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Nachricht |
Kronos32
Anmeldungsdatum: 13.05.2017
Beiträge: 5
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 Kronos32 Verfasst am: 13. Mai 2017 09:23 Titel: Lagrange-Doppelpendel mit zusätzlicher Kraft |
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Hi,
ich hoffe mir kann hierbei jemand weiterhelfen. Es geht um folgende Aufgabe:
[img]https://www.pic-upload.de/view-33161410/Aufgabe.jpg.html[/img]
nochmal als Link:
https://www.pic-upload.de/view-33161410/Aufgabe.jpg.html
Gesucht ist die Lagrange-Funktion und die daraus resultierende Bewegungsgleichung.
Mehr ist zu der Aufgabe auch nicht gegeben.
Die Lagrange-Funktion habe ich berechnet und komme auf:
 \cdot \dot{\varphi_{1}} ^2 + \frac{1}{2} \cdot m_{2} \cdot l_{1} ^2 \cdot \dot{\varphi_{1}} ^2 + m_{2} \cdot l_{1} \cdot \dot{\varphi_{1}} \cdot s_{2} \cdot (\dot{\varphi_{1}} + \dot{\varphi_{2}}) \cdot \cos(\varphi_{2}) + \frac{1}{2} \cdot (m_{2} \cdot s_{2} + Js_{2}) \cdot (\dot{\varphi_{1}} + \dot{\varphi_{2}})^2 -m_{1}\cdot g\cdot \sin(\varphi_{1}) - m_{2}\cdot g \cdot (l_{1} \cdot \sin(\varphi_{1}) + s_{2} \cdot \sin((\varphi_{1}+\varphi_{2})) )
wobei die Variablen s1 und s2 jeweils die Abstände der Schwerpunkte der einzelnen Stäbe zu ihrem Beginn sind. Man hätte es sicher auch anders zusammenfassen können aber darum soll es nicht gehen.
Meine Fragen sind nun folgende: Stimmt diese Lagrange-Funktion erstmal so?
Frage 2: Wie bekomme ich nun die Kraft F mit in die Berechnung? Rechnet man hier mit der virtuellen Verschiebung des Kraftangriffspunktes A?
Besonders wichtig wäre mir die Beantwortung der zweiten Frage, denn ich nehme an das die Lagrange-Funktion vom Kern her richtig ist. Falls nicht wäre ich natürlich auch für die Korrektur dankbar 
Ich hoffe ihr könnt mir helfen und danke euch schonmal herzlich!
Viele Grüße |
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erkü
Anmeldungsdatum: 23.03.2008
Beiträge: 1414
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| erkü Verfasst am: 13. Mai 2017 17:28 Titel: Re: Lagrange-Doppelpendel mit zusätzlicher Kraft |
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| Kronos32 hat Folgendes geschrieben: | Hi,
...
Die Lagrange-Funktion habe ich berechnet und komme auf:
 \cdots)
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=s_1(m_1+J))
Du schaffst es also, Masse und Massenträgheitsmoment zu addieren. 
| Zitat: | | ... wobei die Variablen s1 und s2 jeweils die Abstände der Schwerpunkte der einzelnen Stäbe zu ihrem Beginn sind. |
Hä? 
Generalisierte Koordinaten bilden für die Schwerpunkte der Arme :
Es dürfte klar sein, dass die angreifende Kraft unabhängig von der Zeit ist.
_________________
Das Drehmoment ist der Moment, wo es zu drehen anfängt. :punk: |
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Kronos32
Anmeldungsdatum: 13.05.2017
Beiträge: 5
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| Kronos32 Verfasst am: 14. Mai 2017 07:45 Titel: |
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Die generalisierten Koordinaten sind in der Aufgabenstellung gegeben. Dies sind die beiden Winkel  und  .
Was das Trägheitsmoment angeht steht in der Formel  bzw.  . Dies sind die beiden Momente der Stäbe um ihren Schwerpunkt und die haben mit der Koordinate  bzw.  nichts zu tun. Ich habe in der Formel auch überall explizit den Punktoperator verwendet um eine Multiplikation anzuzeigen und daher ist eben nicht  .
Die Benennung ist zugegeben etwas unglücklich und von daher kann ich mich nur dafür entschuldigen. Allerdings sollte es nun klarer werden.
