| Autor |
Nachricht |
Namenloser324
Gast
|
 Namenloser324 Verfasst am: 10. Jun 2016 00:06 Titel: Ein paar Verständnisfragen |
 |
|
Hey,
folgende Fragen geistern mir durch den Kopf:
a) Wieso liefert bei zeitunabhängigem Potential V(x) der Ansatz  = f(x)*g(t) ) die einzige Lösung? Woher weiß man, dass die Schrödinger-Gl. nicht noch Lösungen hat die sich nicht in dieser Form angeben lassen?
b) Potentialstufe:
Betrachtet man ein Potential der Form  = V_0 * \Theta(x) ) , wobei V0 > 0 sei und die Energie eines betrachteten Teilchens 0 < E < V0 sein soll. Es ergibt sich für den Bereich innerhalb des Potentials ein exponentieller Abfall der Wellenfunktion, jedoch ist die Wahrscheinlichkeitsstromdichte dort Null. Laut meinem Lehrbuch (Schwabl) bedeutet dies, dass es keinen Teilchenfluss in die Potentialbarriere gibt.
Was ist mit Teilchenfluss gemeint, wenn doch die Wellenfunktion, deren Betragsquadrat ja die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für den Ort x angibt, in der Barriere überall ungleich Null ist, was bedeutet, dass es eine von Null verschiedene Aufentshaltswahrscheinlichkeit in der Barriere gibt.
c) Gebundene Zustände:
Nun soll  = -V_0*\Theta(a - |x|) ) (Potentialtopf) gelten, wobei V0 > 0 sein möge. Für E soll -V0 <= E <= 0 gelten.
Dann existieren im allgemeinen sogenannte gebundene Zustände. Ich frage mich nur, wieso diese so heißen. Denn tatsächlich ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit außerhalb des Potentialtopfs ja nicht Null, sondern nimmt exponentiell ab. (Nur im Grenzfall V0 -> unendlich ist sie Null). Ich vermute, dass dies wieder mit dem Begriff "Teilchenfluss" zu tun hat, da doch, wenn man -V0 als Nullpunkt annimmt, man ja gerade zwei Potentialbarrieren vor sich hat, welche gemäß Lehrbuch keinen Teilchenfluss gestatten.
d) Ist der Spin mehr als eine Rechengröße? Laut Schwabl handelt es sich um den Eigendrehimpuls eines Teilchens (konkret im von mir gelesenen Teil ein Elektron), was aber zumindest keineswegs dem klassischen Eigendrehimpuls eines makroskopischen Körpers entsprechen dürfte.
e) Warum kann man etwas messen? Das ist mehr eine vage Idee, aber wenn vor einer Messung ein System unbestimmt ist, dann könnte etwa ein Elektron überall sein. Irgendwie war es aber doch möglich, dass es mit meiner Messvorrichtung wechselwirkt, obwohl es vorher, so wie ich "die Quantenmechanik" verstehe in keinem definierten Zustand war. Da passt irgendwas nicht zusammen.
f) Was ist eigentlich ein Elementarteilchen? Ein Teilchen ohne innere Struktur, okay, aber wenn es dann wiederum eine räumliche Ausdehnung hat ist die Frage wieso man es nicht teilen kann. Es mutet sehr seltsam an, dass man ein Bauteil hat, dass aus keinem anderen Bauteil besteht.
Sooo, erstmal genug gefragt. Danke für jede Anregung  Ich weiß, dass insbesondere die letzten zwei Fragen natürlich nicht sonderlich konkret sind^^ |
|
 |
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
|
| TomS Verfasst am: 10. Jun 2016 08:51 Titel: Re: Ein paar Verständnisfragen |
|
|
| Namenloser324 hat Folgendes geschrieben: | | a) Wieso liefert bei zeitunabhängigem Potential V(x) der Ansatz die einzige Lösung? Woher weiß man, dass die Schrödinger-Gl. nicht noch Lösungen hat die sich nicht in dieser Form angeben lassen? |
Die Anzahl der linear unabhängigen Lösungen einer DGL sind exakt bekannt. Im Falle zeitunabhängigen Schrödingergleichung als DGL zweiter Ordnung sind es zwei. Nachdem man beweisen kann, dass aus dem Separationsansatz zwei Lösungen folgen, kann keine weitere existieren.
| Namenloser324 hat Folgendes geschrieben: | b) Betrachtet man ein Potential der Form , wobei V0 > 0 sei und die Energie eines betrachteten Teilchens 0 < E < V0 sein soll. Es ergibt sich für den Bereich innerhalb des Potentials ein exponentieller Abfall der Wellenfunktion, jedoch ist die Wahrscheinlichkeitsstromdichte dort Null. Laut meinem Lehrbuch (Schwabl) bedeutet dies, dass es keinen Teilchenfluss in die Potentialbarriere gibt.
