Potential und E-feld dreier verbundener Kugeln

balance · Anmeldungsdatum: 14.11.2012 Beiträge: 125

Hallo,

Drei geladene metallische Kugeln mit unterschiedlichen Radien sind mit einem dünnen leitenden Draht verbunden. Das Potential und das elektrische Feld an den Oberflöchen der Leiter sind

und

.

[img]http://imgur.com/a/UFeud[/img]

Es gilt die Potentiale und E-Felder nach Grösse zu ordnen.

Es scheint, als ob mir die Theorie zu Elek. Feld und Potential nicht genug klar ist. Das E-Feld wird durch die Ladung auf der Kugel definiert. Wobei man die Kugel als Punktladung betrachten kann [Gauss]. Das Potential hingegen ist das Feld, welches einer Testladung q am Ort r die Eigenschaft verleit, Arbeit zu verrichten - oder? D.h. es ist von der Ausdehnung der Kugel, im Gegensatz zum E-Feld, abhängig. Das Potential ist antiproportional zum Radius.

Die nächste Frage wäre, wie verteilt sich die Ladung? Ich denke mir, dass sie sich durch den Draht gleichmässig verteilt. Bin mir aber nicht sicher. Der Gedanke der mich zweifeln lässt: Wenn die Ladungsverteilung vom Radius unabhängig ist, sich also auf allen Kugeln gleichmässig verteilt, hat eine kleine Kugel eine grössere Ladungsdichte. [Wieso sollte die Natur das zulassen?] Ich denke mir, dass die Verteilung der Ladung unter den Kugeln aber von der maximalen Ladungsdichtemöglichkeit abhängt. Ich denke mir: Wenn ich den Radius einer Kugel nach 0 gehen lasse, dann muss das doch einen Einfluss auf die allg. Verteilung der Ladung haben.

Obwohl ich mir unsicher bin, nehme ich den Fakt dass jede Kugel die gleiche Ladung hat mal als korrekt hin mit der Begündung: Experimentell bestätigt. Zunge raus

Dann wäre die Lösung:

und

.

Stimmt das? Und falls ja: Wieso verteilt sich die Ladung gleichmässig? Was passiert in einem wie oben beschriebenen Grenzfall?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5852

Hallo balance

Das ist nicht ganz richtig. Kurz allgemein zum E-Feld in einem Leiter:

Im Innern eines Leiters ist das E-Feld gleich 0, sonst würde ein Strom fliessen, bis das E-Feld auf null reduziert ist.

Aus dem Gaussschen Satz folgt damit:

Die ganze Ladung ist daher jeweils an der Oberfläche. Das Potential V ist überall konstant, und das E-Feld als (negativer) Gradient davon steht immer senkrecht zur Oberfläche.

Aus der Konstanz von V folgt für die Kugeln

.

Wie sich die E-Felder auf den Kugeloberflächen verhalten, solltest Du nun noch selber herausfinden können.

isi1 · Anmeldungsdatum: 03.09.2006 Beiträge: 2902 Wohnort: München

So recht Bescheid weiß der Aufgabensteller auch nicht, denn sonst würde deutlich mehr festgelegt sein.
Wegen der leitenden Verbindung ist klar, dass die Oberflächenpotentiale alle gleich sind. Und falls die Kugeln weit genug voneinander entfernt sind und die Verbindungsdrähte vernachlässigt werden, sind die Ladungen ~ Ri - wie schon erwähnt.
Sind die Kugeln nah beisammen (wie gezeichnet), so bekommen die äußeren Kugeln mehr Ladung ab, denn Ladungen stoßen sich ab.

Die Feldstärke wird am größten sein an der Oberfläche der 'dünnen Verbindungsdrähte'.

balance · Anmeldungsdatum: 14.11.2012 Beiträge: 125

Ich konnte es eben nochmal diskutieren und es sollte mir jetzt klar sein.

Ich habe mis das jetzt wie folgt überlegt:

Bei einer Leitenden Kugel fliest die Ladung an die Oberfläche. Die Ladung ist gleichmässig verteilt. Wir haben ein konstantes Potential. Wenn wir die Kugeln mit einem leitenden Draht verbinden, verbinden wir die Oberflöchen. Wir haben nun eine Potentialdifferenz geschaffen. Es fliesst ein Strom. Die Ladung verteilt sich wieder gleichmässig auf der neuen Oberfläche. Wir haben also auf allen Kugeln das gleichen Potential.

Wir haben also:

(1)

Nun gilt es zu überlegen, was das ganze für die effektive Ladung pro Kugel heisst. Wir haben (1) hergeleitet mit der Argumentation einer "neuen Fläche" auf der sich die 3 Oberflächenladungsverteilungen der Kugeln gleichmässig verteilt. Also haben nach dem verbinden alle 3 Kugeln die gleiche Ladung. Nach Gauss erstellen alle das gleiche E-Feld. [Zumindest für genug grossen Abstand] Dieses E-Feld ist propertional zu 1/r^2. Für kleines r wird es also gross und umgekehrt. Da wir das feld an einem bestimmten Punkt möchte - der Oberfläche, können wir sagen:

Somit: