen!
Ich habe einen essentiellen Punkt beim Tunneleffekt nicht verstanden und hoffe, hier eine Erklärung zu finden.
Löst man die SG für ein Potential V>E>0 im Bereich a<x<b, V=0 sonst, so erhält man eine exponentiell abklingende WF in diesem Bereich (a,b), was einer nicht verschwindenden Wahrscheinlichkeit entspricht, das durch dei WF beschriebene Teilchen dort vorzufinden. Dies heißt also, es besteht eine Chance, bei Anbringen eines Detektors is diesem Bereich, das Teilchen zu messen. Angenommen, der konkrete Fall liegt vor und das Teilchen wird dort detektiert:
Weshalb ist dies kein Widerspruch zur Energieerhaltung, da das Teilchen mit Energie E sich nun definitiv in einem Potential V>E befindet?
Über eine Erklärung wäre ich überaus dankbar!
Viele Grüße, Mc2 :)
Meine Ideen:
Die mathematische Herleitung für die Wahrscheinlcihkeitsdichte im relevanten Bereich ist mir klar, ich kann nur das Ergebnis bisher nicht mit dem Energieerhaltungssatz zusammenbringen. |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 15. Jun 2017 19:10 Titel: Re: Energieerhaltung & Tunneleffekt |
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| Mc2 hat Folgendes geschrieben: | | Dies heißt also, es besteht eine Chance, bei Anbringen eines Detektors is diesem Bereich, das Teilchen zu messen. |
Das kannst Du so allgemein nicht sagen: Es kommt auf den "Detektor" an. Der müsste mE so sein, dass es wieder einem niedrigeren Potential an dieser Stelle entspricht. Sprich: Du könntest in das Potential eine Mulde machen und dort sehen, ob ein Teilchen ankommt. Aber Du kannst es nicht einfach auf eine Fläche fliegen lassen und erwarten, dass es dort Energie deponiert, denke ich.
| Mc2 hat Folgendes geschrieben: | | Weshalb ist dies kein Widerspruch zur Energieerhaltung, da das Teilchen mit Energie E sich nun definitiv in einem Potential V>E befindet? |
Ich würde sagen, weil im Endzustand (für einen längern Zeitraum) die Energie wieder erhalten sein muss. Sprich: Nur dann wirst Du auch ein Teilchen detektieren können im Barriere Bereich.
Mal ein Beispiel: Du hast zwei Prismen nahe beieinander (wie hier: https://lp.uni-goettingen.de/get/text/912. Wenn Du in den Spalt ein CCD oder so bringst, könnte ich mir vorstellen, dass es nichts detektiert, wenn dazu das Photon an das CCD Energie abgeben müsste. Auch wenn der Spalt an sich schmal genug wäre.
Aber so wirklich sicher bin ich mir da auch nicht so recht.
Gruß
Marco |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18058
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| TomS Verfasst am: 15. Jun 2017 19:41 Titel: |
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Man muss m.E. sehr präzise definieren, welche Energie man genau meint. In der zeitabhängigen Schrödingergleichung mit zeitunabhängigem Potential ist die Energie des mittels der Wellenfunktion beschriebenen Quantenobjekt erhalten.
Betrachtet man z.B. einen unendlich tiefen Potentialtopf mit den bekannten diskreten Energieniveaus, in den man dünne Barriere einbringt, so wird diese die ungestörten Energieniveaus (leicht) modifizieren. Präpariert man nun ein Quantenobjekt in einem Energieeigenzustand E bzgl. dieser modifizierten Energieniveaus, so bleibt es in diesem Energieeigenzustand:
 = \psi_E)
 = e^{-iHt} \, \psi(0) = e^{-iHt} \, \psi_E = e^{-iEt} \, \psi_E)
Die Eigenwerte von H spezifizieren die möglichen Messwerte für die Energie, d.h. wenn man die Energie des Quantenobjektes zu einem späteren Zeitpunkt t misst, wird man E erhalten. Dies ist letztlich die Energieerhaltung im Sine der zeitabhängigen Schrödingergleichung.
Wenn man das Quantenobjekt nicht in einem Energieeigenzustand sondern als schmales, gut lokalisiertes Wellenpaket präpariert, dann befindet es sich nicht in einem Energieeigenzustand, und damit ist die obige Überlegung nicht zutreffend. Im initialen Zustand sind alle möglichen Energieeigenzustände enthalten, und damit ist auch jeder Energieeigenwert als Messwert zulässig. Da also zu Beginn kein Energieeigenzustand vorliegt, gibt es auch keinen Energieeigenwert, der erhalten sein könnte. Was jedoch erhalten bleibt ist der Erwartungswert der Energie.
Wenn man das Quantenobjekt mit einer bestimmten Energie innerhalb der Barriere misst, dann hat man im Sinne der Quantenmechanik keine reine Energiemessung durchgeführt, sondern eine Art Mischung aus Energie- und Ortsmessung, da andernfalls keine Lokalisierung innerhalb der Barriere gemessen werden könnte. Wenn aber keine reine Energiemessung vorliegt, dann gibt es auch keinen Grund, dass ein zuvor präparierter Energieeigenzustand zur Messung des zugehörigen Energieeigenwertes führt. Im zuerst diskutierten Fall der Präparierung und späteren Messung des Energieeigenzustand bzw. des zugehörigen Energieeigenwertes schließt umgekehrt die von dir angenommene Messung des Ortes innerhalb der Barriere aus.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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mc2
Anmeldungsdatum: 16.06.2017
Beiträge: 2
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| mc2 Verfasst am: 16. Jun 2017 02:08 Titel: |
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Erstmal Vielen Dank euch beiden, jetzt verstehe ich das Problem (und nicht nur das) deutlich besser !