Was ist mit Teilchenfluss gemeint, wenn doch die Wellenfunktion, deren Betragsquadrat ja die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für den Ort x angibt, in der Barriere überall ungleich Null ist, was bedeutet, dass es eine von Null verschiedene Aufentshaltswahrscheinlichkeit in der Barriere gibt. |
Das steht nicht im Schwabl??
Es gilt für Wahrscheinlichkeitsdichte
 ,
und Wahrscheinlichkeitsflussdichte
mit der Kontinuitätsgleichung
 ,
Letztere zeigt man entweder durch Nachrechnen mittels Schrödingergleichung oder mittels expliziter Konstruktion über das Noether-Theorem zur globalen U(1) Symmetrie der QM
 ,
| Namenloser324 hat Folgendes geschrieben: | c) Nun soll (Potentialtopf) gelten, wobei V0 > 0 sein möge. Für E soll -V0 <= E <= 0 gelten.
Dann existieren im allgemeinen sogenannte gebundene Zustände. Ich frage mich nur, wieso diese so heißen. Denn tatsächlich ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit außerhalb des Potentialtopfs ja nicht Null, sondern nimmt exponentiell ab. (Nur im Grenzfall V0 -> unendlich ist sie Null). Ich vermute, dass dies wieder mit dem Begriff "Teilchenfluss" zu tun hat, da doch, wenn man -V0 als Nullpunkt annimmt, man ja gerade zwei Potentialbarrieren vor sich hat, welche gemäß Lehrbuch keinen Teilchenfluss gestatten. |
Gebundene Zuständen heißen so, weil sie sich praktisch als solche erweisen. Das Elektron ist nunmal im Wasserstoffatom gebunden, d.h. es ist lokalisiert.
Im Falle einer stationären Lösung der Schrödingergleichunmg kann man tatsächlich auch mit der Wahrscheinlichkeitsflussdichte argumentieren:
Es gilt
) ,
und damit
 ,
Damit folgt
 ,
Dass die Wellenfunktion in den klassisch verbotenen Bereich hineinreicht ist dabei unerheblich.
| Namenloser324 hat Folgendes geschrieben: | | d) Ist der Spin mehr als eine Rechengröße? Laut Schwabl handelt es sich um den Eigendrehimpuls eines Teilchens (konkret im von mir gelesenen Teil ein Elektron), was aber zumindest keineswegs dem klassischen Eigendrehimpuls eines makroskopischen Körpers entsprechen dürfte. |
Der Spin S kann mittels Stern-Gerlach-Experiment explizit nachgewiesen werden. Zu den atomaren Spektren trägt er u.a. über eine Kopplung an den Bahdrehimpuls L bei; der relevante Gesamtdrehimpuls J folgt automatisch aus der relativistischen Diracgleichung
Die Vertauschungsrelationen der Spinkomponenten entsprechen exakt denen des Bahndreimpulses
D.h. auch, dass die Eigenzustände des Spins analog klassifiziert werden.
Der Spin verhält sich also in vielerlei Hinsicht wie ein quantenmechanischer Drehimpuls. Allerdings ist da natürlich kein klassischer, starrer Körper, der rotiert: Diese Vorstellung ist unzutreffend.
Rest später ...
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
|
| TomS Verfasst am: 10. Jun 2016 13:22 Titel: |
|
|
Nochmal zum Wahrscheinlichkeitsstrom.
Die Diskussion bzgl. der Reellwertigkeit versteht man evtl. besser, wenn man die Wellenfunktion mittels zweier reeller Funktionen R und S umschreibt:
Damit folgt
Die Schrödingergleichung zerfällt dann in zwei Gleichungen, wovon eine der Kontinuitätsgleichung entspricht.
