Darstellung von unitärem Operator durch Projektor

Namenloser324 · Gast

Hallo,

ich soll zeigen, dass für unitären Operator U mit U^2 = 1 gilt:
Es existiert ein Projektor P mit U = (2P-1).

Das einzige was mir irgendwie als Ansatz in den Sinn gekommen ist, ist die Darstellung von normalen Operatoren durch Linearkombination von orthogonalen Projektoren. Das scheint aber nicht zu helfen.
Hat jemand eine Idee für mich? smile

Vielen Dank!

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Namenloser324 · Gast

haha, bin gerade hier hergekommen um genau das zu schreiben Big Laugh

Hatte genau das eben gemacht und es ist trivial, da ein unitärer Operator mit U^2 = 1 auch hermitesch ist. Dann ist die Umstellung der Gleichung in der Tat ein Projektor!

Vielen Dank smile

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Namenloser324 · Gast

Wieso nicht? Ein Projektor ist (per Definition) hermitesch gemäß meinem (d.h. einem Skript über lineare Operatoren) Skript. P^2 = P reicht als Nachweis dann nicht aus.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Hier http://www.home.uni-osnabrueck.de/phertel/pdf/lop.pdf heißt es auf Seite 10, dass ein Projektor selbstadjungiert ist. Was stimmt nun? Oder besser: Wird üblicherweise ein Projektor nicht notwendigerweise als selbstadjungiert angenommen?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Woher soll ich wissen was ihr als Projektor definiert? Eigentlich ist die Definition P^2=P. Alles andere definiert speziellere Projektoren:
https://en.wikipedia.org/wiki/Projection_(linear_algebra)#Orthogonal_projections

Namenloser324 · Gast

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762