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balance
Anmeldungsdatum: 14.11.2012
Beiträge: 125
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 balance Verfasst am: 15. Dez 2016 15:44 Titel: Differentielles E-Feld für gebogenen Draht |
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Hallo,
Ein Stück dünnen Drathes habe die Form eines Kreisbogens des Radius R. Der Draht habe die Länge l und trage die Ladung Q. Skizze im Anhang.
Bestimmen Sie die Form sowie den Betrag des elektrischen Feldes im Koordinaenursprung als Funktion des Kreisobgenwinkels  (2)
Was mich halt stört ist, dass man in den Lösungen einfach meist viel Erfahrung der Schreiberlinge sieht und es mathematisch nicht sonderlich pedantisch ist. :/
Lösung:
Klar ist die Längenladungsdichte: 
In der Lösung wird nun das differentielle E-Feld Element hingeschrieben welches man braucht um über den Draht zu integrieren. Leider ohne Weg. Ich habe es auf 2 "Wegen" probiert, leider habe ich hier ein problem:
Es gilt: =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb R^3}\frac{\rho(\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3}(\vec{r}-\vec{r}')dV')
Wir bewegen uns im 3 Dimensionalen Raum. Ich möchte das Koordinatensystem wie folgt wählen: x: rechts, y: oben, z: aus dem Bildschirm heraus.
Beachte, dass  hier die Volumenladungsdichte ist. Weiter kann ich  setzten, da wir es ja im Nullpunkt anschauen. Klar ist auch, dass 
Somit:
=\frac{-1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb R^3} \frac{\rho(\vec{r}')}{R^2}\hat{r}'dV') (1)
Wir sehen weiter, dass \\ \sin(\phi)\\ 0\end{pmatrix})
sowie 
Wir setzten in (1) ein und rechnen das Interal aus:
=\frac{-1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{R^2}\begin{pmatrix}\cos(\phi)\\ \sin(\phi)\\ 0\end{pmatrix})
Aus (2) folgt weiter 
somit
=\frac{-1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda L}{R^2}\begin{pmatrix}\cos(\phi)\\ \sin(\phi)\\ 0\end{pmatrix})
somit folgt:
=\frac{-1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda dL}{R^2}\begin{pmatrix}\cos(\phi)\\ \sin(\phi)\\ 0\end{pmatrix})
Stimmt das so? Nun könnte man das ganze über den Winkel integrieren.
Der andere Weg wäre, dass man gleich beginnt und dann sagt:
Wir haben:
=\frac{-1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb R^3} \frac{\rho(\vec{r}')}{R^2}\begin{pmatrix}\cos(\phi)\\ \sin(\phi)\\ 0\end{pmatrix}'dV')
Man kann doch jetzt mittels Fundamentalsatz der Analysis folgern, dass:
=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\rho(\vec{r}')}{R^2}\begin{pmatrix}\cos(\phi)\\ \sin(\phi)\\ 0\end{pmatrix})
Wir setzten (2) ein un bekommen:
=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda L}{R^2}\begin{pmatrix}\cos(\phi)\\ \sin(\phi)\\ 0\end{pmatrix})
Ich hab also die Volumenladungsdichte gleich der Längenladungsdichte gesetzt. Ich hab das gemacht, da die z Komponente keine Ladung hat und sie somit "gleich" sind.
Weiter habe ich hier nun gesamt L und nicht dl. Ich sehe es physikalisch ein, wieso ein dL da stehen sollte - aber mathematisch? [Es sollte ja dL da stehen, da wir ja nur ein kleines Stuck E-Feld angucken und das nur von ein bisschen Ladung erzeugt wird]
Aber wie begründe ich, mathematisch, dass da ein dL hinkommt?
Edit: Ich merke gerade, dass die Frage in beiden Wegen auftaucht. Wieso schreibe ich dl? Weil es von meiner Integationskonstante abhängt? Es ist echt eine mathematische Frage, hm
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Zuletzt bearbeitet von balance am 16. Dez 2016 12:40, insgesamt einmal bearbeitet |
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 15. Dez 2016 16:56 Titel: |
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Die ganze schöne Diskussion bringt nichts, wenn man als Ladungsdichte =Q/L setzt. In Wirklichkeit sitzen die Ladungen überwiegend in der Nähe der Drahtenden (bei <180°) bzw. möglichst weit voneinander entfernt.
Beim Vollkreis stimmt die gleichmäßige Aufteilung jedoch wieder.
_________________
Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 16. Dez 2016 10:29 Titel: |
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Hier soll wohl - unrealistischerweise - von einer gleichmäßigen Ladungsverteilung ausgegangen werden. In diesem Fall würde ich ein bisschen pragmatischer unter Ausnutzung der Symmetrie vorgehen. Vielleicht hilft dabei ja die folgende Skizze.
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balance
Anmeldungsdatum: 14.11.2012
Beiträge: 125
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| balance Verfasst am: 16. Dez 2016 12:35 Titel: |
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| isi1 hat Folgendes geschrieben: | Die ganze schöne Diskussion bringt nichts, wenn man als Ladungsdichte =Q/L setzt. In Wirklichkeit sitzen die Ladungen überwiegend in der Nähe der Drahtenden (bei <180°) bzw. möglichst weit voneinander entfernt.
Beim Vollkreis stimmt die gleichmäßige Aufteilung jedoch wieder. |
Ist mir bewusst, aber wir gehen bei sowas einfachheitshalber von gleichmässiger Ladungsverteilung aus.
GvCDanke für die Skizze - das mit der Symmetrie stimmt alelrdings
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