Man erkennt sofort, dass j = 0 gilt, wenn S = const. ist.
Mit j = 0 gilt sofort
Das ist aber genau das Kennzeichen stationärer Zustände; die Form der Wellenktion
ändert sich nicht.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
Namenloser324
Gast
|
| Namenloser324 Verfasst am: 10. Jun 2016 19:51 Titel: Re: Ein paar Verständnisfragen |
|
|
| Zitat: |
Die Anzahl der linear unabhängigen Lösungen einer DGL sind exakt bekannt. Im Falle zeitunabhängigen Schrödingergleichung als DGL zweiter Ordnung sind es zwei. Nachdem man beweisen kann, dass aus dem Separationsansatz zwei Lösungen folgen, kann keine weitere existieren.
|
Das stimmt auch für partielle DGLs? Hast du dafür einen mathematischen Satz parat?
| Zitat: | | Das steht nicht im Schwabl?? |
Natürlich steht die Wahrscheinlichkeitsstromdichte und die Kontinuitätsgleichung für Wahrscheinlichkeitsdichte und Wahrscheinlichkeitsstromdichte im Schwabl. Aber wieso sollte das identisch mit einem Teilchenstrom sein? Wenn die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in einer Potentialbarriere ungleich Null ist bedeutet für mich, dass doch Teilchen in die Barriere eindringen können was wiederum gleichbedeutend mit der Möglichkeit eines Teilchenflusses ist.
[quote="Namenloser324"]c) Nun soll [latex] V(x) = -V_0*\Theta(a - |x|)
| Zitat: | | Gebundene Zuständen heißen so, weil sie sich praktisch als solche erweisen. Das Elektron ist nunmal im Wasserstoffatom gebunden, d.h. es ist lokalisiert. |
Wieso ist es eigentlich im Wasserstoffatom gebunden? Ist die Tunnelwahrscheinlichkeit im unangeregten Zustand schlicht so gering, dass es praktisch nie tunnelt? (Das Wasserstoffatom hatte ich noch nicht)
| Zitat: |
Der Spin verhält sich also in vielerlei Hinsicht wie ein quantenmechanischer Drehimpuls. Allerdings ist da natürlich kein klassischer, starrer Körper, der rotiert: Diese Vorstellung ist unzutreffend. |
Vielen Dank für die Klarstellung. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
|
| TomS Verfasst am: 10. Jun 2016 21:52 Titel: Re: Ein paar Verständnisfragen |
|
|
| Namenloser324 hat Folgendes geschrieben: | | Das stimmt auch für partielle DGLs? Hast du dafür einen mathematischen Satz parat? |
Ja. Den Satz muss ich googeln.
| Namenloser324 hat Folgendes geschrieben: | | Wenn die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in einer Potentialbarriere ungleich Null ist bedeutet für mich, dass doch Teilchen in die Barriere eindringen können was wiederum gleichbedeutend mit der Möglichkeit eines Teilchenflusses ist. |
Nein, kein Teilchenfluss, da nichts fließt; da j = 0.
| Namenloser324 hat Folgendes geschrieben: | | Wieso ist es eigentlich im Wasserstoffatom gebunden? Ist die Tunnelwahrscheinlichkeit im unangeregten Zustand schlicht so gering, dass es praktisch nie tunnelt? |
Es ist gebunden, da E < 0, und da die Lösung (exponentiell) abfällt, d.h. lokalisiert ist.
Die Tunnelwahrscheinlichkeit ist Null. |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
|
| jh8979 Verfasst am: 10. Jun 2016 21:56 Titel: Re: Ein paar Verständnisfragen |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Namenloser324 hat Folgendes geschrieben: | | Das stimmt auch für partielle DGLs? Hast du dafür einen mathematischen Satz parat? |
Ja. Den Satz muss ich googeln. |
Ja? Die Laplace-Gleichung hat ziemlich viele Lösungen, die sich anhand verschiedener "Quantenzahlen" unterscheiden lassen (z.B. l,m und so). Dass da nur zwei sind, seh ich nicht so direkt... |
|
|
Namenloser324
Gast
|
| Namenloser324 Verfasst am: 10. Jun 2016 22:01 Titel: Re: Ein paar Verständnisfragen |
|
|
| Zitat: | | Ja. Den Satz muss ich googeln. |
wäre ich sehr interessiert, hatte nämlich schon gegoogled und eher obskure Sachen gefunden.