Ich hoffe es hat jemand noch etwas Konstruktives beizutragen. |
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erkü
Anmeldungsdatum: 23.03.2008
Beiträge: 1414
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| erkü Verfasst am: 14. Mai 2017 13:55 Titel: |
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\}=\text{Masse}\cdot\text{Länge } +\text{ Masse}\cdot\text{Länge}^2)
Ortsvektor für S1:
)\\y_1&=&\cdots\\\vdots)
Die Geschw. ergeben sich durch zeitliche Ableitung der Ortsvektoren.
_________________
Das Drehmoment ist der Moment, wo es zu drehen anfängt. :punk: |
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Kronos32
Anmeldungsdatum: 13.05.2017
Beiträge: 5
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| Kronos32 Verfasst am: 14. Mai 2017 14:55 Titel: |
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Ok nochmal:
Um die Rechnung etwas anschaulicher zu gestalten habe ich die beiden Variablen und eingeführt.
Es war mir zu mühsam überall solchen Mist wie  stehen zu haben und deshalb habe ich aus einfach gemacht. Aber wie auch immer...
So kommt man für den Ortsvektor von z.B. x1 auf ) usw.
In erster Linie geht es mir hier um die Kraft. Wie bekomme ich die in die Lagrange-Funktion? |
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erkü
Anmeldungsdatum: 23.03.2008
Beiträge: 1414
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| erkü Verfasst am: 15. Mai 2017 02:12 Titel: |
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| Kronos32 hat Folgendes geschrieben: | ...
Es war mir zu mühsam überall solchen Mist wie stehen zu haben und deshalb habe ich aus einfach gemacht. Aber wie auch immer... |
Aber immer sorgen saubere Definitionen für Klarheit.
| Zitat: | ...
In erster Linie geht es mir hier um die Kraft. Wie bekomme ich die in die Lagrange-Funktion? |
Steht in jedem Skript zum Lagrange-Formalismus.
Verallgemeinerte Kräfte:
Hier ist N=1 und  der Ortsvektor zum Angriffspunkt der Kraft
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Das Drehmoment ist der Moment, wo es zu drehen anfängt. :punk: |
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Kronos32
Anmeldungsdatum: 13.05.2017
Beiträge: 5
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| Kronos32 Verfasst am: 15. Mai 2017 18:25 Titel: |
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Zuerst einmal: Danke bis hierhin
Ok damit komm ich zunächst auf:
 + l_{2}\cdot\cos(\varphi_{1} + \varphi_{2}) \\ l_{1} \cdot \sin(\varphi_{1}) + l_{2}\cdot\sin(\varphi_{1} + \varphi_{2}) \end{pmatrix} )
über
und die Wurzel aus dem Ganzen gelange ich zu 
Wie geht´s dann weiter?
Kommt das so hin? |
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erkü
Anmeldungsdatum: 23.03.2008
Beiträge: 1414
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| erkü Verfasst am: 15. Mai 2017 21:07 Titel: |
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| Kronos32 hat Folgendes geschrieben: | ...
Ok damit komm ich zunächst auf:
...
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Bis hierhin ist es richtig. Danach wird es falsch !
Nach meiner vorherigen Antwort ist der Ortsvektor partiell nach den generalisierten Koordinaten zu differenzieren und sodann ist der abgeleitete Vektor mit dem Kraftvektor skalar zu multiplizieren.
_________________
Das Drehmoment ist der Moment, wo es zu drehen anfängt. :punk: |
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Kronos32
Anmeldungsdatum: 13.05.2017
Beiträge: 5
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| Kronos32 Verfasst am: 16. Mai 2017 19:26 Titel: |
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Leider versteh ich nicht wie das Ganze gemacht wird...
So?
 - l_{2}\cdot\dot{\varphi_1}\cdot\sin(\varphi_1+\varphi_2) \\ l_{1}\cdot\dot{\varphi_1}\cdot\cos(\varphi_1) + l_{2}\cdot\dot{\varphi_1}\cdot\cos(\varphi_1+\varphi_2) \end{pmatrix} )
 \\l_{2}\cdot\dot{\varphi_2}\cdot\cos(\varphi_1+\varphi_2) \end{pmatrix} )
Und dann
So? |
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erkü
Anmeldungsdatum: 23.03.2008
Beiträge: 1414
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| erkü Verfasst am: 16. Mai 2017 21:14 Titel: |
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| Kronos32 hat Folgendes geschrieben: | Leider versteh ich nicht wie das Ganze gemacht wird...
So?
... |
Woher soll denn jetzt die zeitliche Ableitung der Winkel kommen ???
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Das Drehmoment ist der Moment, wo es zu drehen anfängt. :punk: |
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