Hat man anfangs also keinen Energieeigenzustand, so muss auch kein konkreter Energieeigenwert erhalten sein.
Hat man anfangs einen Eigenzustand, so muss auch der zugehörige Energieeigenwert erhalten sein. Wenn ich diesen Teil richtig verstanden habe, liegt dann der springende Punkt in der Energie-Orts-Unschärfe?
Heißt das:
1. Wird der Energieeigenwert gemessen, so ist keine Lokalisierung des Teilchens mehr möglich. &
2. Wird der Ort des Teilchens genau genug bestimmt, um definitiv im "verbotenen Bereich" zu liegen, so sollte die Energieunschärfe mindestens  sein. ?
Viele Grüße, mc2 |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18058
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| TomS Verfasst am: 16. Jun 2017 08:02 Titel: |
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Zu 2.: zunächst mal habe ich überhaupt nicht mit der Orts-Energie-Unschärfe argumentiert
Wenn du diese Unschärfe heranziehen möchtest, dann muss du sie erst mal berechnen; sei V(x) das Potential und
)
Dann musst du einen Zustand psi festlegen, für den du die Unschärfe tatsächlich berechnest; dazu benötigst du
^2|\psi\right>)
Das kannst du ja mal für ein Potential und einen Zustand deiner Wahl durchführen. |
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mc2
Anmeldungsdatum: 16.06.2017
Beiträge: 2
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| mc2 Verfasst am: 16. Jun 2017 15:04 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Im zuerst diskutierten Fall der Präparierung und späteren Messung des Energieeigenzustand bzw. des zugehörigen Energieeigenwertes schließt umgekehrt die von dir angenommene Messung des Ortes innerhalb der Barriere aus. |
Hm, dann habe ich wohl diesen Teil deiner Aussage falsch verstanden, ich dachte, das wäre so aufgrund der Unschärfe zwischen H und Q (Energieeigenzustand nicht gleichzeitig mit Ort messbar). Wie kommst du denn dann ohne dieses Argument zu obiger Schlussfolgerung?
Viele Grüße, mc2 |
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Neutrinowind
Anmeldungsdatum: 01.04.2017
Beiträge: 29
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| Neutrinowind Verfasst am: 16. Jun 2017 15:24 Titel: |
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| mc2 hat Folgendes geschrieben: |
Hm, dann habe ich wohl diesen Teil deiner Aussage falsch verstanden, ich dachte, das wäre so aufgrund der Unschärfe zwischen H und Q (Energieeigenzustand nicht gleichzeitig mit Ort messbar). Wie kommst du denn dann ohne dieses Argument zu obiger Schlussfolgerung?
Viele Grüße, mc2 |
Hallo mc2,
"Unschärfe" ist ein in diesem Zusammenhang unglücklich gewählter Begriff. Vielmehr handelt es sich um eine Unbestimmtheit, d.h. in einem Eigenzustand des Hamiltonoperators ist kein Ort definiert und in einem Eigenzustand des Ortsoperators ist keine Energie definiert. Da ist nichts unscharf, sondern die jeweilig andere Größe ist in dem betrachteten Zustand keine Eigenschaft des betrachteten Quantenobjekts.
Die Größe  aus deiner Ungleichung ist eine statistisch gemittelte Größe, die man praktisch erhält, wenn man mehrmals den gleichen Zustand präpariert, eine Energiemessung durchführt und aus den Messwerten die Standardabweichung berechnet. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18058
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| TomS Verfasst am: 16. Jun 2017 17:15 Titel: |
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| mc2 hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Im zuerst diskutierten Fall der Präparierung und späteren Messung des Energieeigenzustand bzw. des zugehörigen Energieeigenwertes schließt umgekehrt die von dir angenommene Messung des Ortes innerhalb der Barriere aus. |
Hm, dann habe ich wohl diesen Teil deiner Aussage falsch verstanden, ich dachte, das wäre so aufgrund der Unschärfe zwischen H und Q (Energieeigenzustand nicht gleichzeitig mit Ort messbar). Wie kommst du denn dann ohne dieses Argument zu obiger Schlussfolgerung? |
Wenn du ein Ensemble von Teilchen gleichartig präparierst und an jeweils einem Teilchen entweder die Energie oder Ort x misst, dann gilt über alle Messungen am Ensemble die entsprechende Unschärfenrelation.
Wenn du aber davon sprichst, dass du an einem Teilchen den Ort so misst, dass du es innerhalb der Barriere lokalisieren kannst, dann ist diese Messung an diesem einen Teilchen keine reine Energiemessung.
Du musst unterscheiden, ob du eine reine Orts- bzw. Energiemessung durchführst und die Unschärfenrelation anwendest, oder ob du eine Messung durchführst, die eben keine Energienessung ist, da sie ja auch den Ort misst.
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