| Zitat: | | Nein, kein Teilchenfluss, da nichts fließt; da j = 0. |
Ok, ich scheine etwas nicht recht zu verstehen:
In der klassischen Mechanik fließt z.B. Wasser. Es fließt z.B. in einem Rohr von links nach rechts. Welchen Fluss beschreibt die Wahrscheinlichkeitsflussdichte, wenn man daraus Teilchenfluss ableitet. Die Bewegung des Erwartungswerts?
| Zitat: | | Es ist gebunden, da E < 0, und da die Lösung (exponentiell) abfällt, d.h. lokalisiert ist. |
Okay, ich denke meine Probleme mit der Aussage hängen mit dem oberen Teil zusammen (Teilchenfluss), daher akzeptiere ich das hier einfach.
| Zitat: | | Die Tunnelwahrscheinlichkeit ist Null. |
Hmm, wieso entspricht das nicht dem Fall der Potentialstufe die durchtunnelt werden kann?
Vielen Dank |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
|
| TomS Verfasst am: 10. Jun 2016 22:41 Titel: |
|
|
Die Wahrscheinlichkeitsflussdichte j beschreibt den Fluss der Wahrscheinlichkeitsdichte rho. Wenn die Wahrscheinlichkeitsflussdichte j Null ist, dann ist die Wahrscheinlichkeitsdichte rho, d.h. die "Form" statisch, also konstant. Das ist unmittelbar aus der Kontinuitätsgleichung ersichtlich:
Die Tunnelwahrscheinlichkeit hängt in der WKB-Näherung (und für ein 1-dim. Problem) vom Integral
 - E})
ab; für den Transmissionskoeffizienten T gilt
Das Integral ist unendlich für die Potentialstufe sowie gebundene Zustände im Wasserstoffatom; der Transmissionskoeffizienten ist damit Null.
Betrachte eine Potentialstufe mit V = 0 links und V > 0 rechts. Für E < V ist der Term unter der Wurzel positiv, das Integral unendlich.
Im Wasserstoffatom ist das Potential im Unendlichen asymptotisch Null, da V (r) ~ 1/r. Gebundene Zustände haben sämtlich E < 0, sitzen also im Potentialtrichter. Der klassisch verbotene Bereich erstreckt sich von V(r) = E bis ins Unendliche. Damit ist in diesem Bereich Term unter der Wurzel wieder positiv und hat asymptotisch den Wert E; das Integral ist unendlich (die Rechnung oben kann nicht direkt in 3 Dim. übertragen werden, aber die Idee sollte klar sein).
Zuletzt bearbeitet von TomS am 11. Jun 2016 09:26, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
Namenloser324
Gast
|
| Namenloser324 Verfasst am: 12. Jun 2016 21:42 Titel: |
|
|
| Zitat: | [quote="TomS"]Die Wahrscheinlichkeitsflussdichte j beschreibt den Fluss der Wahrscheinlichkeitsdichte rho. Wenn die Wahrscheinlichkeitsflussdichte j Null ist, dann ist die Wahrscheinlichkeitsdichte rho, d.h. die "Form" statisch, also konstant. Das ist unmittelbar aus der Kontinuitätsgleichung ersichtlich:
|
Das gilt aber auch wenn j konstant ist. Würde ich das dann mit der Elektrodynamik vergleichen, so fließen durchaus Ladungen bei konstanter Stromdichte.
Nochmal: Wieso sagt man es gibt keinen Teilchenfluss, wenn j = 0 ist? Was versteht man in der Quantenmechanik als Teilchenfluss, wo doch Teilchen keinen scharfen Ort besitzen. (grob: Teilchenfluss "=" Bewegung (== Änderung des Ortes) von Teilchen pro Fläche)
Ich bin immernoch an einem Satz über die Anzahl an Fundamentallösungen einer partiellen DGL interessiert. Kenne ich nur für gewöhnliche DGLs. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
|
| TomS Verfasst am: 12. Jun 2016 22:16 Titel: |
|
|
| Namenloser324 hat Folgendes geschrieben: | | Nochmal: Wieso sagt man es gibt keinen Teilchenfluss, wenn j = 0 ist? |
Ich habe vermieden, von Teilchenfluss zu sprechen; Wahrscheinlichkeitsflussdichte ist besser. j = 0 bedeutet, dass sich die Wahrscheinlichkeitsdichte ein Teilchen an einem bestimmten Ort nachzuweisen, nicht ändert.
