Formelherleitung für Selbstinduktion

Sirtaki · Anmeldungsdatum: 05.03.2006 Beiträge: 27 Wohnort: Berlin

Hallo!

Ich habe ein Problem bei der Herleitung der Formel für den Einschaltvorgang bei Selbstinduktion.

Und zwar heißt es in einer Zwischengleichung:

Die angestrebte Endgleichung wäre dann:

Da muss man doch sicher die Stammfunktion von I'(t) bilden. Doch wie kommt man auf dieses e? Ich weiß einfach nicht, wie ich da rangehen soll.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Hilfe

Gruß vom Tom

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Das ist eine lineare Differentialgleichung ersten Grades. Die sind immer mit einem "e-hoch" Ansatz lösbar.
Wenn Du das selbst "zu Fuß" machen willst, wäre das Verfahren "separation der Variablen" machbar (denke ich zumindest). Wenn Dir das nichst sagt, dann mußt Du das wahrscheinlich auch (noch) nicht können. Im Internet findet man aber sicher Seiten, auf denen so etwas erklärt und vorgeführt wird. Müßte ich mal selber suchen.

Gruß
Marco

Sirtaki · Anmeldungsdatum: 05.03.2006 Beiträge: 27 Wohnort: Berlin

Das sagt mir wirklich nichts. Die Aufgabe lautete aber, das so herzuleiten. grübelnd

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Dann kannst Du eigentlich nur umgekehrt vorgehen: Nimm die Lösung (also die Funktion für I(t)) leite die nach t ab und setze I und die Ableitung in die entsprechenden Stellen in die Differenzialgleichung ein. Damit kannst Du zeigen, dass das eine gültige Lösung für die DGl ist.
Normalerweise würde man eine e-Funktion der Form:

mit den Konstanten A, B und C von vorne rein annehmen. Die würde man dann in die DGl einsetzen und damit und mit anderen Randbedingungen (Anfangsbedingungen, wie zum Bsp. der Strom am Anfang und so, also I(t=0)) die Konstanten bestimmen. Dazu muß man aber schon wissen, dass das mit der e-Funktion klappt. Das weiß man aber normalerweise so wie so schon...
Mehr kann ich Dir da glaube ich auch nicht helfen. Das mit der Variablenseparation ist zwar auch nicht so schwer, aber ich glaube nicht, dass Ihr das machen sollt, wenn Ihr bisher noch nicht's davon gehört habt...

Gruß
Marco

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Weil das eine eher einfache DGl für den Separationsansatz ist, habe ich beschlossen, Dir das mal vor zu rechnen. Wahrscheinlich mußt Du das nicht wirklich können, aber ist vielleicht auch ganz nett, wenn man so was schon mal gesehen hat, denke ich...
Wir haben also die DGl:

Um nicht ganz so viele "\frac{}{}" schreiben zu müssen, ersetze ich mal die Konstanten -R/L mit A=-R/L, dann hab ich noch:

Jetzt schreibe ich die Ableitung von I etwas anders:

und multipliziere das ganze mit dt und teile gleichzeitig durch die Klammer:

Das ist jetzt die Separation. Es sind nur noch Is auf der einen Seite und ts auf der anderen, sogar was die infinitesimalen Größen betrifft. Wahrscheinlich ist hier der schwerste Punkt. Normalerweise kennt man das mit dI und dt ja nur vom Differenzenquontient und da gehört das fest zusammen in einen Bruch, sonst ist das ja nicht richtig definiert. Einzeln kennt man das höchstens von Integralen, die man dann auch als einen feststehenden Ausdruck mit Integralzeichen vorne und "d-irgendwas" hinten kennt. Man lernt das so, als ob das "d-irgendwas" einfach nur die Integrationsvariable "irgenwas" angibt, aber das ganze ist noch viel allgemeiner und hat noch viel mehr Bedeutung. Ich kann die genauen Zusammenhänge leider hier jetzt allerdings schlecht komplett erklären, das würde doch etwas zu viel sein...
Naja, jedenfalls, wenn man das einfach mal hin nimmt, dass man damit so rechnen kann, dann wird einen der nächste Schritt auch nicht mehr wirklich schocken können. Jetzt mache ich nämlich auf beiden Seiten eine Integration, so dass das ganze dann so aussieht:

Wie gesagt, wenn Du nicht verstehst, warum man die beiden letzten Schritte so machen kann, dann ist das kein Wunder. Da mußt Du mir jetzt einfach erstmal glauben... Auf jeden Fall können wir diese Integrale lösen:

Das c ist die Integrationskonstante, die normalerweise auf beiden Seiten stehen müßte. Ich habe die einfach auf einer Seite in Gedanken schon zusammen gefaßt. Wenn ich z. B. links eine Konstante "d" gehabt hätte und rechts eine "e", dann kann ich ja einfach sagen: c=e-d und schon ist wieder alles ok. Da die beiden Konstanten ja so wie so beliebig sind, spielt das alles keine so große Rolle, aber eine muß halt mindestens da stehen. Jetzt kann ich auf beiden Seiten ein e-hoch machen, damit fällt nämlich dann das ln weg:

wobei ich mit der Konstanten jetzt schon wieder "rumgemacht" habe und einfach eine neue definiert habe mit C = e^c, so dass ich das doofe e-hoch bei der Konstanten weg lassen kann! Die hat ja so wie so keinen bestimmten Wert, weshalb ich da ziemlich frei rumbasteln kann.
Das ganze jetzt noch nach I auflösen:

und das A habe ich auch wieder zurück-ersetzt.
Wenn Du Dir das anschaust, dann stellst Du wahrscheinlich schon eine gewisse Ähnlichkeit mit der in der Aufgabe vorgeschlagenen Lösung fest, allerdings gefällt mir die Sache mit der Konstanten immer noch nicht. Genau die selbe Form erreicht man nämlich nur, wenn man für C=-I0 einsetzt, was mir persönlich etwas komisch vorkommt. Vielleicht habe ich da irgendwo doch einen Fehler drin... grübelnd

Naja, aber wir wollen ja auf jeden Fall noch sehen, ob unser Ergebnis an sich soweit richtig ist. Dafür müssen wir nur noch die Ableitung bilden und dann das ganze in die ursprüngliche DGl einsetzen:

So, das ganze jetzt in die DGL:

Die I0 heben sich gegenseitig schön weg und man hat tatsächlich auf beiden Seiten das gleiche stehen! Warum bei Deiner Lösung das C schon auf -I0 gesetzt ist, weiß ich jetzt auch nicht. Nach der DGL kann es jeden beliebigen Wert haben. Nur mit zusätzlichen Bedingungen (sog. Randbedingungen), die aus anderen physikalischen Gründen gegeben sind, können diese Konstante so bestimmen. Das hat aber nichts mehr mit der allgemeinen Lösung für die DGL zu tun, weshalb ich das jetzt auch nicht genauer sagen kann...

Wenn Du das so weit gelesen hast, kannst Du schon sehr stolz auf Dich sein!

Gruß
Marco

Sirtaki · Anmeldungsdatum: 05.03.2006 Beiträge: 27 Wohnort: Berlin

Hui. Danke dir erstmal vielmals, dass du dir die Mühe gemacht hast!
Verstehe das ganze eigentlich soweit. Erst ab der Konstanteneinführung wirds für mich zu kompliziert. Ich versuche das mal soweit zu verarbeiten, dass ich wenigstens den Ansatz habe.

Danke dir nochmals! Gott