Stromdichte - Formelerklärung

Mephistoroth · Gast

Guten Tag.

Grundsätzlich kann man die Stromstärke I ja als Skalarprodukt aus einer Fläche A und der Stromdichte J darstellen, also

, wobei

parallel zur Geschwindigkeit bewegter positiver Ladungen ist, bzw. anitparallel, falls es sich um negative Ladungen handelt. Und

steht senkrecht auf die Fläche.
Diese Formel hat als Grundlage

.
Aber wie kommt man auf die letzere Formel? Wieso gerade das Skalarprodukt? Es ist zwar einsichtig, dass wenn die Richtung der Stromdichte und die Fläche parallel liegen

, der hindurch fliessende Strom 0 ist, und dass wenn die Fläche und die Richtung der Stromdichte senkrecht aufeinander stehen

, der höchste Amperewert erreicht wird.
Aber warum wird jeder Wert dazwischen mit dem Skalarprodukt errechnet? Gibts da ne Begründung, Herleitung oder Beweis? Ich würde es echt gerne verstehen. traurig

mfg mephistoroth

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Das Skalarprodukt macht gerade das, was du schon in Worten gesagt hast: Steht die Fläche senkrecht auf der Richtung der Stromdichte, dann ist der Strom dI = J * dA, steht sie parallel dazu, dann ist der Strom durch die Fläche Null.

Und es sorgt zusätzlich sogar genau dafür, dass nur genau die Komponente (J*cos(alpha)) des Stromdichtevektors mit dem Flächenstück multipliziert wird, die senkrecht zu diesem Flächenstück und damit parallel zu dessen Flächenvektor ist.

Als Bild der Zerlegung des Stromdichtevektors in Komponenten parallel und senkrecht zum Flächenvektor kannst du dir das gut durch selberaufmalen herleiten.

mephistoroth · Gast

Schonmal ein Danke für die Antwort. Gott

Also man spaltet den Vektor

in einen senkrechten und parallelen Teil auf, weil praktisch ja nur der senkrechte Teil "dafür sorgt, dass die Ladungen durch die Fläche gehen", oder etwa nicht?

Und deine Erklärung hat mich noch auf eine andere Erklärungsmöglichkeite gebracht. Man könnte ja auch

betrachten. Ich hab hierfür ein Bild angehängt. Zuerst einmal wird gezeigt, dass der Cosinus auch für Flächen gilt, solange diese diesselbe Breite haben.

, wobei l die Länge der Flächen ist, die senkrecht aus dem Bild tritt.
Und wenn man jetzt

anwendet, dann ergibt sich eine kürzere, projezierte Fläche(=rote Linie auf der Zeichnung). Diese kürzere Fläche kann man als die "effektive Durchtrittsfläche" ansehen. Die Ladungen durchtreten also nicht die gesamte Fläche, sondern nur diesen effektiven Teil davon.
Kann man das so erklären?

mfg mephistoroth

Naemi · Moderator Anmeldungsdatum: 01.06.2004 Beiträge: 497 Wohnort: Bonn

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich finde, du hast das sehr gut verstanden! smile

Entweder, man zerlegt die Stromdichte und verwendet die Komponente der Stromdichte senkrecht zur Fläche (man projiziert also die Stromdichte auf die Richtung der Flächennormalen)

oder man zerlegt die Fläche und verwendet die Komponente der Fläche senkrecht zur Richtung der Stromdichte (das ist dann also die effektive Fläche für diese Rechnung), man projiziert also die Fläche auf eine Ebene senkrecht zur Stromdichte bzw. ihren Flächenvektor auf die Richtung des Stromdichtevektors.

Beide Sichtweisen stimmen.

(Eine Kleinigkeit, deine Skizze betreffend: ich vermute, in deinem Bild b), das die Projektion der Fläche darstellen sollte, hast du einfach nur vergessen, die projizierte, kleinere, effektive Fläche mit einzuzeichnen, die ja dann senkrecht zur Stromrichtung steht.)

mephistoroth · Gast

Danke für die Hilfe smile

.

@dermarkus:
ich hab ja die projezierte Fläche mit eingezeichnet. Es ist die rote Linie. ich hab da in ich weiss auch nicht mehr so genau, wieso ich da in a) und b) unterschieden hab. Ich habe die rote Linie aus a) so verschoben, dass daraus b) entsteht, damit die Cosinus-Beziehung zw. den Flächen verdeutlicht wird.
Wenn ich falsch liege, verdeutliche bitte deinen Einwand.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ach so, jetzt verstehe ich auch deine Skizze! (Sorry, da war ich etwas langsam smile

) Der schwarze Strich mit dem b dran ist natürlich deine ursprüngliche Fläche und der rote Strich deine effektive Fläche. Also illustriert sowohl a) als auch b) die Interpretation mit der effektiven Fläche.

Damit löst sich auch mein "Einwand" in Luft und Wohlgefallen auf smile