j = const. ist etwas pathologisch, da dies nur für ebene Wellen gilt. Für Wellenpakete ist j = const. ausgeschlossen.
| Namenloser324 hat Folgendes geschrieben: | | Ich bin immernoch an einem Satz über die Anzahl an Fundamentallösungen einer partiellen DGL interessiert. Kenne ich nur für gewöhnliche DGLs. |
Für die SGL und die Anzahl linear unabhängiger Lösungen muss ich nochmal nachschauen. Ich meinte übrigens die eindimensionale SGL, wobei es sich aufgrund der Zeitabhängigkeit ebenfalls um eine partielle DGL handelt.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 12. Jun 2016 23:02, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
Namenloser324
Gast
|
| Namenloser324 Verfasst am: 12. Jun 2016 22:55 Titel: |
|
|
| Zitat: | | Ich habe vermieden, von Teilchenfluss zu sprechen; Wahrscheinlichkeitsflussdichte ist besser. j = 0 bedeutet, dass sich die Wahrscheinlichkeitsdichte ein Teilchen an einem bestimmten Ort nachzuweisen, nicht ändert |
.
Soweit d'accord. Also ist der Begriff Teilchenfluss "falsch" (habe ihn aus dem Schwabl)? Denn wenn ich in er Potentialbarriere schauen würde, ob ein Teilchen dort ist, könnte ich durchaus irgendwann eins bemerken, da die Wellenfkt. dort ungleich Null ist.
| Zitat: | | j = const. ist etwas pathologisch, da dies nur für ebene Wellen gilt. Für Wellenpakete ist j = const. ausgeschlossen. |
Ok, danke. Hatte das Beispiel nur gewählt um mein Verständnisproblem mittels der Analogie zur Kontinuitätsgleichung der E-Dynamik zu veranschaulichen.
| Zitat: | | Für die SGL und die Anzahl linear unabhängiger Lösungen muss ich nochmal nachschauen. Ich meinte übrigens die eindimensionale SGL, wobei es sich aufgrund der Zeitabhängigkeit ebenfalls um eine partielle DGL handelt. |
[/quote]
Genau, ich hatte auch immer nur die 1-D SGL vor Augen. Zur Lösungstheorie von partiellen DGLs habe ich nur den Satz von Cauchy-Kowalewskaja gefunden.
Wikipedia schreibt dazu allerdings:
"Zwar garantiert der Satz von Cauchy-Kowalewskaja die lokale Existenz und Eindeutigkeit der Lösung partieller Differentialgleichungen mit analytischen Koeffizientenfunktionen, aber dieses Resultat lässt sich nicht auf allgemeinere Koeffizientenfunktionen ausdehnen. Bereits für beliebig oft differenzierbare, nichtanalytische Koeffizientenfunktionen gibt es ein Gegenbeispiel (Beispiel von Lewy).[3]" |
|
|
kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
|
| kingcools Verfasst am: 12. Jun 2016 23:01 Titel: |
|
|
Nachtrag:
Okay, ich hatte nach einer zu allgemeinen Lösungstheorie gefragt/gesucht. Tatsächlich existiert für den Spezielfall der (zeitabhängigen) SGL eine entsprechende Lösungstheorie in Form der Theorie elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Damit wäre der Punkt abgehakt |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
|
| TomS Verfasst am: 12. Jun 2016 23:06 Titel: |
|
|
| Namenloser324 hat Folgendes geschrieben: | | Also ist der Begriff Teilchenfluss "falsch" (habe ihn aus dem Schwabl)? Denn wenn ich in der Potentialbarriere schauen würde, ob ein Teilchen dort ist, könnte ich durchaus irgendwann eins bemerken, da die Wellenfkt. dort ungleich Null ist. |
Ich würde einfach nicht zu sehr auf dem Begriff "Teilchen" rumreiten. Die Wellenfunktion ist in der Potentialbarriere nicht Null, und das kann zu physikalisch messbaren Effekten führen.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
